輸入量化下航天器位姿一體化預設時間控制

張洪珠，葉東，孫兆偉

哈爾濱工業大學 衛星技術研究所，哈爾濱 150001

近年，軌道快車、“棱鏡”雙星（Prototype Research Instruments and Space Mission Technology Advancement，PRISMA）和蜂鳥一號（HummerSat-1）等空間任務取得了巨大成功。為保障任務航天器“健康”以長期遂行目標任務，在軌對其進行故障搶修和常規維護是必要的。實施救援和維護過程中，往往要求主動航天器（維護航天器）必須能夠以期望的狀態快速準確地到達維護接口，并相對目標航天器（故障航天器）保持懸停和姿態同步從而順利實施維護操作［1］。因此，航天器姿態軌道快速高精度控制問題成為航天工程領域研究的熱點［2］。

有限時間控制由于可突破收斂的漸近性，同時具有更好的控制性能和出色的魯棒性，因而廣泛應用于航天器姿態控制領域［3-4］，如基于終端滑模方法［5-6］、加冪積分技術［7］和齊次性理論［8］等設計的有代表性的有限時間控制方案。值得注意的是，有限時間控制策略狀態收斂時間的估計依賴于系統的初始狀態，但對于某些空間任務而言，航天器的初始狀態難以預先準確獲知［2］，從而將導致系統收斂時間難以確定和分析［9］。因此有限時間控制在實際應用中受到較大限制。為解決有限時間方法對系統初值的依賴問題，學者們提出了固定時間控制方法［10］。該方法不僅能夠使得被控系統在有限時間內獲得良好的動態性能，而且系統的收斂時間也不受初始狀態的影響。作為有限時間概念的改進，固定時間方法在航天器控制領域也與滑?？刂啤绶e分、極限齊次等技術結合，取得了豐碩的研究成果［11-15］。但是，面向實際應用，該方法仍顯不足。工程上，系統收斂時間和收斂精度等指標一般根據任務的工程目標首先確定，然后在指標范圍內設計滿足要求的控制算法。如：對于推力矢量航天器，在維護機動過程中，航天器姿態需在指定時間內以足夠的精度匹配特定方向，進而，推力器可在期望方向上施加脈沖推力，以在指定時間內跟蹤目標航天器的位置和速度，完成交會［16］。然而，如文獻［17-18］指出，固定時間技術的系統收斂時間與控制參數之間關系復雜，不能直接表示為系統的某個可調參數。因此限定系統收斂時間的條件下，該方法不易選擇控制參數，不利于實際應用［19］。為解決固定時間方法的局限性，預設時間穩定概念受到關注［20］，其收斂時間去除了對系統初值的依賴、且僅由一個特定的控制參數顯式決定。該概念良好的理論性質獲得了學者們的青睞［21-24］。文獻［21］針對一類“歐拉-拉格朗日”型非線性系統，提出了一種新穎的實際預設時間控制方法。該方法引入坐標變換思想，使得存在和不存在狀態約束時，誤差變量皆可在預設時間內收斂到指定區間，且對系統不確定性具有良好的魯棒性。然而，該方法巧妙的處理思路使得設計過程變得復雜。文獻［22-24］采用了不同的設計思路，通過控制器設計使得系統李雅普諾夫函數的變化率滿足特定的預設時間收斂形式，解決了不確定性估計和航天器控制問題。然而，上述研究僅面向航天器姿態控制問題，而未考慮航天器的軌道控制問題。

在軌維護等空間近距任務的航天器控制中，既需進行姿態控制也需進行軌道控制，且二者相互耦合。傳統上，一般對姿態和軌道運動進行分別建模、獨立控制，控制實施時，也常采用姿軌交替的控制方式。但是，此種模式往往因忽略姿軌耦合效應而降低模型精度，盡管控制器中加入修正項可在一定程度上補償耦合影響，但可能仍無法滿足高精度的任務要求［25］；此外，位姿分控方式，一方面難以實現姿態軌道同時到達期望狀態的控制目標，同時也將導致整體機動時間變長，致使快速位姿機動受到掣肘?？梢?，航天器姿軌耦合快速機動控制問題研究具有重要意義。

