漸近安全引力下的黑洞陰影和光環(huán)*

李慧玲 黃雨萌 楊承宇

(沈陽師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,沈陽 110034)

1 引言

2019年,事件視界望遠(yuǎn)鏡合作組織合成了第一張超大質(zhì)量黑洞M87*圖像[1],這使得黑洞的研究更具有現(xiàn)實意義.通過發(fā)布的圖片可以看到,在黑洞周圍有一個明亮的環(huán),即黑洞光環(huán).盡管黑洞光環(huán)最早出現(xiàn)在1979年Luminet[2]模擬的圖像,但是一些更為基礎(chǔ)的理論可以追溯到1973年Bardeend[3]的研究中,甚至在1959年的Darwin[4]也發(fā)現(xiàn)了關(guān)于光環(huán)的描述.最近,在愛因斯坦-麥克斯韋標(biāo)量模型中發(fā)現(xiàn),多毛黑洞周圍的光環(huán)在一定的參數(shù)范圍內(nèi)可以非常寬,并且它由多個不同亮度的同心圓組成[5].基于黑洞光環(huán)普遍干涉的特征,Gralla 等[6]提出了用一種新的強(qiáng)場廣義相對論測試方法來研究光環(huán)形狀.Himwich 等[7]還討論了長干涉基線上光環(huán)相應(yīng)的偏振的普遍特征.此外,準(zhǔn)-黑洞時空的光環(huán)與時空穩(wěn)定性問題也得到了詳盡的討論[8].

在發(fā)布的M87*黑洞圖像的照片中除了光環(huán)外,還可看到光環(huán)內(nèi)有一片暗區(qū),即黑洞的陰影(與常規(guī)陰影區(qū)分,一般可稱為內(nèi)陰影).早期的研究表明,存在一條與黑洞陰影和光環(huán)密切相關(guān)的特殊曲線,被巴丁稱為明顯邊界,即臨界曲線.來自臨界曲線的光線漸近接近一束縛光子軌道.史瓦西黑洞的束縛光子軌道半徑是r=3M,而臨界曲線是一表觀半徑(入射參數(shù))[3,9]的圓.常規(guī)的黑洞陰影為臨界曲線的內(nèi)部.研究發(fā)現(xiàn)非旋轉(zhuǎn)黑洞的陰影是圓形的,并且M2-branes 數(shù)可以控制非旋轉(zhuǎn)黑洞陰影的大小,但是在某些模空間區(qū)域表現(xiàn)出的旋轉(zhuǎn)解是心臟形狀的扭曲圖形[10].另一方面,由于黑洞引力場強(qiáng),會吸收周圍的物質(zhì)而形成吸積盤,這樣吸積盤可成為黑洞附近明亮的光源.黑洞附近時空是彎曲的,由于黑洞引力場中的彎曲效應(yīng),從吸積盤發(fā)出的部分光子可以被黑洞捕獲,由此人們看到被吸積盤照亮的黑洞投影的像有一片黑暗的區(qū)域,即黑洞的陰影(內(nèi)陰影).受黑洞照片的激發(fā),近年來,帶有吸積盤的黑洞的陰影已引起了人們極大的興趣.根據(jù)文獻(xiàn)[9],黑洞陰影的半徑和形狀依賴于吸積盤的模型及發(fā)生輻射的位置.當(dāng)所考慮的模型是吸積盤作為光源,其輻射在某一內(nèi)部邊緣停止時,主要暗區(qū)就是邊緣的表觀位置.當(dāng)輻射延伸到視界(到視界處停止),主要暗區(qū)(黑洞的內(nèi)陰影)就是視界的表觀位置.而臨界曲線(常規(guī)的黑洞陰影) 對這種吸積盤下的黑洞圖像的主要暗區(qū)不能起決定性的作用.光學(xué)薄吸積盤包圍的黑洞的圖像通常顯示為中心亮度顯著下降(即黑洞陰影)和狹窄的光環(huán),這與廣義相對論預(yù)測一致[11].Chael 等[11]對黑洞內(nèi)陰影的觀察指出,對于位于赤道平面延伸到視界的光學(xué)薄盤,對應(yīng)圖像中的暗區(qū)將縮成一更小的區(qū)域,即內(nèi)陰影.利用數(shù)值逆向光線追蹤法,由吸積盤照亮的Kerr-Melin 黑洞的觀測表觀也得到了深入的探究.結(jié)果發(fā)現(xiàn): 在黑洞圖像中可以清晰地展現(xiàn)直接像、透鏡像、內(nèi)陰影和臨界曲線這四類曲線特征,且臨界曲線和內(nèi)陰影曲線存在顯著差異,可以利用它們估算黑洞的磁場[12].對于不同薄盤吸積模型下,暗物質(zhì)及暗能量對黑洞內(nèi)陰影的影響已得到了充分的研究[13,14].對于幾何和光學(xué)厚的吸積盤而言,通過研究發(fā)現(xiàn),黑洞陰影隨吸積盤質(zhì)量的增加而變得更加扁長[15].總之,近年來,黑洞陰影和光環(huán)已引起了國內(nèi)外專家的廣泛關(guān)注[16–28].

