含有偏置電壓源的非齊次分數階憶阻混沌電路動力學分析與實驗研究*

吳朝俊 方禮熠? 楊寧寧

1) (西安工程大學電子信息學院,西安市電氣設備互聯感知與智能診斷重點實驗室,西安 710048)

2) (西安理工大學電氣工程學院,西安 710048)

1 引言

憶阻器是蔡紹棠[1,2]提出的第4 種基本電路元件,由于其獨特的非易失性和非線性,在神經網絡、人工智能、數據存儲和混沌電路等領域中得到了廣泛關注和深入研究[3–8].眾所周知,非線性元件,例如蔡氏二極管和憶阻器等[9,10],對混沌系統復雜動力學行為的產生起著重要的作用.因此,在過去的十多年中,研究者提出了眾多包含不同非線性函數的憶阻器[11–14].由于蔡氏電路、文氏橋振蕩器和Shinriki 振蕩器等都只涉及結構對稱的非線性系統,因此它們能產生對稱的雙渦卷吸引子[15–17].目前,學者們試圖將具有不對稱電壓-電流(V-I)特性的非線性元件引入到一些現有的振蕩電路中,以探索結構上的不對稱效應[18,19].Cao 等[20]提出了一種具有非對稱結構的混沌Jerk 電路,在此基礎上得到了非對稱雙渦卷吸引子和非對稱的共存分岔模式.Kengne 等[21]提出了將不對稱二極管橋憶阻器引入混沌電路的模型,該模型產生了多種動力學行為,包括周期、混沌、周期泡、混沌泡、倍周期分岔等現象.此外,Wu 等[22]提出了在二極管橋中插入偏置電壓源的模型,并將其引入Shinriki 振蕩器中.由于偏置電壓源的引入,使系統的不對稱性具有連續可調的特點,使原來對稱的吸引子逐漸轉變為不對稱的吸引子.

由于納米級器件的制作成本和實現難度,目前對憶阻器的研究大都停留在實驗室層面.通過開發具有憶阻器特性的等效電路,可以使憶阻器得到更加普遍的研究,拓寬憶阻器的研究領域,對其發展和應用具有促進作用.同時,研究表明電容、電感等器件是分數階的,分數階模型比整數階模型更精確.建立非理想憶阻器的分數階模型,可以獲得更加接近實際的特性[23].目前對于含有偏置電壓源的憶阻器的研究還停留在整數階,而由于其具有不對稱緊磁滯回線的調控能力,使獲得物理憶阻器的不對稱緊磁滯回線更容易.且分數階微積分對模型的描述更加接近其本質特征,在將含有偏置電壓源的憶阻器推至分數階后,可以獲得更加精確的憶阻器模型,同時系統的階次也會對動力學行為產生影響.

為了研究含有偏置電壓源的分數階憶阻器的電路特性,本文首先建立了一種含有偏置電壓源的分數階二級管橋憶阻器模型,并對其電氣特性進行了分析.其次,將此模型引入到Jerk 振蕩器中,并將電路模型中的電容元件推廣到分數階次,建立了含有偏置電壓源的分數階非齊次憶阻混沌電路模型.研究偏置電壓源電壓改變對系統動力學行為的影響,結果表明在分數階系統中引入電壓偏移量,當初值為正時,系統隨偏移電壓的增大逐漸由周期態進入混沌態,當初值為負時系統并不受偏移電壓的影響.再次,在PSpice 中搭建了分數階非齊次憶阻混沌電路的等效電路模型,完成了整數階與分數階的電路仿真.最后,在NI 設備上進行了系統的電路實驗,進一步證明了理論分析的正確性與可行性.

2 分數階微積分理論概述

式中,q為分數階微積分的階次,t為自變量,m表示該變量的下邊界,τ表示時間變量.

分數階微分算子普遍接受的定義主要包括GL,R-L 和Caputo 定義.與其他定義下的分數階微分算子相比,Caputo 分數階導數定義具有與整數階微積分相同的形式,對該類型分數階導數采用Laplace 變換更清晰,并在諸多實際應用問題處理中得到廣泛使用.因此,本文采用Caputo 定義的微分算子.Caputo 分數階導數定義如下:

式中,f(t)是關于時間t的連續性函數;n∈N,是不小于q的最小整數;Γ(·) 為Gamma 函數,其表達式為

在理想條件下,當q無限接近于n時,Caputo導數也就成了函數f(t) 的常規n階導 數.Caputo分數階導數的Laplace 變化為

式中,s表示復頻率,k表示正整數變量.