預設時間概念解決具有收斂時間約束的非線性控制問題優勢顯著，但是，該方法用于解決帶有時間約束的姿軌耦合控制問題，尚較鮮見。航天器控制領域，為解決獨立建模方式存在的不足、提高控制性能，李群SE（3）框架下的航天器運動描述成為姿軌耦合建模的主要方式之一。本質上，空間近距離姿軌耦合控制問題可抽象為空間六自由度相對運動控制問題，SE（3）指數坐標下六自由度相對運動描述能夠融合位姿耦合特性［5］，具有一些良好性質，是位姿一體化控制研究的熱點。然而，指數坐標下，系統運動學和動力學皆是耦合的，其非線性更強，動態更復雜。基于預設時間方法［21-22］進行位姿跟蹤控制，首先限定了其收斂時間，而收斂時間的約束也將對系統其他性能產生較大影響。因而，指數坐標下，其復雜的系統動態，將使得預設時間控制器的設計更具挑戰。

對于執行維護操作的微小型航天器，平臺配備的通信設備的功率和信道帶寬有限，而其控制與執行機構分系統之間又通常采用無線方式，因此，微小型航天器系統的通信能力受到較大限制［26］?？紤]這一問題，微小航天器的控制系統設計需滿足快速機動目標，還需考慮其通信能力受限問題。目前，處理通信約束問題的主要思想包括量化控制和事件驅動控制。相比于后者，前者在降低系統通信頻率的同時，也能夠減小單次通信中傳輸信號的數據量，是航天器控制策略研究的一個重要方面。輸入量化是量化技術的具體實現。該技術將連續信號變換為分段恒定輸入信號，并在恒定時段內暫停通信從而降低控制器和執行機構間的通信頻率。然而，在位姿一體化系統下考慮量化控制，由于輸入力和力矩對系統狀態軌跡的影響是耦合的，且二者往往具有量級差異，因此，如果粗略地對輸入信號進行量化將產生較大輸入偏差，可能導致系統性能的嚴重下降，抑或無法滿足實時性較高的任務要求，甚至可能導致系統不穩定［27］。綜上所述，考慮輸入量化問題的快速位姿一體化控制具有顯著的必要性和工程意義［28-29］，也更為復雜。

面向小型航天器執行在軌維護任務中具有時間約束的高精度位姿控制問題，本文利用李群SE（3）框架描述融合姿軌耦合效應的航天器六自由度空間運動，采用新型的誤差有界量化器對系統輸入進行量化，并引入偏差補償策略，接引量化參數抑制其對控制性能的不利影響，進而在預設時間穩定概念下設計一體化位姿跟蹤控制算法。主要工作和貢獻如下：

1）運用李群SE（3）上指數坐標表示的航天器姿軌耦合誤差動力學模型，在慣性參數未知、外部干擾以及力和力矩信號量化的條件下，解決了具有時間約束的快速位姿跟蹤控制問題。

2）引入誤差有界復合量化器減小控制器到執行機構的通信量，保證系統穩定性的前提下，有效降低了系統通信負載；并利用量化參數設計偏差補償結構，對量化誤差進行對應通道補償。

3）推導了實際預設時間穩定引理，并基于反步法設計位姿一體化非奇異控制算法。該算法在擾動信息未知和不依賴系統初始狀態的情況下，實現了指定時間內高精度位姿跟蹤，且系統的穩定時間上界可由一個控制增益預先設定。

1 姿軌一體化模型及問題描述

群是由集合及定義在集合上的二元運算組成的代數結構，李群是一類具有光滑性質的群結構，特殊歐幾里德群SE(3)是一類特殊的李群，它可以表示剛體的一般空間構型。剛性航天器作為一種特殊的剛體，其空間運動可以由SE(3)的齊次坐標及相應的李代數se(3)描述［30-31］。

1.1 剛體航天器運動模型

慣性空間中，航天器的位置和姿態構型可由SE(3)上的元素表示，即

式中：C∈SO(3)為航天器從本體坐標系到慣性坐標系的方向余弦矩陣；R=[R1R2R3]Τ∈R3為慣性系下航天器質心的位置矢量，其原點位于地心。

為一體化描述航天器運動，定義航天器廣義速度為

式中：ω和υ分別為本體坐標系下航天器的角速度和平移速度。

SE（3）上航天器運動學方程可以一體化地表示為［31］

根據文獻［31］，航天器姿軌耦合一體化動力學方程可表示為

式中：Ξ=diag(J，mI3)∈R6×6為航天器慣性參數矩陣，其中J和m分別為航天器的轉動慣量和質量，Ij為j階單位陣，j為正整數；=(?v)T為廣義速度的反伴隨矩陣，其中，?v為廣義速度的伴隨矩陣，定義為為地球引力相關輸入向量，Mg=，分別為作用在航天器上的重力梯度力矩、重力和J2攝動力，這里Rb=CTR為航天器質心位置向量在本體系下的表示，μ=3.986×1014m3/s2、J2=1.082 63×10-3和R⊕=6 378 km 分別代表地球引力常數、地球扁率攝動和地球平均半徑為控制輸入向量，其中Mc和Fc分別為輸入力矩和輸入力；為作用在航天器上的環境干擾向量，其中Md和Fd分別為干擾力矩和干擾力。

