單極靜電電動機的力矩輸出特性

王福謙

(西南交通大學 希望學院 基礎部,成都 610400)

0 引 言

靜電電動機有多種類型,其中較為簡單的模型是單極靜電電動機,它由定子和轉子組成,如圖1所示。文獻[1-2]給出單極靜電電動機轉子受到的靜電力矩:

(1)

圖1 單極靜電電動機的結構示意圖

式中:Cmax是轉子與定子間最大電容;Cmin是轉子與定子間最小電容;U0為電動機所加的直流電壓;θ為電動機自平衡位置轉過的角度。在電容式靜電電動機中(Cmax-Cmin)是一個決定著電動機輸出性能的重要參數,這個參數愈大,扭力矩與功率也愈大。在設計電動機時,主要的目標是獲得最大可能電容的變化。但關于單極靜電電動機的參數(Cmax-Cmin)的計算,相關文獻還未見涉及。為此,本文擬將理論分析與計算機數值模擬相結合,利用保角變換法、格林函數法和軟件MATLAB,討論定子和轉子間的靜態電場分布,給出定子和轉子所形成電容的電容量隨角位移變化關系式,得到轉子從平衡位置轉過90°過程中電容的最大值和最小值,確定單極靜電電動機的力矩,并給出優化靜電電動機力矩輸出特性的途徑。

1 單極靜電電動機定子和轉子間的電場

下面根據圖1的單極靜電電動機結構,建立如圖2所示的坐標系,來研究該結構的電場。圖2中,內、外圓柱面的半徑分別為R1、R2,其所對應的圓心角分別為θ1和θ2,電勢分別為-U0和U0,內極板相對于初始位置(上極板關于y軸對稱的位置)逆時針轉過θ角度。當兩圓柱面的長度遠大于其寬度時,該結構可視為無限長,因而在垂直于圓柱面軸線的所有截面中的電勢和場強的分布都相同,則其內部的電場為平行平面場,取其中一個截面為z平面。

圖2 單極靜電電動機上半部分的橫截面

為了求得單極靜電電動機定子和轉子間的電場分布,首先作如下的保角變換:

w1=iln(z)

(1)

變換式(1),將z平面上半徑分別為R1和R1的圓弧,變換為w1平面上兩平行線段AB和CD,AB和CD的間距h=ln(R2/R1),如圖3所示。w1平面上兩線段的起點和終點位置,由該傳感器的橫截面在z平面上的圓弧位置zA、zB、zC、zD,通過變換式(1)來確定,其位置分別為w1A、w1B、w1C和w1D,這8個點的位置及其關系由以下兩式給出:

(2)

圖3 保角變換后的帶形區域

(3)

再作如下的平移變換:

w2=w1-iv1A

(4)

式中:v1A=Imw1A=lnR1。變換后的單極靜電電動機定子和轉子的橫截面如圖4所示。

圖4 平移變換后的帶形區域

為了應用格林函數法求得單極靜電電動機定子和轉子間的電勢分布,需再作如下的保角變換[3]:

(5)

變換式(5),將w2平面上半平面的平行于實軸且與實軸間距為h的兩線段,映射為位于ζ平面實軸上的兩線段,其帶形域則映射為上半平面,如圖5所示。

圖5 再次保角變換后的上半平面

變換式(1)、式(4)及式(5)后,z平面上單極靜電電動機定子和轉子間的電勢分布,就變換為ζ平面上的上半平面的如下邊值問題:

(6)

對于ζ平面上圖5的邊值問題,應用格林函數法[4-5],可得其電勢分布:

(7)

將式(1)代入式(5),有:

(8)

將式(2)代入式(8),得:

(9)

將式(8)中的ξ、η及式(9)代入式(7),得到:

(10)

式(10)即為單極靜電電動機定子和轉子間的電勢分布函數。

式(10)的極坐標形式:

(11)

由場強與電勢的微分關系E=-▽u,利用式(11)可得單極靜電電動機定子和轉子間的場強分布函數:

(12)

在MATLAB中,對單極靜電電動機定子和轉子間電場分布進行數值模擬[6],其電場線和等勢線的分布如圖6所示。

(a)U0=100 V,R1=0.3 m,R2=0.6 m,θ1=π/2,θ2=π/2,θ=π/30

由圖6可以看出,單極靜電電動機定子和轉子間的電場線與等勢線及導體邊界均垂直,場線分布正確,為預期結果,驗證了本文結論的正確性。

2 單極靜電電動機定子和轉子間電容的計算

為計算簡便,可假設單極靜電電動機定子和轉子間的電壓為U0(外極板的電勢為U0,內極板的電勢為0),取式(12)中的ρ=R1,可得其內極板上的電荷面密度:

(13)

單極靜電電動機定子(轉子)的帶電量:

(14)

由式(14)得單極靜電電動機定子和轉子間的電容量:

(15)

式(15)即為單極靜電電動機定子和轉子間的電容量隨轉子轉過角度變化的函數關系。

3 單極靜電電動機力矩的確定

首先,利用MATLAB軟件對式(15)編程,繪制出單極靜電電動機轉子在0～π/2轉角內的C(θ)曲線,如圖7所示。由圖7可看出,C在0～π/2變化的趨勢和Cmax和Cmin的大致數值。再由MATLAB的輸出數據,可得到該電動機定子和轉子間Cmax和Cmin的精確值,最后通過式(1)給出該電動機的力矩。例如,對于轉子半徑為0.06 m、定子半徑為0.07 m的單極靜電電動機,在其長度均為0.6 m時,由式(15)通過MATLAB編程可計算出Cmax和Cmin的值分別為5.345 616 652 072 09×10-12F和9.675 223 885 302 79×10-26F,在給定電動機所加電壓U0后,由式(1)即可確定靜電電動機的力矩。

圖7 靜電電動機定、轉子間電容量在0～π/2間的變化

4 定子、轉子幾何參數對電動機力矩的影響

下面討論單極靜電電動機定子和轉子的幾何尺寸對Cmax和Cmin數值的影響,從而找到優化單極靜電電動機力矩輸出特性的途徑。

4.1 (Cmax-Cmin)與θ1和θ2的關系

在靜電電動機轉子和定子半徑一定的情況下,MATLAB[7]軟件的數值模擬結果表明:當θ1<θ2時,隨著θ1值的增加,靜電電動機的(Cmax-Cmin)增大,靜電力矩增大,如圖8所示;當θ1=θ2時,θ1(θ2)的取值不影響(Cmax-Cmin)的大小,靜電力矩不變,如圖9所示;當θ1>θ2時,在θ1保持不變時,隨著θ2的增加,電動機的(Cmax-Cmin)減小,靜電力矩減小,如圖10所示。

圖8 (Cmax-Cmin)與θ1和θ2的關系(θ1<θ2)(R1=0.045 m,R2=0.050 m,L=0.3 m)

圖9 (Cmax-Cmin)與θ1和θ2的關系(θ1=θ2)(R1=0.045 m,R2=0.050 m,L=0.3 m)

圖10 (Cmax-Cmin)與θ1和θ2的關系(θ1>θ2)(R1=0.045 m,R2=0.050 m,L=0.3 m)

4.2 (Cmax-Cmin)與R2/R1的關系

在靜電電動機轉子和定子所對的圓心角一定的情況下,MATLAB的數值模擬結果表明,隨著R2/R1(R1、R2均小于1)數值的增加,靜電電動機的(Cmax-Cmin)增大,靜電力矩增大,如圖11所示。

圖11 (Cmax-Cmin)與R2/R1的關系(θ1=π/2,θ2=2π/3,L=0.3 m)

4.3 (Cmax-Cmin)與R1的關系

在θ1、θ2及h=ln(R2/R1)一定的情況下,MATLAB的數值模擬結果表明,隨著R1(R1的取值小于1)數值的增加,靜電電動機的(Cmax-Cmin)減小,靜電力矩減小,如圖12所示。

圖12 (Cmax-Cmin)與R1的關系(θ1=π/2,θ2=2π/3,h=ln(1.25),L=0.3 m)

4.4 (Cmax-Cmin)與電動機有效軸向長度L的關系

4.5 優化單極靜電電動機力矩輸出特性的途徑

綜合上述的數值模擬結果可以看出,改善單極靜電電動機力矩輸出特性的途徑有四個:一是取θ1<θ2,并增大θ1值;二是增大R2/R1值;三是在θ1、θ2及h=ln(R2/R1)一定的情況下,減小R1的數值;四是盡量增大電動機的有效軸向長度。這四個參數適度配合,就可優化電動機的力矩輸出特性。

5 結 語

計算機數值模擬的研究方法已成為繼實驗研究和理論分析之外的第三種研究手段。本文將理論分析與計算機數值模擬相結合,研究了計及轉子和定子橫向邊緣效應的單極靜電電動機的電場,給出了精確度較高的單極靜電電動機最大和最小電容的差值,明確了優化單極靜電電動機力矩輸出特性的途徑。本文為靜電電動機的設計與研究提供了一種新的方法,具有一定的理論意義和實用價值,也可供相關問題的研究參考。