因為本文只涉及系統初值為零時的情況,所以Caputo 分數階導數的Laplace 變換能夠化簡為以下形式:

3 含有偏置電壓源的分數階憶阻器與混沌電路建模

3.1 含有偏置電壓源的分數階二極管橋憶阻器建模

Wu 等[22]提出了一種在二極管橋憶阻器中串聯一個電壓源的模型,可以通過調整串聯電壓源Em的幅值來控制憶阻器緊磁滯回線的對稱性,電路結構簡單如圖1 所示.該憶阻器電路由4 個二極管、1 個電阻、1 個電容以及1 個直流電壓源構成.

圖1 含偏置電壓源憶阻器等效電路及憶阻器符號[22]Fig.1.Equivalent circuit of memristor with bias voltage source and symbol of me mristor[22].

研究表明實際的電容與電感等非線性元件都表現出分數階特性,所以本文在圖1 含有偏置電壓源的憶阻器的基礎上,將電容拓展到分數階次,構成了一種新型的含有偏置電壓源的分數階憶阻器.其電路等效模型如圖2 所示.

圖2 含偏置電壓源的分數階憶阻器等效電路及憶阻器符號Fig.2.Equivalent circuit of fractional memristor with bias voltage source and symbol of memristor.

對于圖2 中的分數階憶阻器電路模型,結合基爾霍夫定律,電路方程可以表示為

式中,ξ=1/(2nVT),IS,n和VT分別表示二極管的反向飽和電流、發射系數和熱電壓.vm為電容兩端電壓,iin為分數階憶阻器的端口電流.所采用的二極管參數為IS=2.682 nA,n=1.9,VT=26 mV.

根據上面建立的電路模型,通過Matlab 軟件進行數值仿真,研究分數階憶阻器的電氣特性.給定一個正弦激勵信號vin=Asin(2πft),并將分數階電容值設置為5.8 μF,電阻值為Rm=1 k?.當輸入信號的幅值A=2 V,偏置電壓源Em=0 V,分數階電容階次q1=0.98 時,改變頻率,得到的含偏置電壓源的分數階憶阻器的磁滯回線如圖3(a)所示.分數階憶阻器的vin-iin曲線是通過原點收縮的緊磁滯回線,并且隨著頻率的增大,緊磁滯回線包圍的面積逐漸收縮.當改變其階次(其他參數不變),得到的磁滯回線如圖3(b)所示.在相同參數下,隨著分數階階次的增大,緊磁滯回線包圍的旁瓣面積會逐漸變小.最后,圖3(c)為其他參數不變,在不同偏置電壓下的磁滯回線,隨著偏置電源電壓Em的增大,磁滯回線的不對稱性明顯變強.

圖3 含偏置電壓源的分數階憶阻器磁滯回線 (a) q1=0.98,Em=0 V,頻率改變;(b) f=200 Hz,Em=0.1 V,分數階次改變;(c) q1=0.98,f=200 Hz,偏置電壓改變Fig.3.Hysteresis loop of fractional memristor with bias voltage source: (a) q1=0.98,Em=0 V,frequency change;(b) f=200 Hz,Em=0.1 V,fractional order change;(c) q1=0.98,f=200 Hz,bias voltage change.

由圖3 可以看出分數階憶阻器的左右旁瓣面積的對稱性被打破,V-I曲線的不對稱程度可以由電壓源Em的值來控制,將V-I曲線的不對稱度δ定義為電流iin的谷底值與峰值的比率,表示為

δ值域在[0,1]中.當f=500 Hz,q1=0.98,Em=[0 V,1 V],δ相對于電壓源Em的演變曲線在圖4中給出.對于Em=0 V 的對稱分數階二極管橋憶阻器,δ=1.隨著Em的增大,分數階二極管橋憶阻器的不對稱程度增大,相應的不對稱度δ逐漸減小.當Em變為約0.5 V 時,δ接近0,導致旁瓣的右葉消失.如上所述,當Em>0 V 時,分數階二極管橋憶阻器是不對稱憶阻器.分數階二極管橋憶阻器的不對稱程度可以通過電壓源Em連續調整,適合于電路應用.