1.2 航天器姿軌一體化相對運動模型

考慮一個由目標航天器和主動航天器構成的兩航天器系統。假定兩航天器（其中目標既可以是真實航天器也可為虛擬的）的空間構型分別為go和g，則該系統的相對位姿構型可表示為。設主動航天器的期望位姿構型表示為gd，該期望構型一般可通過目標航天器構型通過gd=goχd給定，其中χd為根據空間任務指定的系統的期望相對位姿構型，通常為一個常量。

基于上述定義，主動航天器相對于目標航天器的位姿構型跟蹤誤差為。進而可得誤差運動學為

為簡化控制器設計，引入李代數的指數坐標表示位姿跟蹤誤差［30］。記，其中Ce為姿態跟蹤誤差方向余弦矩陣，Re為位置跟蹤誤差。定義η=[θTβT]T∈R6表示位姿跟蹤誤差的指數坐標，其中θ和β分別為指數坐標下的姿態跟蹤誤差和位置跟蹤誤差。指數坐標可由李群和李代數間的對數映射得到，即

式中：(·)∨為(·)∧的逆變換。

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logSE(3)(χe)的計算結果為

其中：tr(·)為矩陣(·)的跡。

于是，得到指數坐標形式的誤差運動學方程為［31］

式中：G(η)為分塊三角矩陣，定義為

不失一般性地，假定兩航天器系統的期望相對速度為零。對廣義速度跟蹤誤差ve求導，得到兩航天器位姿跟蹤誤差的相對動力學方程為［31］

考慮實際任務中航天器慣性參數并非精確可知，因此，設航天器慣性參數矩陣及其逆分別表示為，其中，Ξ0為慣性參數矩陣的標稱部分，ΔΞ為不確定部分，為慣性參數矩陣逆的不確定部分。進而，位姿跟蹤誤差動力學方程式（10）可表示為

1.3 輸入量化

假定u=[u1，u2，…，u6]∈R6為待量化的控制力矩和力，uc=Q(u)=[Q1(u1)，Q2(u2)，…，Q6(u6)]為u的量化值，Qi(·)為基于對數量化算法和均勻量化算法的復合量化器。根據文獻［27，32］，該量化器可定義為

對數量化器定義為

式中：ui，j=(ρi)1-jui，min；δi=(1 -ρi)(1 +ρi)(j=1，2，…，n)，其中n為正整數，0 ＜ρi＜1 表征對數量化器的量化密度；ui，min＞0 為待設計量化死區。當控制輸入幅值大于閾值時，量化器切換為式（14）定義的非對稱均勻量化器：

至此，定義復合量化器的量化誤差為

根據對數量化器和均勻量化器的性質，可得復合量化器的量化誤差有界，且滿足：

基于式（15）的定義，量化后的系統輸入可表示為uc=Q(u)=u+Δq，其中Δq為六通道量化誤差。

2 預設時間位姿一體化控制器設計

本節首先給出本文的控制目標和常用假設及相關引理；接著推導滿足一般條件的實際預設時間穩定引理；最后，利用該結果設計輸入量化條件下的位姿一體控制策略。

2.1 控制目標

基于第1 節的定義，本文的控制目標可描述為：對于考慮輸入量化的航天器相對運動誤差系統式（8）和式（11），設計一個非奇異的一體化控制律，使得位姿跟蹤誤差在任意初始條件下，皆可在預設時間內收斂到原點的有界鄰域。即對于η(0)∈R6，當t＞T時，η(t)∈L∞成立。

2.2 假設及引理

假設1目標航天器的廣義速度和廣義加速度有界，即為正常數。

假設2［30，33］主動航天器受到的環境輸入干擾和總干擾有界，即，dd和d為未知正常數。

引理1［23］對于任意xj＞0 (j=1，2，…，n)，下面的不等式成立：

引理2［34］對于x，y∈R 和常數τ1＞0，τ2＞0，q＞0，下面的不等式成立：

引理3［34］對于實數x，y，w∈R，滿足x≥y和w＞1，則下面的不等式成立：

引理4對于系統=f(x，t，d)，其中，x∈Rn，d∈Rn分別為系統狀態和外部擾動，如果存在一個連續正定函數L(x)，對于系統任意解x(t，x0)和標量參數0 ＜p＜1、預定義時間常數使得式（17）成立：