黑洞是廣義相對論經(jīng)典場方程的解,它經(jīng)歷了引力塌縮的時空區(qū)域.在事件視界內(nèi),方程的解受到奇點影響.由于在量子場理論框架內(nèi)描述引力面臨著廣義相對論不可重整特性的缺點,由此人們提出了圈量子引力[29–32]和弦理論[33,34].而解決這種問題的另一個建議就是漸近安全 (asymptotically safe,AS)引力,這是由Weinberg[35]首次提出的引力方案.最近Bonanno 和Reuter[36]通過使用重整化群改進(jìn)了AS 引力下的黑洞度規(guī).研究表明,對AS 引力下的黑洞,修正參數(shù)可對黑洞的熱力學(xué)和相變產(chǎn)生重要影響[37].關(guān)于AS 引力下黑洞其他特征的評論可參見文獻(xiàn)[38–41].本文重點探討薄盤吸積與修正參數(shù)對AS 引力下黑洞陰影和光環(huán)的影響.

2 黑洞的光線偏折

在AS 引力下修正的史瓦西黑洞度規(guī)可以表示為[35]

式中,m是黑洞質(zhì)量;φ是外事件視界水平方位角的總變化;ξ是AS 引力下的修正參數(shù),當(dāng)ξ=0時,度規(guī)將退回到史瓦西黑洞.由方程1-2mr/(r2+ξ)=0得到兩個解,即

其中,r-和r+分別代表內(nèi)外視界半徑,為了保證黑洞存在事件視界,要求 0 ≤ξ≤m2.為研究AS引力下黑洞光線偏折的規(guī)律,引入拉格朗日方程:

式中,χ是仿射參量;是四速度;L是拉氏量,

一般來說,我們關(guān)注的是赤道平面內(nèi)的光的偏折,即θ=π/2 和=0.考 慮到拉格朗日方 程中不顯含t和φ,即

與它們對應(yīng)的守恒量E和J,即總的能量和總的角動量.再結(jié)合(1)式、(3)式和(4)式,可以得到時間、方位角和四速下的徑向分量的表達(dá)式如下:

其中(8)式的“–”號和“+”號分別表示方位角沿著順時針和逆時針方向.上面重新定義仿射參數(shù)χ→χ/|J|,并且定義b=|J|/E為入射參數(shù).引入U(r)代表有效勢,通過改寫(9)式可有:

基于(12)式和(13)式,得到光子球的半徑rp和光子球處的入射參數(shù)bp.當(dāng)ξ取不同值時,對應(yīng)r+,rp和bp的大小如表1所列(本文為數(shù)值計算方便,取m=1),顯然r+,rp和bp都隨ξ的增大而減小.