圖4 V-I 曲線的不對稱程度Fig.4.Degree of asymmetry of the V-I curve.

3.2 非齊次分數階憶阻混沌電路建模

通過將Jerk 混沌振蕩電路與含偏置電壓源的分數階憶阻器相結合,并將Jerk 混沌電路中的一個電容元件改為與分數階憶阻器不同的階次,組合成一種新型的含偏置電壓源的非齊次分數階憶阻混沌電路.圖5 給出了其電路原理圖,據此系統的電路模型為

圖5 非齊次分數階憶阻混沌系統Fig.5.Non homogeneous fractional order memristor chaotic system.

式中,電壓v1和v3分別表示電容C1和C3兩端的電壓,v2為分數階電容兩端的電壓,vm為分數階憶阻器中分數階電容兩端的電壓.元件參數取值如下:Ra=0.9524 k?,Rb=3.846 k?,Rc=15 k?,R1=R2=R3=R4=R5=R6=10 k?,Rm=1 k?,C1=C3=10 nF,=10 nF,=5.8 μF.

將時間、參數以及變量進行重新標度,取值如下:Vref=2nVT,t=R1C1τ,x1=v1/Vref,x2=v2/Vref,x3=v3/Vref,x4=vm/Vref,a=R/Ra,b=R/Rb,c=R/Rc,d=Em/Vref,ξ=1/(2nVT),ε=(R1IS)/Vref,β=C1/Cm,γ=R1/Rm.可以得到系統的無量綱方程如下:

4 混沌系統動力學行為分析及電路仿真

4.1 系統穩定性分析

4.1.1 整數階系統

先對整數階系統的穩定性進行分析.將(9)式左側各項設置為0,通過化簡整理后,方程組變為如下的形式:

將(10)式中的其他電路參數固定,使之隨著參數d變化,通過Matlab 為兩個超越方程繪制兩條隱函數曲線,并通過檢查這兩條曲線的交點獲得解集,(10)式的每個解對應一個平衡點.圖6 給出了d=0,0.1,0.3 的曲線,當d變化時,對于每個參數d的值,系統始終存在3 個平衡點P-,P0和P+.且隨著參數d增大,平衡點P-與P0的位置始終不變,而P+的位置沿右上方向逐漸偏離原點.平衡點P處的系統模型(10)的雅可比矩陣MJ推導如下:

圖6 參數d 變化的平衡點在x1-x4 平面上的分布Fig.6.Distribution of equilibrium points for parameter d changes on the x1-x4 plane.

平衡點P的穩定性可以基于計算的特征值來確定,使用Matlab 計算(11)式給出的雅可比矩陣特征值,所得結果如表1 所列.P0是一個不穩定的指數1 鞍焦點(USF),由一個正實根、一對具有負實部的復根和一個負實根組成,而P-和P+是兩個不穩定的指數2 鞍焦點,具有一對具有正實部的復根和兩個負實根.對于所有參數d,P-和P0處的特征值保持不變,而P+處的特征值明顯變化.

表1 系統平衡點及其穩定性Table 1.System equilibrium point and its stability.

4.1.2 分數階系統

引理如果一個自治的分數階系統在平衡點是漸近穩定的,那么平衡點處的雅可比矩陣的所有特征值滿足:

式中,eig(MJ) 表示矩陣MJ的所有特征值.由表1可知,對于所有平衡點P–,P0和P+處的特征值,總是存在 |arg[eig(MJ)]|

4.1.3 整數階系統的動力學行為

為了研究偏置電壓Em變化對整數階憶阻混沌系統的影響,這里選擇將參數Em作為變量,取系統初值為 (±0.45 V,0 V,0 V,0 V),當保持系統的其他參數都不變時,繪制的系統分岔圖如圖7 所示.可以看出系統初值為正,Em=0 時系統處于單周期狀態,并隨著偏置電壓源電壓的增大,由倍周期分岔進入混沌態.在初值為負時,系統始終處于周期態,未發生改變.隨后圖8 和圖9 給出了系統由周期態進入混沌態的相圖與各平面相圖,可以看出與分岔圖相吻合.此處所討論的偏置電壓源的變化正是對應于前文的V-I不對稱程度概念,都是通過改變偏置電壓源的電壓,從而研究系統的動力學行為.通過與前文中V-I曲線的不對稱程度進行對比分析,發現隨著不對稱度δ 的下降,初值為正時,系統逐漸由周期態進入混沌態.