則系統的解軌跡是實際預設時間穩定的，L在時間[ T ]內到達包含平衡點的區域內，其中min{·}表示集合{·}的最小元素，表示系統的收斂時間，滿足≤T。

證明受文獻［35］證明思路啟發，式（17）可以表示為

將式（19）代入式（20）得到：

進一步變形，式（21）可表示為

注釋1對于系統=f(x，d，t)，文獻［36］在干擾有界且部分信息可知的條件下給出了預設時間穩定定理穩定時間上界為T。文獻［23］則在干擾有界但信息未知的條件下，給出了實際預設時間穩定定理，并在特定情形下給出系統的預設收斂時間為。注意到，當L＞1 時，在L收斂中起主要作用，當L＜1 時，在L收斂中起主要作用。本文引理4 在文獻［23］定理的基礎上進一步引入了可調參數?，即，該形式改變了文獻［23］中高低冪次項前的最小系數，增加了低冪次項前的權重，減小了高冪次項前的權重。系統存在有界擾動時，該引理可實現系統狀態在預設時間T內收斂。相比文獻［23］，引理4 在一般的情形下，得到系統收斂時間的估計更?。淮送?，在系統初始狀態遠離平衡點時，能夠降低系統狀態的最小下降速度。因此，引理4 給出系統收斂時間的估計更具一般性；此外，該引理用于控制器設計時，有助于減小系統狀態較大時的控制輸入。對于位姿一體化誤差系統，其相對位置誤差可以很大，因此，基于該引理設計位姿控制器有利于降低系統的最大控制力，具有一定實際意義。

2.3 反步控制器設計

為滿足后文應用，首先給出關于矩陣G(η)的性質。

命題1對于狀態空間中的任意狀態向量η∈R6，式（9）定義的矩陣G(η)是可逆的。

證明由式（9）的表達式可知，G(η)為狀態相關的時變分塊下三角矩陣。證明采用反證法、分為兩種情況進行。

情況1η≠0

如果A(θ)存在0 特征值，則存在非零向量∈R3使得，A(θ)=0，因而有：

根據A(θ)的定義，可得

考慮到θ×θ×=-θTθ·I3+θθT，式（26）可表示

再由θ=‖θ‖，可得A(θ)＞0，此結果與式（25）矛盾。因此，0 不是A(θ)的特征值。

情況2η=0

由G(η)的定義，利用洛必達法則容易驗證：

綜上所述，G(η)為特征值非零的下三角分塊矩陣。因此，對于任意η∈R6，矩陣G(η)可逆。命題1 證明完畢。

觀察式（8）和式（11），該系統為典型的二階級聯系統，基于系統特征和性質，采用反步法［37］設計位姿一體化控制器。

步驟1虛擬控制律設計

定義中間誤差變量z1=[z11，z12，…，z16]=η和，其中，為待設計的虛擬控制律，K1=diag(k11，k12，…，k16)為正定對角矩陣。易得中間變量z1的微分方程為

設計虛擬控制律為

當|z1i|＞ε1i，式（31）代入式（30）中，推導得到：

應用引理1 和楊氏不等式，式（32）可放大為

式中：λK2為矩陣K2的最小特征值；k為任意正常數；Λm=min{Λ1，Λ2，…，Λ6}，其中，Λm按引理4參數? 的條件取值。選取式（34）：

式（33）可簡化為

步驟2實際控制律設計

首先對中間變量z2求導，得到：

由式（31）和式（37）易知，虛擬控制律ωˉ及其導數皆是非奇異的。

注釋2對系統式（8）和式（11），采用反步法設計控制器時，中間誤差變量一般可設計為z2=ve-。本文設計的中間變量與之不同，其中包含了矩陣G(z1)，這將使得系統在動態響應階段，能夠利用位姿跟蹤誤差信息調節系統動態；同時，在穩態階段，由于G(z1)→I6，可保證虛擬控制律跟蹤系統廣義誤差速度的反步設計初衷。

由1.3 節定義可知，量化器式（12）具有有界性質。定義?i＞0 表示量化誤差的界，即|Δqi|≤?i。根據式（16），可知?i=max{σi，δi|ui，s|+ui，min}，其中max{·}表示集合{·}的最大元素。于是可得

