基于自由矩陣的線性網絡控制系統穩定性分析

張志翔，肖伸平，黃遠鵬

（1.湖南工業大學 電氣與信息工程學院，湖南 株洲 412007；2.電傳動控制與智能裝備湖南省重點實驗室，湖南 株洲 412007）

0 引言

自20世紀90年代以來，網絡控制系統（Natworked Control Systems，NCSs）迅速成為學術界和工業界的研究熱點。并且在制造自動化、運輸系統、智能機器人和電力系統等許多生產活動中對網絡化系統功能的需求與日俱增[1-2]。與早期的控制系統結構相比，NCSs因其資源共享、等優點而受到廣泛關注。

NCSs是一種由網絡連接起來的空間分布式反饋控制系統[3]，采集到的信息經網絡信道從傳感器傳送給控制器，信號在傳輸到執行器之前由控制器進行分析和計算，執行器在執行相應的控制操作前識別并分析接收到的信息。然而，網絡時延、丟包和亂序等問題在NCSs中廣泛存在，這些問題將會導致系統出現性能降低、穩定區間縮小等不利現象[4]。近些年來，學者們對方面的研究也是取得了很多重要的結果[4-9]。例如，Li等[5]考慮到時變網絡誘導延遲和數據包丟失，將網絡控制系統轉化為具有區間時變延遲的典型線性系統，并利用緊致積分不等式處理LKF的時間導數產生的叉積項，以獲得保守度低得多的結果，但在泛函的改進和導數的估計上還有很大的提升空間。Lian等[6]提出了兩個新的時滯乘積型LKF，其充分利用時滯d(t)與二次型函數的乘積信息以及時滯h-d(t)與二次型函數的乘積信息，取得了很好的效果，此LKF可推廣到其他類型的時變時滯系統研究，如神經網絡、網絡控制系統等，為廣大學者提供了新的研究方向。Phanlert[7]在LKF中加入了四重積分項，并基于推廣的Wirtinger不等式來界定泛函導數積分項的方法已獲得較好的研究結果，但由于沒有考慮時延隨機因素，導致研究成果的保守性較大，還有待進一步完善。Zeng等[8]提出了一種新的基于自由矩陣的積分不等式，將基于自由矩陣的積分不等式與分層劃分方法相結合，可進一步降低推導出結果的保守性；并且用此不等式推廣了一些現有的不等式，為具有時滯的系統的研究提供了一個新的見解。而long等[9]從另一個角度出發，提出了三次函數的一個負定義引理，該引理需要比以前的方法低得多的計算復雜度；并利用所提出的引理、增廣LKF和二階Bessel-Legendre不等式，導出了一個不錯的時滯相關的穩定性準則。由此可見，基于不等式的LKF方法在時滯網絡系統穩定性中發揮著關鍵性作用并且不斷發展。

本文以LKF為出發點，構造出新的擴展LKF進行系統的穩定性分析。該LKF不僅包含了關于時變延遲的更全面的信息，而且使延遲和增強向量之間密切相關，可大大降低系統的保守性；然后使用廣義的基于自由矩陣的積分不等式處理在LKF求導過程中產生的積分項，又使得線性網絡控制系統的保守性明顯降低；最后再基于二次函數的負定定理推導出新的穩定性準則。文章的結尾通過兩個數值實例來說明本文方法的優越性和有效性。

本文采用如下標號：Rn表示n維的歐幾里得空間；Rn×m代表n×m維的實矩陣；上標“-1”和“T”分別表示為矩陣的轉置和矩陣的逆；diag{…}是指塊對角矩陣，R＞0表示矩陣是正定的；I和0分別代表有適當維數的零矩陣；并且Sym{X}=X+XT。

1 系統模型

考慮如下網絡控制系統模型：

式中，x(t)?Rn,u(t)?Rm分別為系統的狀態向量和控制向量，A，B是系統的矩陣，0φ是系統的初始狀態。

假定在控制系統中，系統的控制器和執行器采用事件驅動，傳感器則采用時間驅動[10]。在NCSs中，傳感器、執行器和其他現場設備通過通信網絡交換信息和數據。由于網絡的固有特性，信息在通過網絡的傳輸過程中不可避免地會出現通信延遲，即網絡時延。圖1是一個簡單的NCSs原理圖，假設系統以T為采樣周期，傳感器在kiT時刻的采樣信號傳輸到執行器時間為τk，則閉環系統的總網絡時延為τk=τsc+τca+τc。其中τsc為傳感器到控制器的傳輸時滯、τca為控制器到執行器的傳輸時滯，τc則是控制器在計算過程中的計算時滯。

圖1 網絡控制系統原理圖

若系統（1）是可控的，則基于網絡控制器為：

其中，K是已知的系統的控制器增益，將（2）式代入（1）式中，就可以獲得閉環網絡化控制系統

式中，{i1,i2,i3,…}?{1,2,3,…}。當{i1,i2,i3,…}={1,2,3,…}時，系統不會出現丟包現象；當ik+1＜ik時，舊數據包會比新數據包先到達被控對象處，從而會導致系統出現主動丟包現象。

