隨機矩陣理論在高速路關鍵路徑辨識中的應用

張 芳，王 菲，孫寶碩

1.遼寧工程技術大學 營銷管理學院，遼寧 葫蘆島 125105

2.國網沈陽供電公司，沈陽 110000

隨著經濟的飛速發展和物流產業的不斷擴大，我國對高速公路的需求日益增加。公路運輸量是反映各個國家與地區間運輸能力和經濟實力的重要指標[1]，目前，我國高速公路網絡呈現出結構復雜、路徑多、站點廣的特點，若交通網絡產生故障無法通行，將造成一定的社會影響和經濟損失。

在交通網絡中，如果關鍵路徑出現故障，很容易導致整個網絡的癱瘓，造成惡劣的影響與損失。提升公路網絡的運行可靠性和運輸服務能力，已成為交通運輸網絡結構調整和改造的必然要求[2]。公路網中的關鍵路徑對確保整個公路網的可靠運行至關重要，對關鍵路徑的保護和監測能夠提高整個網絡的可靠性，部分早期建設公路不能滿足目前生活生產的需求，通過關鍵路徑的識別可以為公路網的擴建和重點維護提供參考建議，因此對關鍵路徑進行合理有效的辨識對交通運輸領域具有重要的研究價值。

現有的交通網絡關鍵環節評估方法主要是基于交通拓撲結構和網絡抗毀性等指標進行評估?；谕負浣Y構的分析方法主要采用復雜網絡理論識別網絡中的關鍵環節。馮芬玲等[3]通過多項指標對高速公路的網絡構建和運行現狀進行研究，識別出關鍵節點并對失效后的變化作出判別，對于高速公路的安全運行和發展提供了參考。薛鋒等[4]采用復雜網絡理論對成都市地鐵拓撲網絡的特性進行分析，構建節點重要度評價指標體系并應用TOPSIS 綜合評價方法對其進行排序，從而完成關鍵節點的識別。諶微微等[5]運用復雜網絡理論對軌道交通網絡的線網拓撲結構和節點重要度進行研究，建立基于二階張量的軌道交通網絡拓撲模型，并通過構建分析指標對模型中各網絡節點的重要度進行評估，以重慶市為例識別出4個關鍵站點。張喜平等[6]基于目標節點與鄰接節點及周圍其他節點間的關聯性，定義路段節點的引力場，動態反映關鍵路徑上路段節點的擁堵程度，從場論的角度提出了一種適用于復雜網絡路段關鍵性評估方法，提高了評估的準確性和精度。趙建東等[7]將各路段的車輛數據和地圖進行匹配，并與線路介數等拓撲指標結合，辨識系統中的關鍵路段。

抗毀性指標反映了網絡損毀后的工作性能，徐青剛等[8]提出了一種基于級聯失效對加權鐵路網的抗毀性研究，考慮了客流重分配時客流會考慮站點的鄰接站點的剩余容量和該站點與鄰接站點的連接權值。殷勇等[9]構建了鐵路運輸網絡，確立了網絡抗毀性模型指標，通過隨機攻擊和蓄意攻擊模擬路段和節點失效提出了鐵路網絡的抗毀性分析流程，以成都鐵路局普速鐵路為例進行了網絡抗毀性的分析，識別出重要路段與重要節點。王延慶[10]建立了一種復雜負載網絡接連失效模型，定義了節點的正常、過載、失效運行狀態，通過改變各節點的權值來模擬拓撲結構的變化，構造了基于“接連失效”的重要節點識別模型。張建旭等[11]通過分析路段失效時局部路網交通流的變化特性，進行路段薄弱性評估并辨識路網中的關鍵路徑，并以重慶市路網為例進行關鍵路段識別。隨著交通網絡規模的擴大和運輸量的不斷上升，傳統的基于拓撲結構的分析方法無法反映交通網絡的流量特性，而基于模擬故障的抗毀性分析方法僅考慮部分路徑的運輸情況，難以分析整個系統的流量特性，故研究一種能夠充分考慮整個交通網絡流量特性的關鍵路徑辨識方法具有重要研究價值。

