考慮測量誤差的CUSUM控制圖對維納過程的監控設計

劉利平，王曉雪，馬強

1.南京師范大學 商學院，江蘇 南京 210023；2.南通大學 公共衛生學院，江蘇 南通 226019

引言

具有高精度性操作化要求的醫療設備消耗磨損越大，設備的狀況就會越差，隨著設備磨損的加劇，設備退化過程可能會加速，導致其壽命進一步縮短[1]，不僅會對醫生開展工作造成不便，而且不利于醫療設備的維修保障工作，從而給醫院造成醫療器械使用延誤、降低服務質量以及增加維修費用等損失。因此精準預測并及時發現醫療設備的故障從而進行適當的維護工作非常重要，這需要對設備的退化過程進行建模分析。汪岱涵等[2]考慮了維修成本下高值設備的成本控制問題，基于所收集的醫療設備真實壽命數據的傳統分析方法存在耗時長、數據少等特點，結合隨機過程進行退化過程模擬的方法不僅具備一定的數據優勢，還為醫療設備的故障預測與健康管理提供了可靠的建模方法。

在隨機過程中，由于退化過程通常是連續的，因此連續狀態的隨機過程具有較好的模擬能力。目前主流的隨機退化過程包括維納過程、伽馬過程和逆高斯過程3 類。其中，維納過程具有明確的物理意義，同時可以用于刻畫非單調的退化過程，在實際運用中有較好的泛化能力[3]。

對維納退化過程的研究主要集中于通過參數估計和模型構建的方法刻畫設備剩余使用壽命[4]，對物理退化過程建模的方法往往假定設備所處的物理環境和運行負荷相對穩定，因此其基本假設為設備狀態數據服從穩定的概率分布。但在醫療設備產品的生命周期中，退化過程會呈現出不同的分布，并且在不同的階段中呈現出不同的退化速率[5]。例如，Bae 等[6]提出了一種適合兩階段退化模式的分層貝葉斯變點回歸模型，從而推導出過程失效的時間分布；Wang 等[7]構建了變點伽馬和維納退化模型來刻畫液體耦合器退化變點的過程；胡勝等[8]構造多核向量機模型識別紡紗過程中出現的變點。

在現實對醫療設備的真實運行狀態和剩余壽命進行評估時，對醫療設備運行情況數據的測量過程往往受到測量設備和測量人員等因素的影響，導致所測量數據與真實退化數據之間存在偏差[9]。在現有基于維納過程進行監控的相關研究中，考慮測量誤差影響的研究相對較少。為實現對醫療設備退化異常的監控預警，本文將根據維納隨機過程的增量特性，運用統計過程監控領域中累積和（Cumulative Sum，CUSUM）控制圖方法，對醫療設備退化加速的異常情形進行預警，以期在實踐中盡早發現設備運行異常波動從而提高醫療設備的可靠性。

1 維納過程退化模型

維納過程在物理學中也稱布朗運動，是一種連續時間隨機過程，在隨機分析、擴散過程建模中有著廣泛的運用。在退化過程研究中，常用帶有正漂移的線性維納過程刻畫，其表達式如式（1）所示。

式中，漂移系數λ為退化速率；σ為退化過程的擴散系數；B(t)～N(0,1)為標準布朗運動。

維納過程的典型特征是其具有獨立平穩增量，即在某一時間區間上的增量概率分布獨立于其他時間區間增量的概率分布，見式（2）。

式中，0≤s＜t；σ＞0；W(0)=0。因此，維納過程的增量分布僅與時間間隔有關。

以往研究表明利用上述帶有正漂移維納過程刻畫設備退化過程的模型具有較好的解釋能力，并被廣泛用于設備剩余使用壽命預測領域中[10]。在線性維納過程模型中，通常假定設備退化速率μ 恒定。但在實踐中，同一批醫療機械設備的退化速率不僅受到時間變異的影響，也會受到由于原材料和制造過程所產生的個體差異的影響，從而導致同類設備的退化過程存在差異。為刻畫退化速率的個體差異性，有學者提出了帶有隨機效應的維納過程，其假定退化率μ 服從正態分布，利用退化率的方差刻畫不同設備之間退化率的差異[11]。本文分別探討對上述兩類維納過程的監控。將退化率恒定的維納過程記為固定效應模型，其表達式如式（3）所示。

