Fermat 型函數方程的亞純解

段江梅，韓 艷，胡曉飛，楊惠娟

（昭通學院數學與統計學院，云南昭通 657000）

1 引言及主要結果

本研究采用Nevanlinna 值分布理論的基本結果及其標準記號〔1-2〕，文中f（z），g（z），h（z），w（z）都是指亞純函數，f（s）（z）表示f（z）的s 階導數（s 為正整數），f（z）的級，其中T（r，f）為f（z）的Nevanlinna 特征函數。

主要研究下述問題：是否存在復平面中的非常數亞純函數f（z），g（z），h（z），w（z）滿足函數方程

其中n 為大于等于2 的正整數。

關于函數方程（1）在整函數環，或是亞純函數域上非常數解的狀況，已有如下結果：

Hayman〔3〕和Gundersen 等〔4〕證明了：

定理A 當n≥16 時，函數方程（1）不存在非常數亞純函數解。

定理B 當n≥13 時，函數方程（1）不存在非常數整函數解。

當n=8 時，Gundersen 在文獻〔5〕中給出了滿足函數方程（1）的超越亞純函數解。

1979 年，Newman 和Slater 在文獻〔6〕中第486 頁的等式表明：當n≤7 時，函數方程（1）存在超越整函數解。

關于函數方程（1）整函數解和亞純函數解的存在性問題，還有下述問題沒有解決：

問題1 當9≤n≤15 時，函數方程（1）是否存在非常數的亞純函數解？

問題2 當8≤n≤12 時，函數方程（1）是否存在非常數的整函數解？

本研究主要對問題1 進行探究，得到如下結論：

定理1 函數方程

不存在級小于1 的非常數亞純解。

定理2 函數方程

不存在級小于1 的非常數亞純解。

2 幾個引理

引理1 設fj（z）（j=1，2，…，k）為區域D 內k 個亞純函數。若f1，…，fk線性無關，則f1，…，fk的Wronskian行列式〔7〕

引理2 設f（z）為復平面上的亞純函數，k 為正整數，則f（z）與f（k）（z）有相同的增長級〔2〕。

引理3 若fj（z）（j=1，2，…，m）為非常數亞純函數〔8-12〕，且

特別地，若非常數亞純函數f（z）的級ρf＜1，則有

3 定理的證明

3.1 定理1 的證明假設方程（2）存在級小于1 的非常數亞純解f（z），f '（z），h（z），w（z），則f（z），f '（z），h（z），w（z）一定線性無關，從而W（f（z），f'（z），h（z），w（z））?0。

記g（z）=f'（z），由（2）式可得方程組

令

其中L（1μ）＝14μμ'2+μ2μ"，L（2μ）＝182μ'3+42μμ'μ"+μ2μ'"，μ 為非常數亞純函數，則W（f1（5z），g1（5z），h1（5z），w1（5z））=3375f12g12h12w12?0，從而

另一方面，由克萊姆法則得

其中A-m，C-n，D-p均為不等于0 的某個常數，O（1）為解析部分，每次出現不一定相同，則g（z）=f'（z）=

于是由（6）式得

下面分情況進行討論：

（i）若m+1=n=p≥2，則9（m+1）-3（n+p）-3=3（m+1）-3＞0，所以在z0處解析。

（ii）若m+1=n＞p≥1，則9（m+1）-3（n+p）-3=3［2（m+1）-（p+1）］＞0，故在z0處解析。

（iii）若m+1=n＞p＝0，此時m+1＝n≥2，則9（m+1）-3（n+p）-3=6（m+1）-3＞0，因此在z0處解析。

綜上可知，斷言成立。

由（5）～（8）式可得

又由引理2 和方程（2）知

故由引理3 得

3.2 定理2 的證明類比定理1 的證明過程易知定理2 成立。

以下對重點步驟作簡要分析：將定理1 中的g（z）替換為f（s）（z），一方面容易推得?0。另一方面，可以證明為整函數并且≡0。

由于12（m+s）-3（m+n+p）-6＝3（m+s-n）+3（m+s-p）+3m+（6s-6）＞0，因此在z0處解析。

又由引理2 和方程（3）知ρf＝ρf（s）＝ρh＝ρh'=ρw＝ρw'＜1，故由引理3 得