混沌系統的有限時間間歇模糊同步控制

閆麗宏，陳 楠，石 磊，胡鵬超，陳西西，張 娜

（1.咸陽師范學院 數學與統計學院，陜西 咸陽 712000；2.延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000）

0 引 言

眾所周知，混沌是一個存在于自然界和工程領域的典型非線性動力系統。一般地，當研究非線性動力系統時，遵循由確定系統到隨機系統再到不確定系統的研究思路。對于確定和隨機混沌系統，許多學者從不同角度進行了深入研究，并取得了相應成果，如混沌模型構造[1-2]、混沌性質刻畫與分析[3-4]、混沌控制與同步[5-7]。但是，對于不確定混沌系統同步控制的研究仍較少。

T-S 模糊理論是解決不確定復雜系統甚至是病態非線性動態系統[8-10]建模和控制方面問題的非常有效的方法。通過T-S 模糊理論，可以將非線性混沌系統轉化為含有非線性系數的線性系統，進而實現系統的性能分析與控制[11-13]。同時可以將模糊控制理論應用到混沌系統的同步控制中，主要包括基于模糊的控制[14-16]、自適應模糊同步控制[17-19]、脈沖模糊控制[20]、模糊滑模控制[21]、模糊間歇同步控制等[22]。間歇控制方法基于受控系統狀態，將控制作用間歇地作用到受控系統中，可以節約控制成本，提高控制效率，目前在復雜動態網絡等非線性系統的同步控制中得到應用。

基于以上考慮，本文針對一類低維的非自治混沌系統，通過理論分析和數值模擬，闡述基于T-S 模糊理論與自適應反饋控制策略實現耦合混沌系統同步的基本思想。

1 問題描述

考慮如下混沌驅動系統：

式中：x=(x1,x2,...,xn)T∈Rn表示驅動系統的狀態；A∈Rn×n是線性參數矩陣；f(x(t))是混沌系統的非線性部分。

相應的響應系統為：

式中：y=(y1,y2,...,yn)T∈Rn表示混沌響應系統的狀態向量；u(t)是待設計的外部控制器。

這里采用如下的模糊規則：

規則l：θi(t)是第i個節點的先驗變量，i=1, 2,...,m；Flm是具有隸屬函數特征的模糊集。如果θ1是Fl1，θ2是Fl2,...,θm是Flm，那么：

式中：r是IF-THEN 規則的數量；Al∈R3×3是模糊矩陣。采用標準的模糊推理方法，通過單點模糊推理、乘積模糊推理和中心平均去模糊法，模糊混沌系統可以推導成如下形式：

式中：θ(t) =[θ1(t),θ2(t), ???,θm(t)]；；。

模糊權函數μl(θ(t))滿足：

同步誤差為：

式中，e(t)=(e1(t),e2(t),...,en(t))T。

在模糊規則l(l=1, 2,...,r)下，誤差系統為：

式中，u(t)是待設計的有限時間間歇控制器。

如果θ1是Fl1，θ2是Fl2,...,θm是Flm，那么：

式中，對角矩陣Kl是正的控制增益矩陣，l=1, 2,...,r。參數ζ>0 是可調實常數，實數α滿足0<α<1，T>0 是控制周期，δ>0 是控制寬度，m∈Z/Z-。向量sgn(e(t))|e(t)|α=(sgn(e1)|e1|α,sgn(e2)|e2|α,..., sgn(en)|en|α)T。