式中，下標F表示退化率恒定。將引入隨機效應的非線性過程記為隨機效應模型，其表達式如式（4）所示。

式中，下標R表示退化率隨機。退化率服從正態分布λR～N(μλ,σλ2)，均值μλ刻畫退化率，方差σλ2用于刻畫個體差異。

2 含有測量誤差的維納過程

2.1 雙成分測量誤差模型

在醫療設備質量管理實踐中，醫療設備質量輸出值的變化包含兩個方面：① 源于生產制造過程的變化，是質量監控需要及時發現并解決的問題；② 輸出值的變動是由測量設備或測量人員所引起的，并且這種難以避免的測量誤差也會受到所測量值大小的影響，即被測量值越大，產生的測量誤差越大。因此，測量值與真實值之間的誤差值也會隨著真實值的變化而變化，即測量誤差與被測量值存在非線性關系。Linna 等[12]提出了線性協變量誤差模型用于刻畫這種非線性關系，而Rocke 等[13]提出的雙成分組合測量誤差模型近年來受到了更多認可，其雙成分測量誤差模型包含了乘性測量誤差與加性測量誤差，表達式如公式（5）所示。

式中，Yt為t時刻的觀測值；Xt為t時刻觀測過程的真實值；α和β為給定系數；乘性誤差η和加性誤差?分別服從均值為0 的正態分布η～N(0,ση2)、?～N(0,σ?2)。

2.2 含有雙成分測量誤差的維納過程

由于測量儀器或測量人員所導致的誤差無法避免，而忽視測量誤差會降低對退化模型中參數估計的精準性，因此將測量誤差納入維納過程模型中更加符合真實的觀測過程。Peng 等[11]的研究中同時考慮了帶有隨機效應和測量誤差的維納過程，其表達式如式（6）所示。

其中，服從正態分布的退化率λ用于刻畫隨機效應，服從正態分布的?用于刻畫測量誤差。雖然目前諸多對維納過程的研究中考慮了測量誤差對剩余使用壽命概率參數估計的影響[14]，但研究中均假定測量誤差服從單一分布，且測量誤差與維納過程之間是線性關系，未考慮測量誤差與觀測值之間存在的非線性關系。因此，本文將考慮帶有雙成分測量誤差的維納過程，即在公式（6）中引入公式（5）的乘性測量誤差，其表達式如式（7）所示。

對于固定效應的維納過程模型，退化率λF恒定；對于考慮了隨機效應的維納過程模型，退化率λR服從正態分布N(μλ,σλ2)。

3 CUSUM控制圖

3.1 上側CUSUM控制圖

在生產制造過程中，控制圖能夠用于區分隨機因素與系統因素引起的波動：當生產過程的波動是由隨機因素引起時，被視為過程受控；由系統性因素引起的過程被視為過程失控。通過控制圖進行預警，能夠快速監測到過程輸出值出現的異常漂移，保證設備處于受控狀態。CUSUM 控制圖和指數加權移動平均圖（Exponentially Weighted Moving Average，EWMA）對小漂移更加敏感。CUSUM 的計算原理是監測樣本值與目標值之間的正負累積偏差（根據偏差的正負可分為上側和下側CUSUM統計量）。由于過程均值所產生的微小波動能夠引起累積偏差值較大的變動，適合檢測由于設備損耗等引起的偏移過程[15]。因此，本文選用CUSUM 控制圖對維納退化過程中退化率的漂移進行監控。在醫療設備的實際退化過程中，由于物理腐蝕、磨損等情況，物理退化速率往往呈現退化加速的狀態，因此本文選用上側CUSUM控制圖對維納過程的退化加速狀態進行監測預警。

