基于分層法的石墨烯增強(qiáng)功能梯度Timoshenko梁動(dòng)力特性有限元分析

黃立新,周小云,滕靚媚

(1.廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院,廣西 南寧,530004;2.廣西大學(xué)工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣西 南寧,530004)

新型納米材料石墨烯具有優(yōu)異的力學(xué)性能,其理論拉伸強(qiáng)度和楊氏模量分別高達(dá)130 GPa、1 TPa[1],是Q235鋼相應(yīng)值的300倍和5倍,故而常用作納米復(fù)合材料的增強(qiáng)體。段笑[2]針對(duì)碳纖維表面的惰性、光滑、非極性且與樹(shù)脂黏合度差等問(wèn)題,向其中引入了石墨烯。研究結(jié)果表明,石墨烯的加入可以增強(qiáng)復(fù)合材料的導(dǎo)電性、抗壓性。并且,當(dāng)石墨烯含量為0.2%時(shí),其對(duì)復(fù)合材料剪切性能、彎曲強(qiáng)度、沖擊韌性的增強(qiáng)作用最佳。郭準(zhǔn)等[3]的研究結(jié)果表明,將聚甲基丙烯酸甲酯與石墨烯復(fù)合所得材料的性能較聚甲基丙烯酸甲酯有明顯改善。當(dāng)加入的石墨烯質(zhì)量含量為1.5%時(shí),聚甲基丙烯酸甲酯/石墨烯復(fù)合材料斷口呈現(xiàn)出典型的韌性斷裂特征。Parashar 等[4]利用代表性體積元方法研究了石墨烯納米復(fù)合材料的屈曲現(xiàn)象,將石墨烯在原子尺度上建模并把聚合物作為一個(gè)連續(xù)體。與純聚合物相比,石墨烯增強(qiáng)聚合物的屈曲強(qiáng)度顯著提高。在石墨烯質(zhì)量含量?jī)H為6%的情況下,石墨烯/聚合物納米復(fù)合材料的屈曲強(qiáng)度較純聚合物相應(yīng)值提高了26%。

功能梯度材料作為一種新型的非均質(zhì)復(fù)合材料,其成分和性能在空間上連續(xù)變化,從而能更好地適應(yīng)不同的環(huán)境及使用要求[5]。Yang等[6]通過(guò)添加少量石墨烯片(graphene platelets,GPLs ) 得到功能梯度納米復(fù)合梁。相關(guān)研究結(jié)果表明,GPLs對(duì)納米復(fù)合材料梁的屈曲和后屈曲具有顯著增強(qiáng)作用。Zhao等[7]研究了GPLs 增強(qiáng)功能梯度多孔拱在靜力和徑向均布?jí)毫餐饔孟碌膭?dòng)力不穩(wěn)定性。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明,加入少量GPLs可以有效提升功能梯度多孔拱的穩(wěn)定性。Feng等[8]研究了石墨烯納米片沿厚度方向非均勻分布的功能梯度聚合物復(fù)合梁的非線性自由振動(dòng)。結(jié)果表明,在聚合物基體中加入少量的GPLs作為增強(qiáng)劑,可以顯著提高梁的固有頻率。Sahmani等[9]研究了軸向加載多層功能梯度石墨烯片增強(qiáng)復(fù)合材料(graphene platelet-reinforced composite,GPLRC)納米梁在預(yù)屈曲和后屈曲區(qū)域的非線性振動(dòng)。結(jié)果表明,在預(yù)屈曲、屈曲或后屈曲狀態(tài)下,GPLRC納米束的非線性頻率均隨GPLs質(zhì)量分?jǐn)?shù)的增加而增大。此外,黃干云等[10]通過(guò)將材料劃分為若干層,針對(duì)功能梯度材料的斷裂力學(xué)問(wèn)題開(kāi)展研究。本課題組[11]借助分層模型,對(duì)功能梯度材料的進(jìn)行了有限元分析。在已有研究的基礎(chǔ)上,本文擬采用分層法并結(jié)合有限元分析來(lái)考察GPLs增強(qiáng)功能梯度Timoshenko梁的動(dòng)力特性。通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證有限元軟件ABAQUS建模的準(zhǔn)確性,分析分層數(shù)與單元尺寸比例的合理性,著重探討GPLs的分布形式、質(zhì)量含量、幾何形狀和尺寸以及邊界條件對(duì)Timoshenko梁自由振動(dòng)的影響。

1 石墨烯增強(qiáng)功能梯度材料模型及其性能參數(shù)

