小學數學結構型題組作業設計的路徑探析

作者簡介：夏忠，福建省福州高新區第二中心小學特級教師，正高級教師。

課題項目：本文系福建省教育科學“十四五”規劃2022年度課題“基于新課標視角單元素養作業設計實踐研究”階段性研究成果。課題批準號：FJJKZX22-578。

摘要：結構型題組作業具有整體性、聯系性、對比性等特性，根據側重點的不同，可分為過程結構型、方法結構型、層次結構型、問題結構型、反思結構型等。教師要從整體的角度把握數學知識之間的聯系和區別，彰顯作業的結構價值，提升作業的效益。

關鍵詞：結構型題組作業；價值；路徑

結構型題組作業，指的是以過程、問題、方法、層次、反思等為結構線索，將互有聯系的數學知識串聯起來而組成的作業。依據結構的不同，題組作業分為過程結構型、方法結構型、層次結構型、問題結構型和反思結構型等。過程結構型題組作業指的是以過程為結構，引導學生經歷數學知識、方法、思想的感悟過程，有助于培養推理意識。方法結構型題組作業指的是以方法為結構，引導學生對多種解法背后蘊含的方法進行分析，有助于培養數學閱讀、思考、表達、反思的能力，拓展思維路徑。層次結構型題組作業指的是以層次為結構，尊重學生的差異，因材施教，使得各類學生都有所收獲。問題結構型題組作業指的是以問題為結構，引導學生根據條件提出同結構的問題，歸納結論，培養學生的問題意識。反思結構型題組作業指的是以反思為結構，引導學生反思解法的錯因及啟發，培養學生的反思意識。以下僅以過程結構型、層次結構型、反思結構型三種結構型題組為例，探索設計結構型題組作業的路徑。

一、以過程為結構，設計過程結構型題組作業

過程結構型題組作業，側重點在于過程的結構化，主要有探究新知過程結構化作業和解決問題過程結構化作業。

（一）探究新知過程結構化作業

探究新知過程結構化作業，即引導學生探究數學知識，通常以“是什么、為什么、怎么樣”的作業形式呈現，形成一個有結構的作業鏈。探究新知過程結構化作業有利于學生經歷知識、方法、思想的形成過程，培養學生的推理意識，引導學生感悟數學思想的價值。

例如，在教學圓柱側面積的推導過程時，學生通過之前的學習已經理解了圓柱的側面積與底面周長和高有關，此時教師可以設計探究新知過程結構化作業。

（1）為什么要把圓柱的側面轉化為平面圖形？

（2）如何轉化？

（3）觀察轉化后的圖形與圓柱側面，它們之間有什么關系？

（4）你發現了什么？

以問題形式呈現的作業，可以引導學生經歷圓柱側面積的推導過程，指向學生對轉化思想的感悟過程。一是為什么要轉化，引導學生思考“圓柱的側面是一個曲面，曲面的面積不好求，轉化為已經學過的平面圖形的面積來求”，把新知轉化為舊知，彰顯轉化的重要性。二是指向如何轉化，凸顯轉化的策略。有的學生沿側面的高剪開，把圓柱的側面轉化為長方形或正方形；有的學生沿側面的斜邊剪開，把圓柱的側面轉化為平行四邊形；有的學生沿側面的折線剪開，把圓柱的側面轉化為一個不規則的圖形，通過剪、平移拼成一個長方形。在實際操作分析中，學生把圓柱的側面轉化為已經學過的平面圖形，體驗了由曲面變平面的多種轉化方式，積累轉化操作經驗。三是指向觀察轉化后的圖形與圓柱側面的關系，目的是引導學生感受前后兩個圖形的變與不變。經歷操作的學生不難發現，圖形的面積不變，只是形狀、名稱變了。如果圓柱的側面轉化為長方形，圓柱的底面周長就變為長方形的長，高變為長方形的寬；如果圓柱的側面轉化為正方形，圓柱的底面周長和高就都變為正方形的邊長；如果圓柱的側面轉化為平行四邊形，圓柱的底面周長就變為平行四邊形的底，高變為平行四邊形的高。四是指向操作后圓柱側面積計算方法的發現。學生經歷了“為什么要轉化”“怎樣轉化”“轉化前后兩個圖形有什么關系”的三個過程，發現轉化為已學的平面圖形都可以推導出圓柱側面積的計算公式。以轉化為長方形為例，學生可以把圓柱的側面沿高剪開，得到一個長方形，長方形的長等于圓柱的底面周長，寬等于圓柱的高，因為長方形的面積等于長 × 寬，所以圓柱的側面積等于底面周長 × 高。

（二）解決問題過程結構化作業

解決問題過程結構化作業，即以解決問題的步驟——閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思為結構而設計的一組作業。解決問題過程結構化作業側重于引導學生經歷解決問題的每一個步驟，評價學生理解題意、表征題意、分析數量關系、檢驗的能力。

例如，在教學分數實際問題時，教師可以“一款玩具原價是45.5元，現在降價[15]。現價是多少元？”設計體現解決問題步驟的題組作業。

（1）現在降價了[15]，是降價了（ ）的[15]，把（ ）看作單位“1”，求現價是多少元，就是求（ ）元的（ ）是多少；

（2）畫圖表示題中的條件和問題；

（3）根據示意圖列式解答；

（4）用不同的方法驗證你的解答是否正確。

這種作業以解決問題步驟為結構，一是以填空的形式評價學生對分數實際問題含有分率條件的理解；二是通過畫圖評價學生表征條件和問題的能力；三是評價學生分析示意圖的能力，不同的分析列出不同的算式；四是評價學生的檢驗能力，培養學生多角度思考問題的能力。這種作業打破了單一列式解答的局限性，彰顯了審題和檢驗的重要性，凸顯了解決問題的育人價值——做好一件事，每一個環節都不容忽視，審題是基礎、分析是關鍵、檢驗是保障，審題、分析和檢驗是三位一體的。