（3）完善的工作體系和制度。完善的工作體系和制度，是提高思想政治工作實效性的根本保障和前提，同時也是做好思想政治工作的必要條件，供電企業要緊密結合供電企業的生產經營工作，結合自身實際情況創新開展思想政治工作。要加強對思想政治工作流程的梳理，認真落實意識形態工作責任制，形成閉環管理，加強監督體系建設，并做好思想政治工作機制的分析和研究，在實踐過程中總結經驗，不斷地規范與完善思想政治工作流程，顯著提高思想政治工作的實效性。

圖7 整數階系統分岔圖,其中紅色(+)和綠色(–)分別為系統初值取(±0.45 V,0 V,0 V,0 V)Fig.7.Bifurcation diagram of integer order system,where red (+) and green (–) represent system initial values of(±0.45 V,0 V,0 V,0 V).

圖8 不同偏置電壓Em 下,整數階系統由周期到混沌相圖,其中紅色(+)和綠色(–)分別為系統初值取(±0.45 V,0 V,0 V,0 V)(a) 0 V;(b) 0.2 V;(c) 0.3 V;(d) 0.32 V;(e) 0.35 V;(f) 0.6 VFig.8.Phase diagram of integer order systems from period to chaos at different bias voltage Em,where red (+) and green (–)represent initial values of (±0.45 V,0 V,0 V,0 V) for the system: (a) 0 V;(b) 0.2 V;(c) 0.3 V;(d) 0.32 V;(e) 0.35 V;(f) 0.6 V.

圖9 整數階系統各平面相圖 (a) v1-v2;(b) v1-v3;(c) v1-v4;(d) v2-v3Fig.9.Phase diagrams of various planes in integer order systems: (a) v1-v2;(b) v1-v3;(c) v1-v4;(d) v2-v3.

4.1.4 分數階系統的動力學行為

取與整數階系統相同的初值,直接使用(8)式進行數值仿真,繪制的分數階系統分岔圖如圖10所示.隨著參數Em的改變,系統由于對稱性被破壞,初值為正時系統呈現出周期,隨后倍周期分岔進入混沌態,而系統初值為負時,不受偏置電壓的影響,并始終呈現出周期態.為進一步驗證電壓Em的影響,圖11 和圖12 給出了相對應的系統由周期態步入混沌態的相圖與各平面相圖.可以看到,系統初值為正,Em=0 V 時系統為單周期態,Em=0.2 V 時為雙周期態,Em=0.3 V 時為四周期態,Em=0.32 V 時為八周期態,并隨后逐漸進入混沌態.可以看出,雖然對稱性的破壞會對初值為正時的系統有影響,但并不會對初值為負時的系統產生影響,驗證了上述理論分析的結果.

圖10 分數階系統分岔圖,其中紅色(+)和綠色(–)分別為系統初值取(±0.45 V,0 V,0 V,0 V)Fig.10.Bifurcation diagram of fractional order system,where red (+) and green (–) represent system initial values of (±0.45 V,0 V,0 V,0 V).

圖11 不同偏置電壓Em 下,分數階系統由周期到混沌相圖,其中紅色(+)和綠色(–)分別為系統初值取(±0.45 V,0 V,0 V,0 V)(a) 0 V;(b) 0.2 V;(c) 0.3 V;(d) 0.32 V;(e) 0.4 V;(f) 0.6 VFig.11.Phase diagram of fractional order systems from Period to chaos at different bias voltage Em,where red (+) and green (–)represent initial values of (±0.45 V,0 V,0 V,0 V) for the system: (a) 0 V;(b) 0.2 V;(c) 0.3 V;(d) 0.32 V;(e) 0.4 V;(f) 0.6 V.

圖12 分數階系統各平面相圖 (a) v1-v2;(b) v1-v3;(c) v1-v4;(d) v2-v3Fig.12.Phase diagrams of fractional order systems in various planes: (a) v1-v2;(b) v1-v3;(c) v1-v4;(d) v2-v3.

