利用求導法計算多連桿端點運動的加速度

陳鴻翔 沈 衛

(浙江省湖州市菱湖中學,浙江 湖州 313018)

1 問題呈現

如圖1所示,長均為l的兩桿用鉸鏈P相連,兩桿夾角為2α,其中一根桿的一端O固定不動,另一根桿的自由端Q以大小和方向恒定的速度v0開始運動,v0平行于兩桿夾角的角平分線。求Q端開始運動后經過非常短的時間,連接兩桿的鉸鏈P的加速度。

圖1

筆者在與學生共同探討這道兩連桿問題中端點運動的加速度求解問題,分別運用了參考系變換下運動的對稱性和求導兩種方法,卻得到了兩個完全不同的結果。是其中一種方法中不適用于該問題的解決,還是運用過程中忽略了某些細節導致結果出現差異?

2 解答方法及其分析

2.1 運用基于對稱性的加速度矢量合成法

圖2

圖3

2.2 運用求導法求解P點的切向加速度

2.3 連桿運動經過極短時間后P點繞O點運動的速度求解

考慮到問題是求解經過非常短的時間后P點的加速度,不妨考慮當經過極短時間后P點速度的表達形式,故畫出連桿OPQ經Δt(Δt趨于0)轉動到OP′Q′的示意圖(圖4)。

圖4

點評：由于該題只考慮運動開始后很短的一段時間內P的加速度,因此根據幾何近似關系,可充分利用OP桿與PQ桿夾角不變這一幾何特征,求解P點的速度關系式,進而對該關系式中的變量α′在零時刻的取值求時間的導數,獲取加速度的定量關系。雖然該方法略為繁瑣,且需要學生具備一定的數學能力,但是更具有普適性。一旦問題中不再具有對稱性,顯然就難以運用2.1中的解法,但是運用導數,依舊可以實現對連桿端點加速度的定量分析。

3 對三連桿端點加速度的求解

利用求導法不僅可以定量分析兩連桿端點運動的加速度,對于存在兩個動點的三連桿問題也能夠探討其端點的加速度關系。

例：圖5所示為用剛性細桿AB、BC、CD連成的平面連桿結構。AB和CD可分別繞過A、D的垂直于紙面的固定軸轉動,A、D兩點位于同一水平線上,BC桿的兩端分別與AB桿和CD桿相連,在B、C處均有一鉸鏈。當AB桿繞A軸以恒定的角速度ω轉到圖5所示位置時,AB桿處于豎直位置。BC桿與CD桿都與水平方向成角45°,已知AB桿的長度為l,BC桿和CD桿的長度由圖5給定,求此時C點的加速度(用與CD桿之間的夾角表示)。

圖5

解析：B、C為動點,在圖5所示時刻,B點的速度、C的速度及B相對于C的速度分別為：vB=lω,vC=lωcos 45°,vBC=lωsin 45°。

圖6

點評：利用求導法解決連桿加速度問題,其關鍵在于確定連桿運動的幾何特征,能夠在連桿運動較短時間的過程中確定角度變化的關系,并能夠運用速度投影法確定不同端點之間速度的關系,從而根據已知的速度推導未知速度的表達式,對速度表達式求關于時間的導數,實現對端點切向加速度的求解。

4 結語

連桿端點運動加速度的計算作為高中物理中的復雜問題之一,一般都有多樣的解法,一些解法在數學運算、物理建模上對學生有較高要求。筆者認為,直觀形象的解法契合學生的認知方式,運用求導法解決物理問題在數學上的要求雖然較高,但是在突出結論的直觀與形象、反映問題的物理本質方面顯然更具優勢。如果能從最直觀的物理概念與模型出發,展現問題本身所包含的物理思想與內涵,相信會對學生提高學習物理的興趣起到一定的促進作用,會促進學生拓寬解題視野、提升核心素養。