圖1 給出了ξ=0.05和ξ=0.9 的 有效 勢隨 黑洞半徑變化圖像.可以看出,在事件視界處有效勢消失,而在光子球處,有效勢達(dá)到最大值,隨后又隨著r的增大而減小.當(dāng)光沿著徑向運(yùn)動時,有效勢將影響它的運(yùn)動軌跡.在區(qū)域1,光遇到勢壘后向外輻射;在區(qū)域2,光漸近地接近光子球,由于角速度是非零的,光繞著黑洞旋轉(zhuǎn)很多次;在區(qū)域3,光將繼續(xù)向內(nèi)運(yùn)動,沒有勢壘的阻礙,進(jìn)入黑洞內(nèi)部.根據(jù)運(yùn)動方程,結(jié)合(8)式和(9)式,可得光的運(yùn)動軌跡為

令w=1/r,代入(14)式,得到

根據(jù)(15)式可以得到光的軌跡.如圖2 所示,光從右側(cè)向黑洞運(yùn)動,在區(qū)域3 (即bbp,與圖中橘色線對應(yīng)),由于勢壘作用,光軌跡發(fā)生偏折,不能進(jìn)入黑洞.這與圖1 相對應(yīng).

圖2 極坐標(biāo)(r,φ)下和光軌跡圖像.藍(lán)線代表 b=bp,灰線代表 bbp.所有光線 的入射 參數(shù)的 間距為0.2,黑洞用黑色實心圓盤表示 (a) ξ=0.05;(b) ξ=0.9Fig.2.Tracks of light ray in polar coordinates (r,φ).Blue line represents b=bp,gray line represents bbp.The impact parameters for all rays have a spacing of 0.2,black holes are represented by black disks: (a) ξ=0.05;(b) ξ=0.9.

3 AS 引力下具有薄盤吸積的黑洞陰影和光環(huán)

本文考慮具有光學(xué)薄和幾何薄的吸積盤.薄盤吸積的一個重要特征是黑洞陰影周圍明亮的光環(huán)來自直接像、光子環(huán)和透鏡環(huán)的貢獻(xiàn)[3].可根據(jù)光的運(yùn)動軌跡區(qū)分直接像、光子環(huán)和透鏡環(huán).本節(jié)詳細(xì)討論薄盤吸積與AS 引力修正參數(shù)對黑洞陰影(本文指吸積盤內(nèi)邊界形成的像——內(nèi)陰影)和光環(huán)的影響.

3.1 修正參數(shù)對黑洞光軌跡的影響

本節(jié)使用n=φ/2π 定義軌道分?jǐn)?shù)來區(qū)分光軌跡.在這里,分別用綠色、橘色和紫色的線來表示直接像、透鏡環(huán)和光子環(huán)對應(yīng)的光線.根據(jù)文獻(xiàn)[3]的定義,這些光線分別與赤道平面相交一次、兩次和兩次以上,也就是直接像(direct image)對應(yīng)n<3/4,透鏡環(huán)(lensing ring)對應(yīng) 3/45/4.對于ξ=0.05和ξ=0.9 的情況,直接像、光子環(huán)、透鏡環(huán)的入射參數(shù)b的范圍如(16)式和(17)式所示.

根據(jù)直接像、光子環(huán)和透鏡環(huán)參數(shù)范圍,繪出光的軌道分?jǐn)?shù)與入射參數(shù)之間的關(guān)系及光軌跡圖像,如圖3 所示.在這里,直接像對應(yīng)的綠色線最多,透鏡環(huán)對應(yīng)的橘色線很少,而光子環(huán)對應(yīng)的紫色線最少,幾乎可以忽略.光在圍繞黑洞旋轉(zhuǎn)時,會從吸積盤中吸收一些輻射,這使光環(huán)亮度增加,但由于透鏡環(huán)和光子環(huán)總的光強(qiáng)度與直接像總的光強(qiáng)度相差很多,所以對光環(huán)亮度貢獻(xiàn)最大的應(yīng)是直接像.對比ξ=0.05和ξ=0.9 的情況,顯然修正參數(shù)ξ會影響黑洞陰影半徑,修正參數(shù)ξ越大,黑洞陰影半徑就越小.