隨機矩陣理論是一種用于高維數據統計特性分析的大數據技術，能夠從數據驅動的角度對復雜系統的運行特性進行分析，是用于大數據分析的良好統計學手段。目前，隨機矩陣理論已運用于通信[12]、電力[13]以及金融[14]等諸多領域。

本文首次將隨機矩陣理論引入到交通運輸領域，首先通過模擬各路徑發生故障后整個交通網絡的運輸量變化情況，生成該交通網絡的運輸量數據矩陣。在此基礎上，采用隨機矩陣理論中的單環定律和M-P定律提取運輸量數據矩陣中的統計特性，定義關鍵路徑評估指數，根據各路徑發生故障后數據矩陣的譜偏移度，實現對路徑異常影響程度的量化評估，從而辨識系統中的關鍵路徑。最后通過在遼寧省主要高速公路網絡中進行算例分析，驗證了本文所提方法的有效性和準確性。

1 隨機矩陣理論基本定理

隨機矩陣理論是一種用于復雜系統運行特性分析的大數據技術，其采用統計學定理分析系統的譜分布特性，以反映系統的運行特性和可能存在的風險。

經驗譜分布是指實際數據的譜分布情況，極限譜分布是指滿足某種統計學規律的譜分布情況，二者是隨機矩陣理論的重要概念，一般情況下極限譜是固有的函數，而經驗譜則隨矩陣中元素統計規律的變化而變化，當矩陣中元素滿足相應分布特性時，經驗譜特征值分布收斂于極限譜，經典的極限譜函數包括單環定律和M-P定律等。

1.1 單環定律

當N，T趨近于無窮且c=N/T∈(0,1]時，經過標準化處理后，Z′的經驗譜將分布于一個圓環當中，其極限譜分布函數如式（1）所示：

單環定律的示意圖如圖1所示。

1.2 Marchenko-Pastur定律

M-P 定律用于分析高維協方差矩陣對應的特征值譜的分布特性。對于矩陣，其中各元素均符合獨立同分布的條件，且期望μ(l′)=0，方差σ2(l′)小于正無窮。當N和T趨于無窮且c=N/T∈(0,1]時，矩陣L′對應的協方差矩陣的構建過程如式（2）所示：

當系統處于正常運行狀態時，協方差矩陣S的經驗譜收斂于M-P 定律的極限譜，其極限譜分布函數如式（3）所示：

M-P定律的示意圖如圖2所示。

1.3 線性特征值譜

由于矩陣的特征值具有不確定性，故采用線性特征值統計量（linear eigenvalue statistic，LES）表述數據矩陣特征值的分布規律，以矩陣L為例，它的線性特征值統計量可表示為：

其中，λi(i=1,2,…,n)為L的特征值，φ(·)為相應的測試函數。

平均譜半徑（mean spectral radius，MSR）是用來描述特征值分布情況的線性特征值統計量，其計算公式如式（5）所示：

其中，kMSR為平均譜半徑；λi為L的第i個特征值。kMSR表達了系統數據矩陣特征值分布情況，進而反映了物理系統的運行狀態。

M-P 定律指出對于協方差矩陣中，其最大特征值（maximum eigenvalue，ME）對系統的異常變化最為敏感，故采用其與M-P定律極限譜上限的差值來表示協方差矩陣的譜分布特性，其計算公式如式（6）所示：

其中，kMED為協方差矩陣的最大特征值偏移度；kME為協方差矩陣的最大特征值；為M-P定律對應的極限譜分布上限。

2 關鍵路徑辨識方法

2.1 辨識思路

本文主要研究公路交通網絡中起到重要作用的關鍵路徑，各運輸路徑的重要性取決于該路徑的運輸量和其在拓撲結構中的位置。

交通路徑關鍵性是指路徑產生堵塞或異常后對整個交通網絡所造成的影響，交通網絡中的關鍵路徑發生堵塞后會導致整個交通網絡的運輸情況發生大幅變化，從數據驅動的角度進行分析，路徑越為關鍵，其發生堵塞或異常時，各路徑運輸量變化幅度越大，該路徑與整個交通網絡間的數據相關性越強。