由于x(ikT)=x(t-(t-ikT))，定義h(t)=t-ikT,t?[ikT+τk,ik+1T+τk+1),k=1,2…，滿足0＜h1≤h(t)≤h2則NCSs可以表示為：

通過對時滯系統（4）的穩定性問題進行分析來得出網絡控制系統的穩定性準則。

2 主要結果

在本節中，提出了一種新的擴展型LKF，它包含了更多關于延遲的信息。基于LKF，為所慮的網絡控制系統開發了改進的穩定性條件。為了簡化演示，我們定義了以下符號：

定理1 對于給定的標量h1和h1滿足0＜h1＜h2，以及控制器增益K，如果存在正定矩陣P?R7n×7n，Qi?R2n×2n，Ri?R7n×7n，(i=1，2)，和任意矩陣N1、N2、N3?R14n×3n,S1、S2?R14n×n，使下列不等式均成立，則系統（4）是漸近穩定的。

其中：

證明：為了探討網絡控制系統的穩定性，構造如下LKF：

對LKF進行求導計算，可以得到：

可見LKF求導后出現了兩個積分項，而這導致泛函的導數無法直接推導出具有線性矩陣不等式形式的穩定性條件。因此，如何進一步處理LKF導數中的積分項成為獲得松弛穩定性條件的關鍵。

對于LKF中出現的兩個積分項，利用文獻[11]中提出的廣義自由矩陣積分不等式進行界定處理，得到如下結果：

其中：

又對于任何矩陣S1和S2?R14n×n，以下條件成立：

綜上可知：

式中Ξ2、Ξ1和Ξ0被定義在定理1中。

對于h(t)?[h1,h2]，如果滿足不等式（5），則(t)＜0。因此，根據李雅普諾夫穩定性理論，可知系統（4）是穩定的，證畢。

注意不等式（5）是h(t)的二次函數，不能直接求解。

利用文獻[12]中提出的引理2，使不等式（5）在轉換為可解條件的同時，還降低了整個系統的保守性。下面是不等式（5）基于文獻[12]中引理2的一個條件，在推論1中給出。

推論1對于給定的標量0＜h1＜h2，以及控制器增益K，如果存在正定矩陣P?R7n×7n，Qi?R2n×2n，Ri?R7n×7n，(i=1，2)，和任意矩陣N1、N2、N3?R14n×3n,S1、S2?R14n×n，使下列不等式均成立，則系統（4）是漸近穩定的。

式中Ξ21Ξ和Ξ0被定義在定理1中。

注釋：與文獻[16]中的LKF相比，本文運用的LKF在二次函數項的狀態向量中擴展了狀態向量的滯后項x(t-h1)和x(t-h2)；在LKF的兩個一重積分項的狀態向量擴展中重點考慮加入了狀態向量的導數項(s)；并且也將兩個滯后項x(t-h1)和x(t-h2)擴展到LKF的第二個一重積分項中；這些項的引入，使泛函的導數中包含更多的時滯信息與自由矩陣S1、S2相耦合，能有效的降低所得穩定性條件的保守性。其次，由于Ξ1和Ξ0中包含非線性項，須通過使用Schur補定理將推論1中的給出的條件轉換成LMI，最后才能在Matlab中計算得出結果。

3 數值算例

在本節中，本文給出兩個數值實例，來說明本文推論1的有效性。

例1 考慮到系統（4）具有以下參數：

分別取h1=0.05,0.1,0.15,0.2，取到不同h1的值下閉環系統（4）漸進穩定的最大允許時滯上界h2的大小，并將推論1的到的結果與文獻[5]和文獻[13]的方法進行比較，結果如表1所示。

表1 不同h1值下獲得的時滯上界h2的值

分析表1中的數據可知，根據本文推論1得出的最大時滯上限總體上大于列表中文獻的結果。推論1與文獻[13]對比。在h1=0.05時本文推論1得出的最大時滯上限是1.0873，而文獻[13]中得出的結果是1.0507，由此說明了本文提出的方法獲得的結果具有一定的優越性。

例2 考慮如下系統模型：

當考慮例2中所提供的參數時，所得的結果如表2所示。

表2 不同h1值下獲得的時滯上界h2的值

表2給出了系統（1）在另一經典例子中不同h1取值下得到的時滯上限。由表2可以看出，本文的新的擴展LKF考慮了更多關于時滯和系統狀態的信息，使系統得到了更高的時滯上界，導出了具有更低保守性的穩定性準則，進一步說明了本文方法的有效性和優越性。

4 結語

本文主要對NCSs的穩定性問題進行了研究。針對以往研究中存在的不足，構造了一種新的具有增廣的具有單積分項，雙積分項和非積分項的改進LKF；在一重積分項的狀態向量進行了大幅度的擴展，使狀態向量之間的關系可以通過正定矩陣緊密的耦合在一起，對降低系統保守性起到了關鍵性作用。在此基礎上，再運用自由矩陣不等式及二次負定定理對泛函的導數進行了界定處理，得出了一個具有更少保守性的穩定性判據。最后，通過兩個數值算例進行仿真分析，并將其與現有文獻中的方法進行了對比，得知本文所提出的方法可以得到更大的時滯上界，證明了本文方法的優越性。