圖3 (a),(b)極坐標(biāo) (r,φ) 下光的運(yùn)動軌跡;(c),(d) n=φ/2π 與b 之間的關(guān)系.對于直接像(綠色)、透鏡環(huán)(橘色)和光子環(huán)(紫色)對應(yīng)的光線,入射參數(shù)的間距分別為 1/5,1/100,1/1000.黑色的圓盤代表黑洞 (a),(c) ξ=0.05;(b),(d) ξ=0.9Fig.3.(a),(b) Trajectory of light in the polar coordinate (r,φ) ;(c),(d) relationship between n=φ/2π and b.For the direct radiation (green),lensing ring (orange) and photon ring (purple),the spacing of the collision parameters is 1/5,1/100 and 1/1000 respectively.Black disks represent black holes: (a),(c) ξ=0.05;(b),(d) ξ=0.9.

3.2 AS 引力下觀測的比輻射強(qiáng)度

下面研究薄盤吸積下觀察者的觀測光強(qiáng)度.這里考慮吸積盤在靜態(tài)世界線的靜止坐標(biāo)系下發(fā)出各向同性的光,并且考慮吸積盤位于黑洞赤道平面,靜止觀察者位于無窮遠(yuǎn)處.將輻射源吸積盤的比輻射強(qiáng)度和輻射頻率用Ic(r)和νc表示,觀察者的觀測比強(qiáng)度和頻率表示為和ν.根據(jù)劉維爾定理是沿著光線守恒的,觀測強(qiáng)度可以寫成

通過對所有頻率的比輻射強(qiáng)度進(jìn)行積分,得到輻射強(qiáng)度的總和為

其中,rN(b) 為轉(zhuǎn)移函數(shù),表示視界外光第N次穿過赤道平面的徑向位置.

轉(zhuǎn)移函數(shù)描述了徑向坐標(biāo)r與入射參數(shù)b之間的關(guān)系.轉(zhuǎn)移函數(shù)的斜率 dr/db是縮小因子.圖4顯示了不同修正參數(shù)ξ下的轉(zhuǎn)移函數(shù)圖像.綠線、橘線和紫線分別代表第一次(N=1)、第二次(N=2)和第三次(N=3)與赤道平面相交的轉(zhuǎn)移函數(shù).第一次相交的轉(zhuǎn)移函數(shù)對應(yīng)于吸積盤的直接像,由于斜率接近1,所以直接像圖像的輪廓是紅移源的輪廓.第二次相交的轉(zhuǎn)移函數(shù)對應(yīng)于透鏡環(huán)(起始入射參數(shù)b接近臨界值bc),在這種情況下,由于斜率比1 大得多,所以觀察者看見盤背面是一個高度縮小的圖像.最后,光子環(huán)對應(yīng)于第三次相交的轉(zhuǎn)移函數(shù),在這種情況下,當(dāng)dr/db→∞時,圖像是極度縮小的.因此,光子環(huán)對總亮度的貢獻(xiàn)極其微小.

圖4 不同ξ下的轉(zhuǎn)移函數(shù)圖像 (a) ξ=0.05;(b) ξ=0.9Fig.4.Transfer function image for different values of ξ: (a) ξ=0.05;(b) ξ=0.9.