基于分層法針對(duì)石墨烯增強(qiáng)功能梯度Euler梁進(jìn)行有限元靜力分析,導(dǎo)出有效材料性能的計(jì)算公式,詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)[12]。作為研究石墨烯增強(qiáng)功能梯度Timoshenko梁動(dòng)力問(wèn)題的基礎(chǔ),本文簡(jiǎn)要列出了一些概念和公式。

1.1 石墨烯增強(qiáng)功能梯度Timoshenko梁的結(jié)構(gòu)模型

圖1所示為石墨烯增強(qiáng)功能梯度Timoshenko梁的結(jié)構(gòu)模型。該梁的長(zhǎng)度為l、寬為b、高為h。GPLs分布在環(huán)氧樹(shù)脂材料中,其質(zhì)量含量WGPL隨著梁的高度發(fā)生連續(xù)變化。GPLs沿梁厚度方向z呈現(xiàn)線性、第一類拋物線、第二類拋物線及均布等4種分布形式[6,13-14]。其中,線性分布形式下的WGPL分布函數(shù)為:

(1)

圖1 石墨烯增強(qiáng)功能梯度Timoshenko梁

第一類拋物線形式下的WGPL分布函數(shù)為:

(2)

此時(shí),GPLs的質(zhì)量含量在頂面和底面處最大,在中間平面處最小。第二類拋物線形式下的WGPL分布函數(shù)為:

(3)

此時(shí),GPLs的質(zhì)量含量在頂面和底面處最小,在中間平面處最大。均布形式下的WGPL分布函數(shù)為:

(4)

表1 梯度指標(biāo)λi與之間的關(guān)系

1.2 石墨烯增強(qiáng)功能梯度Timoshenko梁的有效材料參數(shù)

在進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析之前,需要確定石墨烯功能梯度Timoshenko梁所需的材料參數(shù)。有效彈性模量計(jì)算基于修正后的Halpin-Tsai微觀力學(xué)模型[13],即

(5)

其中

(6)

(7)

(8)

(9)

式(6)～式(9)中,EM、EGPL分別表示功能梯度梁基體及石墨烯的楊氏模量;lGPL、bGPL、tGPL分別表示GPLs的平均長(zhǎng)度、平均寬度和平均厚度。根據(jù)混合率法則[6,15],石墨烯增強(qiáng)復(fù)合材料的泊松比vC和質(zhì)量密度ρC可分別表示為

vC=vGPLVGPL+vM(1-VGPL)

(10)

ρC=ρGPLVGPL+ρM(1-VGPL)

(11)

式(10)～式(11)中,VGPL為GPLs的體積含量,有

(12)

其中,ρGPL是GPLs的質(zhì)量密度,ρM是功能梯度梁基體的質(zhì)量密度。

對(duì)于GPLs呈線性分布(LDPC)的Timoshenko梁,將式(1)代入式(12)可以得到相應(yīng)的石墨烯體積含量為

(13)

將式(6)～式(9)及式(13)代入式(5)可得到石墨烯增強(qiáng)復(fù)合材料的楊氏模量,即

(14)

將式(13)分別代入式(10)和式(11)可以得到石墨烯增強(qiáng)復(fù)合材料的泊松比和質(zhì)量密度,即

(15)

(16)

同理可得,GPLs呈第一類拋物線分布(PDPRSC)的Timoshenko梁的楊氏模量、泊松比和密度表達(dá)式分別為

(17)

(18)

(19)

GPLs呈第二類拋物線分布(PDPRMC)的Timoshenko梁的楊氏模量、泊松比和密度表達(dá)式分別為

(20)

(21)

(22)

GPLs呈均勻分布(UDPC)的Timoshenko梁的楊氏模量、泊松比和密度表達(dá)式分別為

(23)

(24)

(25)

2 基于分層法的有限元模型

在不同GPLs分布形式下,石墨烯增強(qiáng)復(fù)合材料的楊氏模量、泊松比和質(zhì)量密度沿厚度方向呈現(xiàn)多種變化。故而對(duì)相關(guān)模型進(jìn)行有限元分析時(shí),需將石墨烯增強(qiáng)復(fù)合材料沿厚度方向劃分為若干層,不同層的楊氏模量、泊松比和質(zhì)量密度均不相同,但同層的楊氏模量和泊松比為常數(shù)。運(yùn)用有限單元對(duì)各層進(jìn)行網(wǎng)格劃分,即可建立有限元模型。將石墨烯增強(qiáng)功能梯度Timoshenko梁沿厚度方向分為n層,不同GPLs分布形式下每層復(fù)合材料的楊氏模量、泊松比及質(zhì)量密度取值見(jiàn)表2,并且采用4節(jié)點(diǎn)四邊形板單元(S4R)離散。