將Q(u)代入到式（36）中得到

為推導變量z2的有界性，對式（39），定義正定標量函數，以之增廣Vz1得到系統李雅普諾夫函數V為V=+。對其求導并代入式（39），得到：

定義um=u-u1，考慮命題1，設計控制指令：

式中：K3=diag(k31，k32，…，k36)為正定對角陣。

將u1代入式（40）得到：

式（42）中，量化誤差和不確定性是設計控制指令um需進一步考慮的問題。為處理輸入量化誤差對系統穩定性帶來的不利影響，在控制器中，采用補償策略，引入量化器參數信息抑制量化誤差。定義u3=um-u2，設計誤差補償結構為

注釋3本文考慮到位姿控制力和力矩一般為不同量級的實際，對力和力矩通道實施不同水平量化，并基于復合量化器誤差有界性，利用量化參數設計誤差補償項，降低系統通信負載的同時保證系統的穩定性。

對于系統式（39），系統不確定性也將影響控制性能，為處理該消極影響，設計如下更新律對系統干擾進行自適應估計

設計控制指令

注釋4文獻［39］在假定環境干擾有界且界已知的條件下，給出了預設時間和指定收斂范圍的姿態跟蹤控制器。然而，當考慮系統總擾動時，由于其界難以預先獲得，因此其方法存在一定的局限性。針對此問題，本文設計了擾動自適應律式（44）估計擾動上界的平方，其第一項可提高系統魯棒性的同時減輕抖振現象，后兩項則使得整體系統具有預設時間收斂的性質。

基于步驟1 和步驟2 的設計，得到考慮不確定性和輸入量化的整體預設時間位姿一體跟蹤控制器為

基于上述分析和設計過程，本節最后給出如下定理。

定理1考慮式（8）和式（11）構成的兩航天器相對運動誤差系統，在假設1 和假設2 滿足并考慮輸入量化的條件下，如果選擇參數滿足條件式（34）和式（59），虛擬控制律式（31）、實際控制律式（47）、量化補償項式（43）和自適應律式（44）能夠使得位姿跟蹤誤差在預設定的時間T內收斂到包含原點的小的鄰域內，即主動航天器能夠在任務設定時間內，以足夠的精度跟蹤目標航天器。

2.4 穩定性分析

為使求解過程完整，本節在Lyapunov 穩定性理論框架下，給出定理1 的證明。

證明選擇式（45）得到的V為整體系統李雅普諾夫函數，對其沿閉環系統軌跡求導得到：

代入式（43）和式（44），更新式（49）為

將式（46）和式（35）代入式（50），得到V的不等式并放大可得

考慮到對于任意x∈R、q＞0，雙曲正切函數有的性質，且ζ＞?，因此式（51）可簡化為

將式（54）代入到式（53），并應用二次型不等式，可得

應用上面不等式關系，式（56）可變化為

式（57）整理化簡可得到式（58）：

選擇參數滿足式（59）所示條件：

考慮前文參數關系式（34），則根據引理1，可得系統李雅普諾夫函數導數滿足式（60）：

至此，根據引理4 可知V有界，且可在預定時間T內收斂于下式所示的包含原點的區域內

進而可得，中間誤差變量z1、z2和自適應誤差有界，且位姿跟蹤誤差范數‖η‖在時間T內收斂到區域內，其中λK1為矩陣K1的最小特征值。此外，由狀態的有界性可知有界，由z2的定義可知有界，由此可得廣義誤差速度ve有界。定理1 證明完畢。

3 數值仿真分析

本節以空間在軌維護任務為應用場景，驗證本文提出的輸入量化下位姿一體化預設時間控制策略的有效性及跟蹤性能。

3.1 任務描述及仿真結果

假設被維護航天器為對地監測微小衛星組網系統的一顆突發故障衛星，為及時修復故障以保障組網衛星系統的對地服務能力，需要調配其他航天器（稱為維護航天器）對其實施搶修和維護。因此，維護航天器需要快速到達維護位置、建立維護姿態，并且在維護過程中保持對故障航天器的運動跟蹤，以便操作機構實施維護動作。兩航天器運動的初始狀態與文獻［33］相同。目標航天器運行在高度為400 km、傾角為45°的圓軌道上，其體坐標軸與慣性主軸重合，發生故障時，初始位姿構型和速度在其本體系下分別為