隨機矩陣譜偏移度指標能夠有效的反映高維數據的統計特性[15]，可用于分析數據相關性的大小[16]，進而映射為交通網絡所受影響程度的大小。本文采用基于單環定律和M-P 定律的譜偏移度及其統計特性定義關鍵路徑評估指標，其示意圖如圖3所示。

圖3 關鍵路徑評估示意圖Fig.3 Diagram of key links evaluation

2.2 交通運輸量數據模型構建與處理

設某交通網絡由N條路徑構成，選取各路徑的交通量作為參考變量，則數據模型中共有N個參考變量。設該交通網絡各路徑在ti時段的路徑交通量序列如式（7）所示：

其中，xm(ti)為路徑m的交通運輸量在時段ti的采樣數值。

由上節內容可知，當交通網絡中某條路徑發生異常時，各路徑的運輸量都將發生改變，由于多條路徑同時產生異常的概率極低，故本文只考慮單條路徑發生異常。此外，由于路徑發生異常是小概率事件，故通過制定路徑異常時的交通網絡運輸量變化規則來模擬路徑異常后各路徑的運輸量，具體規則如下：

（1）當某一條路徑發生異常時，該路徑的運輸能力將受到影響，導致部分原本計劃從該路徑通過的車輛重新進行路線規劃，從而使得整個交通網絡的實時運輸量發生突變。設異常路徑正常運行時的運輸量為x，當路徑發生異常后其運輸量降為αx，其余(1-α)x運輸量為轉移運輸量，需重新進行路徑規劃，式中α為比例系數，其大小取決于異常的嚴重程度。

（2）對路徑異常產生的轉移運輸量重新進行路徑規劃。根據車輛的起始地，將起始地相同的車輛歸于同一類別，選擇各類別在除去異常路徑的交通網絡中的距離最短路徑為該類型在此異常狀態下對應的新路徑。

（3）根據新的路徑規劃得到交通網絡發生異常后各路徑的運輸量。

（4）在本文研究中默認車輛僅在高速公路網絡中通行，且當與頂點相連的路徑發生異常時，認為路徑兩側的車輛滯留。

設交通量測量的時間段總數為T，則由各時間段的交通運輸量所構建的數據源矩陣如式（8）所示：

在數據源XU中，采用滑動時間窗口進行分析，選取N×TW的分離窗生成相應數據矩陣：

對該矩陣進行標準化處理，得到標準非Hermitian矩陣X′，如式（10）所示：

2.3 關鍵路徑辨識指標

2.3.1 基于單環定律的識別指標

單環定律用于分析經過標準化處理的矩陣特征值的分布情況。由單環定理可知，當交通網絡正常運行時，路徑運輸量矩陣的特征值將收斂于一個圓環內；當路徑出現異常時，交通網絡的運輸量發生突變，矩陣的特征值脫離圓環，單環定律指出系統中出現的異常越為嚴重，矩陣特征值向圓心聚攏的幅度越大。

MSR 能夠反映單環定律中特征值的聚集程度，當交通網絡正常運行時，MSR 在穩定值附近隨機波動[16]，當交通網絡的路徑產生異常時，MSR降低，當交通網絡重新恢復到正常運行狀態時，MSR 重新恢復至穩定值附近，故采用異常持續時間內MSR 的變化幅度代表該路徑發生異常時對交通網絡運輸情況的影響程度，將其定義為指數f1，計算公式如式（11）所示：

其中，kMSR(t)為t時刻的平均譜半徑；為平均譜半徑的穩定值；t1為異常發生時間；t2為異常清除時間。指數f1反映了異常發生后，對整個交通網絡所造成影響的大小。