控制圖需假定i時刻的樣本測量值Yi滿足獨立同分布，因此本文利用維納過程增量獨立同分布的特性，用退化過程的增量值作為控制圖的觀測值，代替對連續退化狀態值的直接監控。根據公式（2）中維納過程增量特點，帶有雙成分測量誤差的維納過程增量的計算方法如式（8）所示。

其中，取增量時間間隔t2-t1=…=ti-ti-1=Δt，則控制圖的樣本觀測值計算方法如式（9）所示。

由于時間間隔Δt取值為常數，因此各時間點上維納過程的增量分布相互獨立，增量值的變動僅與退化率λ、擴散系數σ和乘性測量誤差ση相關。

3.2 考慮雙成分測量誤差的CUSUM控制圖

生產觀測值的波動既包含了生產過程真實值的波動，也包含了測量儀器或觀測者的測量誤差所導致的波動。在實際應用當中，由于測量誤差難以觀察，測量誤差降低了控制圖對失控過程的檢測能力，尤其當測量誤差的變動相較于過程波動較大時，控制圖對過程波動的監測準確性受到顯著影響[16]。因此，為了降低測量誤差對監測效能的影響，學者對測量誤差對控制圖監控性能的影響做了大量研究，Cocchi 等[17]探究了雙成分測量誤差對休哈特控制圖的影響；Abbasi[18]研究了測量誤差參數的變動對EWMA 控制圖效率的影響；胡雪龍等[19]采用中位數統計量提出了一種單邊合格品鏈長控制圖；王猛等[20]進行了準確度誤差和精確度誤差的質量控制檢測。參照Abbasi[21]的方法，含有雙成分測量誤差維納退化過程的上側CUSUM 統計量公式（8）中，參考值k可設為公式（10）。

式中，λ'為處于失控狀態下的異常退化率。為驗證控制圖策略對維納過程中退化率異常加速的監測靈敏性，本文假設異常退化率λ'=(1+δ)λ，式中δ為給定的加速系數。對于固定效應模型，退化加速表現為λ'F=(1+δF)λF；對于隨機效應模型，退化加速表現為μ'λ=(1+δR)μλ。

3.3 馬爾科夫鏈法計算平均運行鏈長

平均運行鏈長（Average Run Length，ARL）和運行鏈長標準差（Standard Deviation of Run Length，SDRL）是衡量控制圖誤報率和監控靈敏性常用的指標。其中，ARL0表示過程受控時發出一次故障警報所需要的樣本數量；ARL1表示過程失控時，從發生變異至控制圖發出預警所需要的檢測樣本量。在受控ARL0相等情況下，失控ARL1越小，表明控制圖越能快速對過程變異發出預警。

本文將運用Brook 和Evans 所提出的Markov 鏈法計算上側CUSUM 控制圖ARL，具體的狀態轉移矩陣及ARL 和SDRL 的測量公式如Evans[22]研究中所示。

4 模型仿真

運用蒙特卡洛仿真方法生成不同退化率設定下的維納過程退化值，并在生成隨機數時將雙成分測量誤差納入考慮。參照Ye 等[23]對激光器退化過程模型的參數估計結果，首先假設醫療設備的退化服從固定效應維納過程，并將退化模型參數初始值設為：設備的初始退化速率λF=2.014，設備的初始退化擴散系數σF=0.398；其次，假設醫療設備的退化過程可能服從隨機效應維納過程，并將參數初始值設為：設備的初始退化率μλ=2.015，考慮隨機效應的設備初始退化率個體偏誤σλ=0.413，設備初始退化擴散系數σR=0.340。各參數組合下均生成步長為10000 的維納過程仿真值且重復100 次。運用Markov 鏈方法計算CUSUM 控制圖的ARL 并以此來衡量控制圖的性能。本文將過程狀態劃分為500 個子區間，以受控ARL0=370 確定CUSUM 控制圖的控制限參數L，并根據所生成的退化過程增量值計算狀態轉移矩陣中的概率值。