故障航天器的轉動慣量矩陣和質量分別為Jo=[25，0，0；0，22，0；0，0，23] kg·m2和mo=100 kg，且不考慮轉動慣量和質量的不確定性。維護航天器的初始姿態按目標航天器體坐標系的zyx軸相繼旋轉[80.26°，30.00°，-35.26°]得到，初始位置在目標航天器體坐標系下[15，-10，-20]Tm處；角速度和平移速度在其體坐標系下分別為ω=[0.043 487，0.042 570，0.017 761]T（°）/s 和υ=[7 256.5，-1 537.1，1 712.5]Tm/s。為便于后文對比說明，記該初始位姿構型和速度為初態1。維護航天器的標稱轉動慣量為J=[25，1，0.5；1，22，1.2；0.5，1.2，23] kg·m2，標稱質量為m=105 kg，考慮其不確定部分分別為ΔJ=0.12J和Δm=0.03m。不失一般性地，假定維護航天器的期望維護姿態與故障航天器相同，維護操作點在故障航天器體坐標系下x軸負方向5 m 位置。仿真中不考慮故障航天器受到的空間干擾，考慮維護航天器受到的干擾與文獻［13］形式相同，并增大了干擾頻率，設定為ud=0.005·[sin(0.2t)，cos(0.1t)，-sin(0.3t)，sin(0.2t)，cos(0.1t)，-sin(0.3t) ]T，干擾力矩量綱為N·m，干擾力量綱為N。任務設定維護航天器需在120 s內到達維護狀態。考慮到執行機構輸出能力是實際受限的，與文獻［19，24］的處理方式相同，仿真中限定三軸控制力為[-5，5] N，三軸力矩為[-0.5，0.5] N·m。自適應參數初值(0)=0.000 1?？刂萍傲炕瘏翟O置見表1。

表1 控制器和量化器參數Table 1 Parameters of controller and quantizer

仿真結果如圖1～圖6 所示。圖1 和圖2 分別為姿態和位置跟蹤誤差，圖3 和圖4 為角速度和速度跟蹤誤差。

圖1 姿態跟蹤誤差Fig.1 Tracking error of attitude

圖2 位置跟蹤誤差Fig.2 Tracking error of position

圖3 角速度跟蹤誤差Fig.3 Tracking error of angular velocity

圖4 速度跟蹤誤差Fig.4 Tracking error of translational velocity

由圖1 和圖2 可見，姿態誤差和位置誤差的收斂時間約為75.8 s 和90.5 s。進入穩定區間后，姿態誤差下降到|θi|≤3.72×10-3（°）（i=x，y，z，下同），位置誤差下降到|βi|≤3.28×10-5m。相應地，如圖3 和圖4 所示，角速度和速度誤差分別在約76.2 s 和90 s 進入穩定區間，并收斂到|ωi|≤1.60×10-3（°）/s 和|υi|≤1.02×10-5m/s范圍。由以上結果可知，機動中，姿態和位置誤差及廣義速度誤差皆在120 s 內收斂，誤差收斂范圍在10-3～10-5量級之間。

圖5 和圖6 分別為量化的控制力矩和控制力曲線。可見，系統的指令輸入經量化后轉化為不連續的實際控制力矩和控制力，信號量化有效。需要指出的是，量化輸入在ui，s之內出現了較高頻率的切換，該現象是由于量化誤差處于2 個量化級之間的臨界切換點產生的，將對數量化器替換為遲滯量化器可降低該切換頻率。

圖5 量化的控制力矩Fig.5 Quantized control torque

圖6 量化的控制力Fig.6 Quantized control force

圖7 為系統總擾動上界平方的自適應估計曲線，由圖可見，估計值經過快速超調后迅速下降，并在系統狀態收斂前穩定。

圖7 總擾動上界自適應估計Fig.7 Adaptive estimation of bound of disturbance

為說明輸入量化機制降低系統通信負載的能力，對量化后控制力矩和控制力信號的駐留時間進行了計算，結果分別如圖8 和圖9 所示。

圖8 量化控制器力矩的駐留時間Fig.8 Dwell time of quantized control torque

圖9 量化控制器力的駐留時間Fig.9 Dwell time of quantized control force

可見，動態響應階段，量化控制力矩的最大駐留時間接近7 s，量化控制力的最大駐留時間約為10 s；收斂到穩定區間后，駐留時間同樣多大于系統控制周期。由圖9 可見，在指令信號較大的動態階段，量化明顯粗略，更有利于降低通信頻率?？紤]控制頻率為8 Hz，則六通道無量化情況下信號傳輸頻次為9 600 次，而量化后的信號傳輸頻次約為2 863 次，通信量可減少70%以上。結果說明，考慮控制力矩和控制力信號量化能夠顯著降低信號傳輸頻次，極大減輕耦合系統的通信負擔。

上述結果表明，本文給出的位姿一體化控制器是有效的，即可在輸入量化的情況下，實現維護航天器在預設定時間內到達并保持在期望的維護狀態，且控制精度較高，滿足在軌維護任務要求。此外，采用具有誤差有界的復合量化器，且力和力矩通道采用不同量化參數，能夠更好的平衡減小通信量和保持系統控制性能之間的矛盾，適合位姿一體化控制。