2.3.2 基于M-P定律的故障破壞能力指數

M-P 定律用于分析協方差矩陣的特征值分布情況（以A矩陣為例，其協方差矩陣為），表示系統整體的數據波動。由M-P定律可知，當交通網絡正常運行時，路徑運輸量矩陣的協方差矩陣特征值將收斂于極限譜；當交通網絡出現異常時，協方差矩陣的最大特征值發生偏移，異常越嚴重，協方差矩陣最大特征值偏移程度越大。故采用協方差矩陣最大特征值偏移度在異常持續時間內的積分作為評價指數f2，其計算公式如式（12）所示：

其中，kMED(t)為協方差矩陣最大特征值偏移度。指數f2通過M-P 定律評估異常發生后對整個交通運輸網絡所造成的影響，f2越大，對運輸網絡的影響越大。

為了綜合描述路徑異常所造成的影響，本文定義關鍵路徑評估指數Fd，其定義式如式（13）所示，Fd越大表示該路徑與交通網絡運輸量間的關聯性越大，即異常后對交通網絡的影響越大。

該方法從數據驅動的角度進行關鍵路徑辨識，既可以通過實時數據進行交通網絡異常程度評估，也可通過模擬數據對各個路徑的關鍵性進行評估。具體評估流程如下：

（1）采集路網中各路徑的運輸量數據構建基礎數據庫，采用2.2 節中的方法分別模擬路網中各路徑發生異常前后一段時間內的運輸量數據，構建關鍵路徑辨識數據庫。

（2）對運輸量數據進行預處理，并生成用于關鍵路徑評估的數據矩陣，作為隨機矩陣理論分析的數據源。

（3）當路徑出現異常時，整個路網中各路徑的運輸量數據均發生改變，分別采用隨機矩陣理論中的單環定律和M-P 定律對各路徑發生異常時數據評估矩陣的變化特性進行分析，并計算各路徑所對應的關鍵路徑評估指數，對路網的影響越大，運輸量數據波動越劇烈，評估指數越大。

（4）對各路徑的關鍵路徑評估指數進行比較，指數越大，說明該路徑發生異常時對整個路網的影響越嚴重，其在交通網絡中越重要。

3 算例驗證

3.1 遼寧省高速網絡

以2018年某日遼寧省高速網絡主要路徑的實際交通運輸數據作為原始數據庫，數據來源于高速公路運輸量統計平臺數據庫，并采用2.2 節中方法對原始數據庫進行處理，模擬不同路徑發生異常后該高速公路網絡的運輸量數據矩陣，以進行算例驗證。該網絡中共有主要路徑46 條，其結構圖如圖4 所示，各主要路徑在該日的交通流量數據見表1。設交通流量的測量時間段為5 min，時間窗口的寬度為60，則可獲得46×60維交通網絡運輸量數據矩陣，并在運輸量數據矩陣中加入高斯白噪聲矩陣模擬高速網絡實際運輸量數據。

表1 遼寧省主要高速路徑日運輸量Table 1 Daily traffic volume of major high-speed lines in Liaoning Province

圖4 遼寧省高速公路拓撲圖Fig.4 Liaoning province expressway topology map

3.1.1 路徑異常識別

設置路徑凌海—阜新在10時45分因車禍導致該路徑無法通行，在11時15分事故被徹底清除，并設置如下兩種工況。工況1：由于事故較輕，仍有少量車道可以通行，設α=0.5，事故路徑一半的車流繼續在原路徑行駛，一半的車流選擇次優路徑。工況2：由于事故較為嚴重，該路徑無法通行，設α=0，所有經過該路徑的車輛重新選擇次優路徑。兩種工況下，事故發生前后部分路徑的交通流量情況如圖5所示。