3.3 AS 引力下黑洞的陰影、透鏡環(huán)和光子環(huán)

當(dāng)給出吸積盤輻射的強(qiáng)度,并得到轉(zhuǎn)移函數(shù)后,可以在(20)式的基礎(chǔ)上進(jìn)一步得到觀察者的觀測強(qiáng)度.在本節(jié)中,以下面3 個由薄盤吸積物質(zhì)作為輻射源的不同輻射輪廓模型為例,研究AS 引力下黑洞的陰影和光環(huán).模型1 為輻射起始于最內(nèi)圓軌道附近的二階衰減函數(shù)模型:

其中,rISCO是最內(nèi)穩(wěn)定圓軌道半徑,當(dāng)r>rISCO時成立,否則Ie(r)=0.

圖5(a)和圖5(d)表示吸積盤輻射的光強(qiáng)度Ie隨徑向坐標(biāo)半徑r的變化,圖5(b)和圖5(e)表示觀察者的觀測強(qiáng)度I(r) 隨入射參數(shù)b的變化.首先考慮ξ=0.05 的情況,在圖5(a)中,可以看到輻射比強(qiáng)度Ie在r=6 m 附近達(dá)到峰值,然后急劇下降直到趨于0.在圖5(b)中,透鏡環(huán)的輻射峰值對應(yīng)5.4 m

圖5 模型1 下的吸積盤比輻射強(qiáng)度輪廓(a),(d),觀察者的觀測強(qiáng)度輪廓(b),(e)以及黑洞圖像(c),(f) (a)—(c) ξ=0.05 ;(d)—(f) ξ=0.9Fig.5.Under model 1,the specific intensity profile of accretion disk (a),(d),observed intensity profile (b),(e),as well as the black hole image (c),(f): (a)–(c) ξ=0.05 ;(d)–(f) ξ=0.9.

考慮模型2 是三階衰減模型,它在光子球半徑附近發(fā)生輻射,

當(dāng)r>rp時成立,否則Ie(r)=0.

對于ξ=0.05 的情況,在圖6(a)中,吸積盤比輻射強(qiáng)度Ie峰值出現(xiàn)在r=rp=2.97 m 附近,并急劇下降直到0.在這種情況下,引力紅移對觀測強(qiáng)度有顯著影響.與之前討論的情況不同,在圖6(b)中可以發(fā)現(xiàn),在觀測強(qiáng)度圖像中,直接像使觀測強(qiáng)度先達(dá)到一個峰值,并且隨著b的增大,觀測強(qiáng)度減小,大約在區(qū)域 5.2 m

圖6 模型2 下的吸積物質(zhì)比輻射強(qiáng)度輪廓(a),(d),觀察者的觀測強(qiáng)度輪廓(b),(e)以及黑洞圖像(c),(f) (a)—(c) ξ=0.05 ;(d)—(f) ξ=0.9Fig.6.Under model 2,the specific intensity profile of accretion disk (a),(d),the observed intensity profile (b),(e),as well as the black hole image (c),(f): (a)–(c) ξ=0.05 ;(d)–(f) ξ=0.9.

模型3 是輻射源吸積盤在事件視界附近發(fā)生輻射的反三角函數(shù)衰減模型:

當(dāng)r>r+時成立,否則Ie(r)=0.

圖7(a)—(c)對應(yīng)ξ=0.05 的情況,吸積盤輻射的峰值出現(xiàn)在r=1.97 m 附近,與圖5 和圖6 不同,比輻射強(qiáng)度沒有急劇下降,而是緩慢下降.透鏡環(huán)和光子環(huán)也疊加在直接像上,但與模型2 相比,透鏡環(huán)和光子環(huán)的疊加在直接像的范圍更大,重疊區(qū)域的觀測強(qiáng)度急劇增加,這使得光環(huán)表現(xiàn)為一個更寬更亮的亮環(huán).在這個模型中,透鏡環(huán)和光子環(huán)的貢獻(xiàn)更突出,但貢獻(xiàn)最大的依舊是直接像.對于ξ=0.9,直接像貢獻(xiàn)了大部分的觀測強(qiáng)度,透鏡環(huán)和光子環(huán)也有明顯貢獻(xiàn).相比于ξ=0.05,光子環(huán)和透鏡環(huán)沒有完全疊加在一起,可以區(qū)分透鏡環(huán)和光子環(huán)的峰值.且觀測比強(qiáng)度的最大值隨AS 引力修正參數(shù)的增加而降低,對應(yīng)黑洞圖像亮環(huán)的亮度隨ξ的增加而變暗.