為評估控制圖對退化率加速漂移的監控效率，取設備退化率的加速系數δ為不同水平值δ∈{0,0.05,0.1,0.15,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.8,1}。由于本文將考慮帶有測量誤差的設備退化監測，因此將取不同水平的乘性誤差的正態分布方差ση以表示不同程度的測量誤差，借鑒以往乘性測量誤差，本文取水平值為ση∈{0.025,0.05,0.075,0.1,0.15,0.2}（乘性誤差系數β=1），監控效果如表1（固定效應模型）和表2（隨機效應模型）所示。隨著退化率的加速系數δ的增加，即控制圖的ARL 越小，控制圖能夠越早發現異常退化加速狀態。

表1 ση對CUSUM監控固定效應維納過程的影響

表2 ση對CUSUM監控隨機效應維納過程的影響

如表1 所示，對于固定效應模型，隨著乘性誤差ση參數的增加，CUSUM 控制圖在失控狀態下的ARL 隨著乘性誤差的增加而增加，即由于測量誤差的存在，使得控制圖對設備的異常退化的監控性能下降，從異常發生到發出預警信號需要更長的時間。對于同一乘性誤差參數ση，無論乘性測量誤差系數ση如何變動，當加速系數從0.05 增加至0.1 時，ARL 的降低率均維持在43%左右，即控制圖對加速系數δ的監控具有穩健性。對于引入了隨機效應的維納退化過程模型（表2），當乘性誤差ση＜0.1 時，CUSUM 的表現沒有明顯變化趨勢，因為當退化模型中考慮了隨機效應后，測量誤差對控制圖的監控效率的影響并不明顯；而當ση＞0.1 后，隨著乘性測量誤差的增加，ARL 和SDRL 均有顯著增加，監控性能顯著下降。因此，對于考慮隨機效應的維納過程，較小的測量誤差不會對監控效率產生顯著影響。

參考Abbasi[18]的研究方法，變動乘性誤差系數β∈{1.0,1.2,1.4,1.6,1.8,2.0}。在不同的加速系數δ下，CUSUM 的監控效果分別如表3（固定效應模型中乘性誤差ση=σF）和表4（隨機效應模型中乘性誤差ση=σR）所示。對于兩種類型的維納過程，隨著參數β的增加，CUSUM 控制圖對退化加速異常預警能力均有一定下降，即當乘性誤差系數增加時，測量誤差所占比重增加，導致了控制圖效率的降低。

表3 系數β對CUSUM監控固定效應維納過程的影響

表4 系數β對CUSUM監控隨機效應維納過程的影響

由表3 和表4 可得，隨著乘性誤差系數值的增加，控制圖的ARL 略有增加，控制圖發現過程退化異常敏捷性有所下降，監控性能受到一定的影響。因此，在實際應用過程中，需要重視對乘性誤差系數精度的估計，以減少由于估計偏差帶來的對監控性能的影響。

5 總結

本文探討了對系統退化領域的醫療設備退化率加速現象的監控，其中將系統退化過程假定為該領域常用的維納過程。與利用觀測值進行退化路徑建模和剩余有效壽命預測方法不同，本文主要利用維納過程的增量獨立特征對該過程進行監控，從而有效監測到真實情況中退化加速的現象并進行預警。在使用CUSUM 控制圖進行監控設計的過程中，不僅考慮了退化率固定不變以及帶有隨機波動的退化率兩種維納過程，還考慮了乘性測量誤差對控制圖效率的影響。仿真結果表明，CUSUM 控制圖對退化加速現象具有良好的監控能力，測量誤差的增加會削弱監控效率，但該削弱效果在考慮了隨機效應的維納過程中并不明顯。