例談高考物理中“變化趨勢”類圖像問題的解決策略

鮑習中

(池州市貴池區教育體育局教研室,安徽 池州 247000)

物理圖像能直觀地描述物理過程,形象地表達物理規律,鮮明地表示物理量之間的相互關系,是分析和解決物理問題的有效手段之一.在高中物理教學和各類考試中,物理圖像問題無疑占有極其重要的地位,是高考命題的熱點,它涵蓋了各類題型,其中 “變化趨勢”類圖像問題又較為常見,此類題型的特點是：① 圖像坐標系一般沒有具體數值,只給出圖像的大致樣式和變化趨勢;② 基本以選擇題形式呈現,要求判斷哪個圖像最有可能正確.下面針對此類題型的基本解決策略以案說法,并進行梳理和總結.

例1.將一定質量的小球以大小為v0的初速度豎直向上拋出,不計空氣阻力,則小球從拋出再到返回出發點的過程中,分別作出小球的速度-時間(v-t)、速度-位移(v-x)、動能-時間(Ek-t)、動能-位移(Ek-x)的圖像如圖1所示,其中可能正確的是

圖1

1 求導法

求導法是解決“變化趨勢”類圖像問題的一種比較常用的快捷數學方法,導數的含義可理解為一個函數中因變量對自變量的變化率(也稱之為斜率),下面針對該題闡述求導法的3種典型策略.

1.1 直接求導

1.2 引元求導

1.3 二次求導

綜上,可得正確選項為(B).

2 轉換法

3 函數法

函數法是一種比較直接的解決方法,也是學生比較容易想到并使用的方法.思路為根據題目圖像類型的要求運用相應的物理規律,寫出對應的函數方程,然后借助數學知識判斷圖像的正確性.下面就從函數法的角度,對以上4個圖像進行逐一分析.

(1)v-t圖像.由于豎直上拋運動是勻變速直線運動,故由速度公式可得v=v0-gt,該函數為一次函數,其對應圖線為直線,故正確圖像如圖2所示,(A)選項錯誤.

(3)Ek-t圖像.由動能計算式可得Ek=

圖2

圖3

圖4

圖5

4 應用示例

圖6

例2.(2022年江蘇省高考第8題)某滑雪賽道如圖6所示,滑雪運動員從靜止開始沿斜面下滑,經圓弧滑道起跳.將運動員視為質點,不計摩擦力及空氣阻力,此過程中,運動員的動能Ek與水平位移x的關系圖像(圖7)正確的是

圖7

由于本題中有一段曲線軌跡,沒有明確的函數關系,只能考慮用求導法和轉換法處理.

(1) 求導法.

圖8

圖9

(2) 轉換法.

運動員運動的真實空間的軌道,其實本身就是一個h-x圖像(h是運動員相對最低點的高度),如圖9所示.本題相當于已知h-x圖像,求解Ek-x圖像.通過轉化思想,將問題進一步簡化,流程如圖10所示及解析如下.

圖10

轉化1：由于初動能為0,故運動員的動能Ek就等于其相對初位置的動能的增量ΔEk,即Ek=ΔEk,則Ek-x圖像可轉化為ΔEk-x圖像.

轉化2：由動能定理可知動能的增量又等于重力做的功,即ΔEk=mgh′(h′為運動員下降的高度),則ΔEk-x圖像可轉化為mgh′-x圖像.

轉化3：由于本題只在于判斷圖像的變化趨勢是否正確,故函數中的常數不會影響其圖像樣式和走勢,則mgh′-x圖像可略去mg簡化為h′-x圖像.

這樣問題就被轉化為已知運動員離地高度h隨水平位移x變化的h-x圖像,要求畫出運動員下降的高度h′隨水平位移x變化的h′-x圖像,由空間幾何關系不難得到這兩個函數之間滿足關系h′(x)=h0-h(x).而從h-x圖像到h′-x圖像,只需通過如圖9所示的兩步即可輕松完成,先將h-x的圖線①關于x軸對稱得到-h(x)的圖線②,再將圖線②向上平移h0即可得h′-x圖線③.選項(A)正確.