圖7 模型3 下輻射源吸積盤比輻射強(qiáng)度輪廓(a),(d),觀察者的觀測強(qiáng)度輪廓(b),(e)以及黑洞圖像(c),(f) (a)—(c) ξ=0.05 ;(d)—(f) ξ=0.9Fig.7.Under the model 3,the specific intensity profile of accretion disk (a),(d),the observed intensity profile (b),(e),as well as the black hole image (c),(f): (a)–(c) ξ=0.05 ;(d)–(f) ξ=0.9.

4 結(jié)論

本文研究了在AS 引力背景下,薄盤吸積對黑洞周圍光強(qiáng)度的影響,以及修正參數(shù)ξ的值如何影響黑洞的陰影和光環(huán).為研究光線偏折規(guī)律,引入了拉格朗日方程,通過求解時間、方位角以及四速度,得到光在赤道平面的運(yùn)動軌跡以及黑洞周圍有效勢的變化.選擇不同的AS 修正參數(shù)ξ時,黑洞事件視界、光子球半徑以及入射參數(shù)都發(fā)生改變,當(dāng)修正參數(shù)ξ增大時,它們的值也隨之增大.

為研究黑洞吸積盤比輻射強(qiáng)度和觀測強(qiáng)度變化,引入3 個不同的吸積輻射比強(qiáng)度輪廓模型.在第一個二階衰減函數(shù)模型中,可以發(fā)現(xiàn)直接像對觀測強(qiáng)度影響最大,透鏡環(huán)的影響很小,而光子環(huán)的影響幾乎可以忽略不計;且黑洞陰影的半徑、觀測強(qiáng)度的峰值都隨AS 引力修正參數(shù)的增加而減小.在第二個三階衰減函數(shù)模型中,透鏡環(huán)和光子環(huán)共同疊加在直接像上,使觀測強(qiáng)度出現(xiàn)一個新的峰值,這一峰值隨AS 引力修正參數(shù)的增加而增加.對于不同的AS 引力修正參數(shù),光子環(huán)和透鏡環(huán)半徑不同,觀測強(qiáng)度的最大值和次極大值出現(xiàn)的先后次序相反,黑洞光環(huán)的亮度也明顯不同.雖然觀察者觀測強(qiáng)度大部分還是由直接像貢獻(xiàn)的,但是透鏡環(huán)和光子環(huán)也有貢獻(xiàn).在最后一個反三角函數(shù)衰減模型中,透鏡環(huán)和光子環(huán)在直接像上的疊加范圍更大,這使得光環(huán)表現(xiàn)為一個更寬的亮環(huán),相比于前兩個吸積輻射輪廓模型,在這個模型中,光子環(huán)和透鏡環(huán)的貢獻(xiàn)更突出,但貢獻(xiàn)最大的依然是直接像.對于不同的修正參數(shù),光子環(huán)和透鏡環(huán)疊加情形也完全不同,且黑洞陰影半徑隨修正參數(shù)的增加而減少,黑洞光環(huán)的亮度峰值隨修正參數(shù)的增加而變小.

從3 個不同的吸積盤比強(qiáng)度輻射輪廓模型的圖像中,可以清晰地發(fā)現(xiàn),由于AS 引力修正參數(shù)的不同,吸積盤輻射源的比輻射強(qiáng)度、觀察者的觀測強(qiáng)度及黑洞的圖像明顯不同.由此可見,AS 引力修正參數(shù)對黑洞陰影和光環(huán)產(chǎn)生了重要影響.