控制器設計如下：

將模糊控制器設計公式（9）代入到誤差系統公式（7）中，可以推導出模糊控制系統公式（10）的T-S 模型。

為了進一步討論方便，首先介紹如下引理。

引理1[20]：假設連續正定函數V(t)滿足如下微分不等式：

式中，常數α>0，0<ε<1，那么對于任意給定t0，V(t)滿足如下不等式：

式中：

引理2[21]：如果x1,x2,...,xn是任意整數，0

引理3[22]：假設連續正定函數V(t)滿足如下微分不等式：

式中，0<ε<1，I>0，κ>0，那么駐留時間t2滿足：

引理4[23]：假設函數V(t)在t∈[0, ∞)是連續且非負的，并且滿足如下條件：

式中，α，β>0，T>0，0<η，θ<0，那么如下不等式成立：

2 模糊間歇同步控制

本節將給出驅動-響應混沌系統式（1）和式（2）實現有限時間同步的結論。

定理1：假設存在正定對角矩陣Kl使得如下不等式成立：

那么在控制器設計公式（9）的作用下，驅動-響應混沌系統式（1）和式（2）在時間tf內可以實現有限時間同步，則有：

證明：構造如下Lyapunov 函數：

情形1：當mT≤t

所以：

其中，sym(Al)=Al+AlT，sym(Kl)=Kl+KlT。根據引理2，則有：

所以：

根據式（19）的條件，則有：

情形2：當mT+δT≤t

簡化上述方程可得：

結合式（27）和式（29），可得：

根據引理3，則有：

結合引理4，可得：

證畢。

值得注意的是，如果控制寬度δ=1，那么間歇控制器簡化為連續控制輸入，有如下推論。

推論1：假設存在正定對角矩陣Kl使得如下不等式成立：

那么利用控制器設計公式（9）和驅動-響應混沌系統式（1）和式（2）在時間te內實現有限時間同步，則有：

3 數值仿真

本節中，我們將利用數值計算說明驅動-響應混沌系統式（1） 和式（2）的有限時間同步控制結論。不失一般性，選擇Chen 混沌系統進行仿真。

當參數α=0.2、β=5.7 時，系統是混沌的。選擇x1、x3作為觀測變量，通過計算，可知變量x1和x3的取值區間分別是[-9.2 11.5]和[0.01 22.96]。矩陣Ai，i=1, 2 分別表示為：

進一步，特征值分別為：λmax(sym(A1))=0.039 1，λmax(sym(A2))=28.504 2，所以可知λA=28.504 2。根據條件式（19），反饋矩陣分別取為：K1=diag{29 0.6 0.3}，K2=diag{28.6 0.3 0.2}；模糊權函數μl(θ(t))在l=1, 2 時分別為：μ1(θ(t))=(1+2 sin2t)/3，μ2(θ(t))=2 cos2t/3。調節因子ζ=1.5，正指數α=0.5。仿真過程中，間歇控制器設計公式（9）的參數分別取為：T=1，δ=0.2。系統初始條件為：x(0)=[2 -1 3]，y(0)=[1 -3 4.5]，迭代步長h=0.000 1。

數值仿真結果如圖1 ～圖6 所示。圖1 展示了驅動-響應系統的同步誤差演化過程，可以看到系統的狀態在有限時間內趨于0，這與理論分析結果一致。圖2 是模糊周期間歇控制器的狀態，該控制器在有限時間內穩定到0。而且，當增加反饋控制增益的值由K1=diag{30 2 1}到K2=diag{29.6 1.3 1.2}時，通過仿真發現，反饋增益越大，實現同步的時間越短。仿真結果如圖3 和圖4 所示。

圖1 驅動-響應系統的誤差系統狀態

圖2 模糊周期間歇控制器的狀態

圖3 反饋控制增益增加時的誤差系統狀態

圖4 反饋控制增益增加時模糊間歇控制器的狀態

當控制寬度δ=1 時，間歇控制器轉化為連續控制輸入，相應的系統誤差演化與間歇控制器的狀態如圖5 和圖6 所示，其參數選取與圖1 和圖2 相同。

圖5 模糊連續控制作用下的誤差系統狀態

圖6 模糊連續控制作用下控制器的狀態

4 結 語

本文研究了周期間歇控制作用下驅動-響應混沌系統的有限時間同步問題。通過加入合適的外部模糊間歇控制作用，受控模糊混沌系統在有限時間內實現了同步，控制效果理想。進一步，通過仿真發現，同步時間隨著反饋增益的增大而縮短。后續將繼續考慮非周期間歇控制作用下混沌系統的固定時間同步問題。