圖5 交通流量示意圖Fig.5 Diagram of traffic flow

路徑穩定運行和兩種異常工況下的單環定律特征值分布圖如圖6所示。

圖6 不同工況下單環定律示意圖Fig.6 Ring law diagram of different condition

從圖6中可以看出當路徑正常運行時，特征值均勻分布于圓環內，MSR位于內環和外環之間，當路徑出現異常時，特征值向圓心靠攏，且相較于工況1，工況2 由于路徑無法通車，異常更為嚴重，特征值向圓心靠攏的幅度更大，與實際情況相符，進一步說明了單環定律能夠用于交通網絡異常的識別與評估。兩種工況下對應的MSR曲線如圖7所示。

圖7 不同工況下MSRFig.7 MSR of different condition

從圖7中可以看出工況1和工況2路徑對應的MSR曲線在10 時45 分迅速下降識別出路徑出現異常，其中工況1的MSR曲線降至0.57左右，相較于工況1，工況2的MSR曲線降至0.45左右，變化幅度更大，與實際情況相符，從單環定律的角度實現了事故嚴重程度的量化評估。

路徑穩定運行時和兩種異常工況下的M-P 定律示意圖如圖8所示，其中工況0表示路徑穩定運行。

圖8 不同工況下M-P定律示意圖Fig.8 M-P law diagram of different condition

從圖8中可以看出當路徑正常運行時，特征值收斂于極限譜，最大特征值無明顯偏移，當路徑出現異常時，最大特征值發生偏移，其中工況1 的最大特征值為17，相較于工況1，由于工況2異常更為嚴重，其最大特征值為23，偏離幅度更大，與實際情況相符，說明可采用M-P定律可對路徑異常影響程度進行評估。兩種工況下對應的MED曲線如圖9所示。

圖9 不同工況下MEDFig.9 MED of different condition

從圖9中可以看出兩種工況下，各路徑運輸量對應的MED 曲線在10 時45 分附近迅速上升識別出路徑出現異常，且工況2 的最大特征值偏移幅度更大，與實際情況相符，實現了基于M-P定律分析結果的事故嚴重程度量化評估，從而進行關鍵路徑識別。

3.1.2 關鍵路徑辨識結果

以遼寧省高速網絡為例，分別模擬各路徑在10 時45分至11時15分發生事故，導致路徑無法通行，比例系數α=0，并生成相應的關鍵路徑評估數據矩陣。采用單環定律和M-P 定律進行綜合分析，得到各路徑對應的關鍵路徑評估指標，其中排行前十的辨識結果如表2所示。

表2 關鍵路徑辨識結果Table 2 Result of key links evaluation

從表2 中關鍵路徑辨識結果和表1 可知，本文識別出的10條關鍵路徑的日運輸量之和為330 542輛，占整個網絡46 條路徑日運輸量總和的63.79%，各關鍵路徑日運輸量的均值為33 054輛，是整個網絡各路徑日運輸量均值的3 倍，其中路徑10-11 關鍵路徑評估指標為5.46，MSR為0.28，ME為34.28，是該網絡中最關鍵的路徑，該路徑的日運輸量為52 850 輛，遠高于網絡中其他路徑，若該路徑產生異常，將導致該交通網絡中將近10%的車輛受到影響被迫調整路徑規劃，造成嚴重后果。

本文所提方法識別出的關鍵路徑主要為京哈高速和沈大高速中的路徑，其中京哈高速是連接東北地區和華北地區的主要交通路徑，而沈大高速直接連接東北兩大核心城市沈陽和大連，可以看出上述關鍵路徑在遼寧省內的交通運輸中起著至關重要的作用，進一步驗證了本文所提方法的有效性。

