小球在非固定凹槽中的下滑時間研究

陳 勝 楊爍涓 楊 慶

(1. 電子科技大學,四川 成都 611731; 2. 邵東市城區第三初級中學,湖南 邵陽 422899;3. 成都七中,四川 成都 610042)

球槽模型中,如果軌道固定不動,小球沿旋輪線軌道從端點到最低點的下滑時間最短,并與自身質量無關.然而,當接觸面光滑且凹槽形狀較為復雜時,例如2023年新課標Ⅰ卷物理第15題考查小球在橢圓形軌道中的相對運動,小球的運動性質將受自身質量、凹槽質量及凹槽形狀等因素的影響,呈現出較為特殊的動力學現象.

1 模型及問題

例1.如圖1所示,在光滑水平地面上放置一個質量為M的勻質光滑凹槽,其軌道形狀函數為y=

圖1 球槽模型示意圖f(x),凹槽的開口寬度為2a,深度為b.質量為m的小球從軌道左端點由靜止開始下滑,整個過程凹槽不翻轉,重力加速度為g,求小球下滑到凹槽最低點的時間.

2 公式推導

以凹槽最低點為原點,建立非慣性坐標系xOy,其中x和y為小球相對于槽的位置,取向右為速度和位移正方向.vm和vM分別為小球和凹槽相對于地面的速度,xm和xM分別為小球和凹槽相對地面的位移.

小球下降高度b-y時,根據能量守恒,小球的重力勢能轉化為小球和凹槽的動能,可得

(1)

由于地面光滑,小球凹槽系統在水平方向上的動量守恒,

mvx+MvM=0.

(2)

將式(2)對時間進行積分(等價于質心不變定理)

mxm+MxM=0.

(3)

小球和凹槽的位移在運動過程中始終遵從幾何關系

a+xm-xM=x.

(4)

由式(3)(4)得(1+m/M)xm=x-a,于是小球絕對速度的豎直分量為

(5)

聯立式(1)～(5),小球在(x,y)處的絕對速度的水平分量為

(6)

小球相對于凹槽的水平速度vx′為

(7)

于是小球從左端點到達凹槽最低點的時間為

(8)

等價于

其中y=f(x)與x=f-1(y)互為反函數.

3 數值結果與分析

3.1 軌道一定

圖2 小球速度分量與其在凹槽中位置的關系曲線(a) vx-x; (b) vy-x.[圖中小框中為t-M/m曲線,與圖3(b)一致]

隨著M/m的增大,vx-x曲線逆時針旋轉,小球到達凹槽相同位置的速度增大.曲線之間間距逐漸減小,對應的下滑時間t收斂于凹槽固定時小球從端點運動到最低點的時間.然而,從t-M/m圖可知,M/m增大將使得vx和t同時增加,于是小球速度越大,并不一定導致下滑時間更短.這是因為小球與凹槽處于相對運動,小球在凹槽中的運動時間取決于小球與凹槽之間的速度差值(相對速度),而與小球的絕對速度無關.此外,由動量守恒定律可知,當小球向右運動時,凹槽將向左運動,小球相對凹槽的速度將增加,從而減少了小球到達相同位置所需的時間.

當小球與凹槽的質量相差不大時,它們之間的相互作用將顯著影響小球的運動.一般來說,M/m越大,凹槽對小球的約束力和反作用力也較大,導致小球“慢”下來,做加速度減小的加速運動.同時vx增大vM減小,兩者之間的相對速度減小,小球的下滑時間增加,具體時間由M/m比值決定,而其中M起主要影響.結合vy-x圖進行分析,同一位置處的vy逐漸減小,與vx的定性關系完全相反,并且vy-x曲線呈現下凹形狀,小球豎直方向經歷先加速再減速的過程,且vy的最大值隨M/m的增大而減小,速度發生轉折的x值也更靠近端點,這兩個因素都使得小球下滑時間增加.

3.2 質量比一定

圖3 (a) 3種不同軌道形狀圖及(b)下滑時間和M/m的關系曲線

4 總結與反思

本文基于一道高考物理壓軸題進行拓展分析,探究了具有較特殊形狀的球槽模型中的相對運動,并利用公式和圖像法得出：凹槽和小球的質量比越大,凹槽軌道的形狀越彎曲,小球從端點下滑到軌道最低點的時間就越短.因此,教師在教學中不能僅局限于經典結構,還應該學會拓展思維,延伸模型的應用范圍,并掌握問題背后的物理原理和機制,以進行合理的分析.同時教師不僅要教導學生解題步驟,還可以借助作圖軟件或實驗等手段,讓學生直觀感受到相對運動背后的物理圖像,以加深他們對此物理概念的理解.只有這樣,學生才能擁有更廣泛的認知,更好地理解答案的來源,從而提高物理學習的效果和質量.