同步衛星漂移問題研究

黃俊杰

(江蘇省海門中學, 江蘇 南通 226100)

地球同步衛星軌道的空間資源是十分有限的,一方面不能在赤道上空無限制地發射同步衛星,另一方面,所發射的同步衛星也無法保證一定是在作圓軌道運動,它有可能會在同步圓軌道附近做離心率很小的周期為24 h橢圓運動．如圖1所示,24 h橢圓軌道上P、P′點,橢圓軌道衛星的角速度等于同步圓軌道衛星的角速度,即ω=ω0.假定初始時刻,橢圓軌道衛星位于P′點,同步圓軌道衛星位于Q′點,在近地心區域P′AP范圍內,橢圓軌道的角速度比同步圓軌道的角速度大,即橢圓軌道衛星追及直至超越同步軌道衛星到達橢圓軌道P點,同步圓軌道衛星落后到達Q點.在遠地心區域PA′P′內,橢圓軌道的角速度比同步圓軌道小,同步圓軌道衛星反過來追及橢圓軌道衛星直至超越橢圓軌道衛星到達軌道Q′點,橢圓軌道衛星落后到達P′．橢圓軌道衛星與同步圓軌道衛星間的追及與反追及的周期性運動,在以同步圓軌道衛星的轉動參考系中,橢圓軌道衛星在同步圓軌道衛星附近做周期性的往復運動,這里形象地稱為橢圓軌道衛星相對于同步軌道衛星的“漂移”運動．

圖1 地球同步衛星軌道

技術上對這類“漂移”是有一定的限制的,通常修正這類“漂移”是通過衛星自帶的動力系統完成的．在中學物理培優教學中,對這種離心率很小的橢圓軌道衛星相對于同步圓軌道衛星的“漂移”運動的研究,對提升學生應用數學知識解決物理問題的能力具有較大的價值．下面選用一道衛星“漂移”問題進行分析探究以加深對這類問題的理解．

例1.假定各國在發射衛星時都遵從以下規定：衛星進入軌道后不可離開本國領土和領海對應的領空,即衛星與地心連線和地球表面的交點必須落在自己的領土或領海上．為下面討論需要,給出同步衛星的軌道半徑R0=4.2×104km．

下面分析一個具體問題：某國發射一顆周期為T0=1天的不用動力飛行的衛星,衛星的軌道平面位于赤道平面內．容易理解,如果衛星取一橢圓軌道,那么它相對于地心的角速度就不是定值,與地面上的參考點之間會發生相對運動．假設這個國家僅有θ=2°經度范圍的赤道領空,發射者就必須將衛星軌道的偏心率e限制在一個很小的范圍內,以保證衛星不離開本國領空．試確定偏心率e的最大可取值．

解析1：平面直角坐標系分析.

依題意,若這個國家僅擁有θ=2°緯度范圍的赤道領空,而橢圓軌道衛星又不能離開這個領空,則依據對稱性,橢圓軌道衛星相對于赤道只能在這個2°的緯度范圍內作往復運動．由于赤道繞地心轉動的角速度,即地球自轉角速度ω0為一定值,則衛星相對于地心轉動的角速度ω只能在ω0±Δω的小幅范圍內變動．

圖2 衛星的橢圓軌道與赤道位置關系示意圖

P、P′右側ω>ω0,衛星相對赤道朝東飛行,設累積的偏轉角度為θ東;P、P′左側ω<ω0,衛星相對赤道朝西飛行,設累積的偏轉角度為θ西．由橢圓軌道衛星相對于赤道在一定經度范圍內的往返運動的周期性可得θ東=θ西,由于題中要求衛星不離開該國僅有的θ0=2°經度范圍的赤道領空,則有θ東=θ西≤θ0=2°．

我們知道,對于圓軌道的同步衛星(偏心率e=0),是不會產生累積的偏轉角度的,所以,上述累積的偏轉角θ東、θ西都是由于橢圓軌道的角速度變化造成的．

下面選取θ東來討論衛星在該國上空單向漂移的情況．

設衛星在P′點時恰好在該國赤道領空區域的西側邊界,衛星轉到P點時恰好處在該國赤道領空區域的東側邊界,衛星由P′運動到P的過程相對于赤道累積轉動的角度為θ東．而后衛星又將相對赤道移到赤道領空東側邊界,如此往復．

解析2：平面幾何分析.

圖3 將赤道轉動用同步圓軌道衛星運動代替

可以認為要使橢圓軌道衛星相對于同步圓軌道衛星始終位于θ經度范圍內,需滿足前T/2橢圓軌道衛星P追同步圓軌道衛星,后T/2同步圓軌道衛星追橢圓軌道衛星P．我們用橢圓軌道的矢徑OP與同步圓軌道半徑OA、OB、OC的轉動追及來分析.

圖4 橢圓軌道

解析3：極坐標方程分析.

天體做圓錐曲線運動的問題研究中,極坐標系圓錐曲線方程是常用的數學方法．

圖5 橢圓的極坐標表示

橢圓運動時間分析.根據角速度

得到轉動微小角度dφ的時間為

考慮到本題情境e為小量,可近似表示為

衛星運動過程P4→P1：矢徑轉動角度為φ0,經歷時間T/4,有

衛星運動過程P1→P2：矢徑轉動φ0→π,經歷時間T/4,有

從上述對橢圓軌道衛星相對于赤道的漂移過程分析與解答過程不難體會到,給出的3種解法中除了必要的運動分析與小量近似之外,所用到的物理規律只有開普勒第二定律.該問題將開普勒第二定律與橢圓的性質結合得如此之緊密,需要具備較高的物理分析能力和相應的數學方法運用的能力．在物理培優教學過程中,不同板塊的物理內容,對數學的要求也是有一定的針對性,在天體運動這一板塊,對圓錐曲線,特別是橢圓的性質運用的要求極高．加之天體運動在中學生物理競賽中又是不折不扣的高頻考點,在教學過程可選用此類探究性的問題,以培養學生熟練運用數學知識研究物理問題的數理融合能力．