此外，為表明本文控制算法對運行周期的要求，圖10 給出了200 s 仿真中每個控制周期計算控制指令的單次時間消耗和平均時間消耗。仿真計算機為辦公筆記本，處理器為Intel（R）Core（TM）i5-8250U，CPU 主頻為1.60 GHz，內存8 GB，Win10 操作系統，仿真軟件為MATLAB 2021a 版本。可見，計算一次指令的最大時長約為0.002 5 s，1 600 次計算的平均耗時約為0.001 1 s，均遠小于控制周期。因此，該控制算法具有較高的計算效率，滿足工程應用要求。

圖10 控制指令計算時間Fig.10 Time cost of calculating control command

3.2 控制律性能仿真分析

1）預設時間收斂性分析

為進一步說明控制器式（47）中預設時間參數對系統穩定時間的影響，考慮了另外3 組仿真：預設時間參數T分別取值為140、100 和80 s，兩航天器的初始條件和其他控制參數與3.1 節相同。3 種情況的位姿跟蹤誤差范數如圖11 所示。

圖11 預設時間參數T=140，100，80 s 時位姿跟蹤誤差范數Fig.11 Norm of pose tracking errors with control parameter T=140，100，80 s

由圖11（a）可見，當T=140 s 時，位姿誤差實際穩定跟蹤時間約為94.5 s；由圖11（b）可見，T=100 s 時約為82.8 s；由圖11（c）可見，T=80 s時約為75.6 s。根據該結果可知，預先設定時間參數直接影響系統收斂時間，且3 組條件下，系統實際收斂時間均小于相應的預設時間參數，改變參數T可調節系統的收斂時間。上述結果驗證了預設時間控制的良好性質?；谠撔再|，可利用預設時間參數約定系統的收斂時間上界，相對于有限時間控制和固定時間控制，預設時間方法提高系統收斂時間調節的便捷性，更有工程應用優勢。此外，誤差變量的實際收斂時間與設定的收斂時間具有一定的保守性，其主要原因可從兩個方面考慮：一方面，理論收斂時間是在初始誤差趨近于無窮的情況下給出的收斂時間上界，而系統的實際收斂時間是與系統初態和輸入相關的，在確定的初態下，其實際收斂時間一般不會達到其理論上界；另一方面，控制器設計中的不等式放大也帶來了系統收斂時間的保守性。考慮到，預設時間引理中的參數? 與收斂速度正相關，參數p與收斂速度的相關性隨狀態不同而不確定。因此，可通過減小參數Λ以及精細的不等式放縮減小保守性。

2）與有限時間終端快速滑模位姿跟蹤控制器［33］（下稱有限時間滑?？刂破?Finite Time Sliding Mode Control，FTSMC）對比分析

為說明本文設計的位姿跟蹤控制器（下稱反步預時控制器/Backing-stepping Pre-defined Time Control，BsPdTC）的控制性能，下文將該控制器與有限時間滑?？刂破髟谳斎肓炕瘲l件下進行對比。為保證可對比性，2 種控制器的參數按以下條件選擇：首先，考慮姿軌耦合效應，以航天器位置和速度的最大穩定收斂時間作為系統的收斂時間，且初態1 下2 種控制器分別形成閉環系統的收斂時間皆在任務指定時間（120 s）內；初態1 下，反步預時控制器采用表1 控制參數；最后，有限時間滑?？刂破骺刂茀悼墒沟孟到y收斂時間不大于反步預時控制器?；谏鲜鰲l件，有限時間滑?？刂破鲄颠x擇列于表2。

表2 有限時間滑?？刂破鲄礣able 2 Parameters of finite-time sliding mode controller

2 種控制器在控制參數不變、4 組不同初態下進行仿真。4 組初態通過保持故障航天器運動狀態不變、改變維護航天器狀態的方式設定。維護航天器的初態2：姿態按目標航天器體坐標系的zyx軸相繼旋轉[119.00°，68.910°，-44.01°]得到，位置在目標航天器體坐標系下[20，-15，-25]Tm處，角速度和平移速度分別為ω=[0.056 550，0.019 537，-0.020 798]T（°）/s 和υ=[1 398.9，-6 962.0，-2 743.1]Tm/s；初態3：姿態按目標航天器體坐標系的zyx軸相繼旋轉[-19.11°，48.59°，139.11°]得到，位置在目標航天器體坐標系下[25，-20，-30]Tm 處，角速度為ω=[0.043 602，-0.014 725，-0.043 602]T（°）/s，速度為υ=[3 053.3，-5 081.2，4 775.9]Tm/s；初態4：姿態按目標航天器體坐標系的zyx軸相繼旋轉[0.49°，3.84°，165.49°]得到，位置在目標航天器體坐標系下[30，-25，-35]Tm 處，角速度和速度分別為ω=[0.012 204，-0.010 485，-0.061 306]T（°）/s 和υ=[7 256.4，-1 537.1，1 712.5]Tm/s。