二、以層次為結構，設計層次結構型題組作業

層次結構型題組作業側重于層次，主要有遞進型題組作業和并列型題組作業。

（一）遞進型題組作業

遞進型題組作業，即作業的設計遵循由易到難的原則，根據班級學生的實際而設計的有梯度的一組作業。遞進型題組作業基于學生差異性的訴求，有利于學生選擇，使每一類的學生均能得到不同的訓練，得到不同程度的發展。

例如，在教學乘法分配律的應用時，教師可以設計遞進型題組作業。

（1）算式12 × 27 + 12 × 73表示（ ）個12加上（ ）個12，一共是（ ）個12，結果是（ ）；

（2）簡算：（40 + 4） × 25，36 × 29 + 71 × 29；

（3）南南寫了一個表示27個12加上72個12，再加上1個12的算式，這個算式是（ ）；

（4）在（ ）里填上合適的數，使算式能應用乘法分配律簡算，75 × 18-75 × （ ），56 × 32 + （ ） × （ ）；

（5）設計兩道用乘法分配律簡算的計算題；

（6）簡算：98 × 75 + 150，99 × 22 + 33 × 34。

這種作業遵循由易到難的層次結構，（1）和（2）是基礎，關注潛能生；（3）、（4）和（5）是變式，面向中等生；（6）是拓展，針對學優生。

（二）并列型題組作業

并列型題組作業，即以一個情境為背景，融合相關知識的題材而形成一組答案互不影響的作業，其中上一題的解題結果對下一題沒有影響。設計并列型題組作業是基于教育質量監測對解決問題的要求。

例如，在學生學習了長方形的面積后，教師可以設計這樣的題組作業。

“綠水青山就是金山銀山”，我們要像保護眼睛一樣保護生態環境。在沙漠植樹造林要選擇需水量較小的樹木?？蒲腥藛T開始進行防沙綠化先導實驗，利用地下水造林，并篩選出胡楊、沙柳、沙棗等一批適應沙漠環境的造林樹種。在西北某沙漠中有一個長方形區域，長500米，寬400米，共種植胡楊800棵。

（1）科研人員沿著長方形的四周走一圈，一共要走多少米？

（2）這個長方形區域的面積是多少平方米？

（3）如果要在這個長方形的三面圍上籬笆，至少要圍多少米？小東列式500 + 500 + 400，小西列式500 + 400 + 400。誰的列式是錯誤的？請說明理由。

教師以 “綠水青山就是金山銀山”為背景，以長方形的周長和面積知識為載體，設計了三個并列層次的、互不干擾的問題。每個問題的評價角度不一，第（1）問指向評價學生對長方形周長公式的理解應用；第（2）問指向評價學生對長方形面積公式的應用；第（3）問指向評價學生具體問題具體分析的反思能力。

三、以反思為結構，設計反思結構型題組作業

培養學生的反思意識是《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的目標，作業理應承載這一任務。反思型題組作業，是以反思為結構，即通過分析解法的錯因、引發的啟迪、正確解答的一組作業。通過列舉可能的錯因，教師引導學生剖析，旨在培養學生的審題意識，引導學生厘清條件的意思、問題的指向；他山之石，可以攻玉，從錯誤中吸取經驗教訓，能夠培養學生的反思意識，提升思辨能力。

例如，在學生學習了圓柱的表面積和體積后，教師可以根據學生的常見錯解來設計如下的反思結構型題組作業。

修建一個圓柱形水池，底面直徑是10米，水池深15分米。在水池的內壁與底部貼上瓷磚，貼瓷磚部分的面積是多少平方米？

小東列式：3.14 × 10 × 15 + 3.14 × （10÷2）2

小西列式：3.14 × （10 ÷ 2）2 × 1.5

小北列式：3.14 × 10 × 1.5 + 2 × 3.14 × （10 ÷ 2）2

（1）閱讀以上三種列式，他們分別錯在哪里？

（2）給你的啟發是什么？

（3）請你列式解答。

作業以反思為結構，第（1）問反思錯因，小東的列式錯在單位換算；小西的列式錯在對問題的理解上，求成了體積；小北的列式錯在多求了一個底面積。第（2）問圍繞錯因反思啟發，內化經驗和教訓。第（3）問反思正確列式，提升思辨能力。

總之，結構型題組作業除了上文所述的三種結構外，還有以問題為結構、以方法為結構，以內容、數量關系、情境為結構等設計的題組作業。教師在設計結構型題組作業時要注意以結構為線索，串聯起一組作業；在應用結構型題組作業時要注重結構的關聯，發揮作業結構的最大效益，彰顯結構的魅力。

參考文獻：

［1］曹培英，顧文.跨越斷層，走出誤區：小學數學深度學習教學研究［M］.上海：上海教育出版社，2022.

［2］夏忠.指向為思維而教的數學教學［M］.福州：福建教育出版社，2021.

（責任編輯：楊強）