分數階模型通過分數階階次的引入增加了系統的靈活性和自由度.為了討論階次對分數階非齊次憶阻混沌電路性能的影響,取與4.1.3 節中相同的電路參數,當Em=0.4 V,初值為(±0.45 V,0 V,0 V,0 V)時,系統隨階次q1變化的分岔圖如圖13所示,可知階次也會對系統產生影響.當初值為正時,系統同樣隨著階次的改變,從周期態由倍周期分岔進入混沌態;當初值為負時,系統始終處于周期態,但隨著階次的上升,電壓v1緩慢下降.同時,為了探索初值變化時,系統周期與混沌共存的穩態分布,以初值v1(0) 與v3(0) 為變量,系統的吸引盆如圖14 所示,其中左邊黃色代表周期態,右邊藍色代表混沌態.

圖13 系統隨階次變化分岔圖 (a) 系統初值為(0.45 V,0 V,0 V,0 V);(b) 系統初值為(–0.45 V,0 V,0 V,0 V)Fig.13.Bifurcation diagram of system with order variation: (a) Initial value of the system is (0.45 V,0 V,0 V,0 V);(b) initial value of the system is (–0.45 V,0 V,0 V,0 V).

圖14 含有偏置電壓源的分數階系統吸引盆Fig.14.Fractional order system suction basin with bias voltage source.

4.2 憶阻混沌電路的仿真研究

4.2.1 整數階憶阻混沌電路

圖15 為整數階憶阻混沌電路實現原理圖,電路中的二極管型號選擇為1N4148,運算放大器的型號為TL084,系統的參數設置與數值仿真時相同.仿真所得電路由周期態進入混沌態相圖與各平面相圖如圖16 和圖17 所示,結果與數值仿真基本一致.

圖15 整數階系統電路仿真原理圖Fig.15.Schematic diagram of integer order system circuit simulation.

圖16 不同偏置電壓Em 下,整數階系統電路仿真由周期到混沌相圖,其中紅色(+)和綠色(–)分別為系統初值取(±0.45 V,0 V,0 V,0 V) (a) 0 V;(b) 0.2 V;(c) 0.3 V;(d) 0.32 V;(e) 0.35 V;(f) 0.6 VFig.16.Circuit simulation of integer order system from period to chaos phase diagram at different bias voltage Em,where red (+)and green (–) represent initial values of (±0.45 V,0 V,0 V,0 V) for the system: (a) 0 V;(b) 0.2 V;(c) 0.3 V;(d) 0.32 V;(e) 0.35 V;(f) 0.6 V.

圖17 整數階系統電路仿真各平面相圖 (a) v1-v2;(b) v1-v3;(c) v1-v4;(d) v2-v3Fig.17.Fractional order system circuit simulation phase diagrams of each plane: (a) v1-v2;(b) v1-v3;(c) v1-v4;(d) v2-v3.

4.2.2 分數階憶阻混沌電路等效實現

實現分數階非齊次憶阻混沌電路,需要建立分數階電容的等效電路模型.采用Oustaloup 濾波算法計算分數階模塊的傳遞函數,然后將傳遞函數化為零極點的形式,從而等效實現.圖18 為分數階電容的實際等效電路圖,通過該模型可以得到分數階電容等效電路表達式:

圖18 分數階電容等效電路Fig.18.Fractional order capacitor equivalent circuit.

當階次q1=0.98,q2=0.99,且近似階數n=5時,近似的線性傳遞函數為

根據(13)式可以計算出分數階電容的具體參數值.當分數階電容與的分數階階次分別為q1=0.98,q2=0.99 時,可以得到相應的分數階電容的等效電路參數值,見表2 和表3.通過對分數階電容的電路建模(圖18)以及對分數階電容等效電路中電容值和電阻值的求解(表2 和表3),依據圖18 中的等效電路模型在PSpice 軟件中搭建分數階電容,其電路原理圖見圖19.

表2 分數階電容和 的等效電阻參數Table 2.Equivalent resistance parameters of fractional capacitor and .

表2 分數階電容和 的等效電阻參數Table 2.Equivalent resistance parameters of fractional capacitor and .

表3 分數階電容 和 的等效電容參數Table 3.Equivalent capacitance parameters of fractional capacitance and .

圖19 分數階系統電路仿真原理圖Fig.19.Schematic diagram of fractional order system circuit simulation.