出于簡明，4 組初態下兩控制器的仿真結果以表和主要變量仿真圖形式給出，詳見表3 和圖12。表3 為兩位姿跟蹤控制器4 組初態下跟蹤性能對比。由表3 可見，初態1 和表2 的控制參數下，有限時間滑?？刂破鞯南到y收斂時間約為89.7 s，反步預時控制器的系統收斂時間約為90.5 s，前者和后者基本相同且不大于后者。初態1 時，有限時間滑?？刂破飨伦藨B、角速度、位置和速度誤差收斂后誤差范圍可下降到|θi|≤4.77×10-3（°），|ωi|≤1.61×10-2（°）/s，|βi|=5.58×10-5m 和|υi|=8.87×10-5m/s 范圍。相應地，反步預時控制器下，各誤差狀態在進入穩定區間后可滿足|θi|≤3.72×10-3（°），|ωi|≤1.60×10-3（°）/s，|βi|=3.28×10-5m 和|υi|=1.02×10-5m/s。初態2 和初態3 時，位姿誤差更大。對于系統收斂時間，有限時間滑?？刂破髟诔鯌B3 下達到最大，約為116.5 s，反步預時控制器也在初態3 下最大，約為95.2 s。此兩組初態下，反步預時控制器下速度誤差的控制精度略提高至10-6量級，其他各跟蹤誤差的控制精度與初態1 基本為同一量級，遂不贅述。對于初態4，兩控制器的誤差收斂范圍與前3 組初態下同樣量級相同，但系統收斂時間反步預時控制器下約為96.8 s，而有限時間滑模控制器下約為127.6 s。

圖12 初態4 下位姿跟蹤誤差對比Fig.12 Comparison of pose tracking error for Initial states 4

表3 反步預時控制和有限時間滑?？刂菩阅軐Ρ萒able 3 Performance comparison between back-stepping predefined time controller and finite-time sliding mode controller

特別地，為說明初態4 下兩控制器不同的位姿跟蹤過程，下面給出了該初態下兩控制器位姿誤差范數時間響應，曲線見圖12。顯見，過渡階段，兩控制器下系統位姿誤差從約79.9 m 和165.5°開始快速下降。反步預時控制器下位置誤差的下降速度快于有限時間滑?？刂破?，最終，反步預時控制器的系統位姿誤差明顯先于有限時間滑?？刂破鬟M入穩定區間。由115 s 到130 s 的局部放大可見，前者在任務預設定穩定跟蹤時間內收斂，而后者在該時間內明顯尚未收斂。

由上述結果可知，4 組初態下，2 種控制器的姿態和位置跟蹤誤差具有同量級的收斂范圍，分別為10-3（°）和10-5m。對于系統收斂時間，反步預時控制器在4 組初態下變化范圍＜10 s，且皆在任務指定時間內，而有限時間滑?？刂破鲃t變化較大，接近40 s，且在較大初始誤差（如初態4）時會超出任務預設定收斂時間。由此可知，本文設計的預設時間位姿跟蹤控制策略相比有限時間控制策略具有相近的位置和姿態控制精度，但其收斂時間上界與系統初始狀態無關。

4 結論

1）李群SE（3）指數坐標下的誤差動力學模型形式簡潔、性質較好，可與預設時間控制技術相結合解決具有時間約束的航天器位姿一體化跟蹤控制問題；

2）復合量化器具有誤差有界性質，引入該量化器對力和力矩通道實施不同水平量化，顯著降低了控制器和執行機構間的通信頻次，減輕了系統通信負擔；

3）本文基于反步法設計的預設時間控制器實現了位姿跟蹤誤差的預設時間收斂，且收斂時間上界僅由1 個控制參數顯式決定。仿真結果表明，可利用該參數便捷調節系統的收斂時間；

4）不同初始誤差下與有限時間滑?？刂频姆抡鎸Ρ缺砻鳎敵跏颊`差變化時，本文控制方法的誤差收斂時間皆滿足任務給定的時間約束，而有限時間滑?？刂苿t不然；而且，控制精度也略高于后者，可滿足高精度的任務需求。