將本文方法的關鍵路徑辨識結果和其他方法進行比較，結果如表3所示。

表3 關鍵路徑辨識結果對比Table 3 Comparision of key links evaluation

從表3 中可以看出本文方法辨識出的關鍵路徑與文獻[7]和文獻[11]中所提方法的辨識結果大體上一致，雖不完全相同，主要是由于不同方法的側重點不同所導致，進一步說明了本文方法的辨識結果符合實際工況。而文獻[9]只考慮了各路徑在拓撲結構中的重要性，并未考慮各路徑的實際運輸量，辨識結果多為交通網絡中的拓撲中心[17]，如遼寧省高速路徑中的沈陽—南雜木和阜新—彰武，上述兩條路徑的交通運輸量不足萬家—錦州段的十分之一，對整個高速公路網的影響較小，不可替代性較弱。因此相較于傳統的基于拓撲結構的分析方法，本文所提方法從數據驅動的角度進行分析，更能反映交通網絡的實際運輸情況。在實際運行中，可通過對關鍵路徑進行擴建以及重點的監控和管理，以降低路徑事故所造成的影響，增強交通網絡對意外事故的抵抗能力。

3.2 城市路網案例

以2022年某日遼寧省某地區部分城市路網交通量數據作為原始數據，數據來源于交通局數據庫。該城市路網中共有路徑92 條，其結構圖如圖10 所示。其中節點6和節點33附近有大型商場，節點14、節點37和節點27 附近有市重點醫院，路徑7-12 間有多所學校，節點4位于火車站附近。

圖10 城市路網拓撲圖Fig.10 Urban road network topology map

采用與3.1 節相同的方法進行關鍵路徑辨識，辨識結果如表4所示。

表4 城市路網關鍵路徑辨識結果Table 4 Result of urban road network key links evaluation

從表4中可以得出，路徑6-33為該城市路網中影響最大的關鍵路徑，其評估指標為5.13，MSR 為0.29，ME為33.76，是該網絡中最關鍵的路徑，其日運輸量約為該網絡中所有路徑平均運輸量的3.7 倍，在該城市路網的辨識結果中路徑6-27、13-33、13-32和路徑6-33類似，位于城市路網的拓撲中心且靠近大型商場交通流量大；路徑7-12的評估指標為4.56，MSR為0.34，ME為30.68，其日運輸量約為該網絡中所有路徑平均運輸量的3.1 倍，路徑26-27、路徑14-37 和路徑7-12 類似，分別靠近學校和醫院交通流量較大，同時3 條路徑為區域拓撲中心；路徑4-5 的評估指標為3.98，MSR 為0.36，ME 為27.42，其日運輸量約為該網絡中所有路徑平均運輸量的2.6倍，路徑3-4 路徑4-5 類似，靠近火車站和汽車站，交通流量大；路徑19-50 是郊區進入市區的主要路徑且交通流量較大。

綜上可知，本文所提出的關鍵路徑辨識方法除可運用于高速網絡外，同樣可準確運用于城區路網中關鍵路徑的辨識，具有普適性。

4 結語

本文從數據驅動的角度出發，提出了一種基于隨機矩陣理論的交通網絡關鍵路徑辨識方法。針對交通網絡出現事故時各路徑運輸量數據統計特性的變化情況，實現了各路徑重要程度的量化評估。通過算例結果，得到如下結論：

（1）所提方法僅需通過數據便可對交通網絡的運行狀態進行評估，具有普適性，為數據驅動技術在交通運輸領域的應用提供了參考。

（2）采用隨機矩陣理論為理論支撐，基于事故對交通網絡運行的影響搭建了交通網絡關鍵路徑評估模型，并提出了關鍵路徑評估指數及其計算方法，實現對交通事故影響程度的量化評估。

（3）基于關鍵路徑評估指數，識別出交通網絡中的關鍵路徑，辨識結果顯示關鍵路徑為交通網絡中拓撲結構重要且運輸量較大的路徑，對交通網絡的擴建規劃和運行監控具有重要的參考價值。

本文采用隨機矩陣理論進行交通網絡關鍵路徑辨識，對于交通網絡中關鍵節點的辨識仍有待進一步研究，此外該方法同樣可運用于交通網絡的實時異常定位等領域。