通過電路仿真,可以得到分數階非齊次憶阻混沌電路的相圖,如圖20 和圖21 所示.圖中顯示了分數階混沌系統從周期態到混沌態的演變,以及混沌態時各平面的相圖.通過對比圖16(f)與圖20(f)相圖可以看出,由于受到電容階次的影響,系統混沌態相圖的混沌區域明顯減小.從仿真結果發現,分數階電路仿真的結果與數值仿真的結果基本一致,從而驗證了理論分析的正確性.

圖20 不同偏置電壓Em 下,分數階系統由周期到混沌電路仿真相圖,其中紅色(+)和綠色(–)分別為系統初值取(±0.45 V,0 V,0 V,0 V) (a) 0 V;(b) 0.2 V;(c) 0.3 V;(d) 0.32 V;(e) 0.4 V;(f) 0.6 VFig.20.Simulation phase diagram of fractional order system from period to chaos circuit at different bias voltage Em,where red (+)and green (–) represent initial values of (±0.45 V,0 V,0 V,0 V) for the system: (a) 0 V;(b) 0.2 V;(c) 0.3 V;(d) 0.32 V;(e) 0.4 V;(f) 0.6 V.

圖21 分數階系統電路仿真各平面相圖 (a) v1-v2;(b) v1-v3;(c) v1-v4;(d) v2-v3Fig.21.Fractional order system circuit simulation phase diagrams of each plane: (a) v1-v2;(b) v1-v3;(c) v1-v4;(d) v2-v3.

5 電路實驗

本文選擇NI 設備進行混沌系統的硬件實現,其實驗原理與實驗平臺如圖22 所示.設備與電腦通過以太網進行通訊,LabVIEW 軟件采用的是模塊化編程.其中,分數階實驗對分數階微積分方程進行了近似,實現了分數階微積分的基本算子,即分數階積分和導數運算.在NI LabVIEW 軟件中搭建好離散混沌系統模型后,進行編譯.通過探頭將接口連接到示波器上觀察系統的相圖,得到的整數階混沌系統,如圖23 和圖24 所示.分數階混沌系統相圖,如圖25 和圖26 所示.當Em=0 V 時,整數階系統與分數階系統都為單周期共存,并隨著Em的增大,正初值時系統逐漸進入混沌,而負初值時系統不受偏置電壓Em的影響.實驗所得相圖與數值仿真,電路仿真相吻合,進一步證明了理論的正確性.

圖22 混沌系統實驗原理圖及實驗平臺Fig.22.Schematic diagram and experimental platform of integer order system experiment.

圖23 不同偏置電壓Em 下,整數階實驗由周期進入混沌相圖,其中粉色(+)與藍色(–)分別代表系統初值為(±0.45 V,0 V,0 V,0 V) (a) 0 V;(b) 0.2 V;(c) 0.3 V;(d) 0.32 V;(e) 0.35 V;(f) 0.6 VFig.23.Integer order experiment from period to chaotic phase diagram at different bias voltage Em,where pink (+) and blue (–)represent system initial values of (±0.45 V,0 V,0 V,0 V),respectively: (a) 0 V;(b) 0.2 V;(c) 0.3 V;(d) 0.32 V;(e) 0.35 V;(f) 0.6 V.

6 結論

憶阻器作為一種重要的非線性元件,因其獨特性能具有巨大的應用潛力.由于分數階微積分對實際電路的描述更加準確,本文提出了一種新型含有偏置電壓源的分數階憶阻器模型,通過對其數學模型的仿真研究,可知分數階憶阻器的磁滯回線的對稱性可以隨著偏置電壓源Em的值調整.然后結合Jerk 振蕩器,構建了一種含有偏置電壓源的分數階非齊次憶阻混沌電路.結合分岔圖與相圖等手段,分析了Em對系統的影響.結果表明,隨著Em的改變,初值為正時,整數階與分數階系統都會呈現倍周期分岔進入混沌的動力學行為;但在初值為負時,系統不受偏置電壓的影響.隨后,建立了分數階電容等效電路模型,在PSpice 中進行了分數階非齊次憶阻混沌電路的電路仿真,其結果與數值仿真分析基本一致.最后,在NI 設備上完成了整數階與分數階混沌系統的硬件實驗.驗證了理論分析的正確性,拓展了模擬物理憶阻器不對稱磁滯回線的相關理論.