表2 各層的材料參數(shù)

忽略阻尼影響,系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程表示為

(26)

(27)

(28)

式(27)～式(28)中,單元質(zhì)量矩陣Me和單元?jiǎng)偠染仃嘖e分別為

(29)

(30)

其中,D表示彈性矩陣,有

(31)

式中,楊氏模量E(z)和泊松比v(z)是關(guān)于厚度方向坐標(biāo)z的函數(shù)。針對(duì)不同的GPLs分布形式,由表2獲得每層薄板的楊氏模量、泊松比和質(zhì)量密度,再代入式(31)即可進(jìn)行有限元計(jì)算。

式(26)自由振動(dòng)方程的解可以假設(shè)為以下形式

(32)

(33)

3 計(jì)算與討論

對(duì)于本文中的所有算例,除非另有說(shuō)明,否則均采用以下數(shù)值和條件:

基于分層法的有限元計(jì)算中,根據(jù)表2的公式計(jì)算每一層的楊氏模量、泊松比和質(zhì)量密度;模型長(zhǎng)度、寬度和高度分別為10個(gè)單位、2個(gè)單位和2個(gè)單位,跨高比l/h=5,GPL質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.25%,支座條件為兩邊簡(jiǎn)支;GPLs的lGPL=2.5 μm,bGPL=1.5 μm,tGPL=1.5 nm;GPLs和環(huán)氧樹(shù)脂材料參數(shù)vM=0.34,vGPL=0.186,ρM=1200 kg/m3,ρGPL=1060 kg/m3,EM=2.85 GPa,EGPL=1010 GPa;為了便于表述,基頻的無(wú)量綱化結(jié)果表達(dá)式[15]如下

(34)

3.1 分層數(shù)與單元尺寸比例對(duì)有限元計(jì)算結(jié)果的影響

進(jìn)行有限元分析時(shí),在滿足計(jì)算精度要求的同時(shí)也要保證計(jì)算效率。針對(duì)Timoshenko梁的自由振動(dòng)問(wèn)題,采用 4節(jié)點(diǎn)四邊形板單元(S4R)進(jìn)行有限元建模,同時(shí)考慮各種單元尺寸比例。通過(guò)與文獻(xiàn)[15]給出的自由振動(dòng)無(wú)量綱解析解進(jìn)行對(duì)比,分析分層數(shù)和單元尺寸比例的合理性。在有限元計(jì)算中,通過(guò)表2的公式計(jì)算每一層的楊氏模量和泊松比。

表3 分層數(shù)對(duì)于石墨烯功能梯度Timoshenko梁自由振動(dòng)頻率的影響

圖2 功能梯度梁有限元網(wǎng)格

表4 單元尺寸比例對(duì)于石墨烯功能梯度Timoshenko梁自振頻率的影響

3.2 石墨烯增強(qiáng)功能梯度Timoshenko梁自由振動(dòng)的有限元分析

表5 GPLs增強(qiáng)功能梯度Timoshenko梁的自由振動(dòng)頻率

3.3 不同GPLs含量對(duì)有限元計(jì)算結(jié)果的影響

算例選取相關(guān)參數(shù)如下:梁長(zhǎng)l為0.5 m,梁寬b為0.1 m,梁高h(yuǎn)為0.1 m;跨高比l/h為5;GPLs的總質(zhì)量含量范圍為0～1.5%,增量為0.25%;梁的支座條件如圖3所示,分別為兩端簡(jiǎn)支、兩端固定、懸臂和一端固定、一端簡(jiǎn)支。經(jīng)計(jì)算,得到石墨烯增強(qiáng)功能梯度Timoshenko梁自由振動(dòng)無(wú)量綱基頻隨GPLs質(zhì)量含量變化的曲線如圖4所示。其中當(dāng)GPLs的質(zhì)量含量為0時(shí),Timoshenko梁是純環(huán)氧樹(shù)脂梁。從圖4可以看出,加入少量的石墨烯可以大幅度提高石墨烯增強(qiáng)功能梯度Timoshenko梁的基頻,這是因?yàn)槭┠軌蜉^大地提高梁的剛度。當(dāng)GPLs總質(zhì)量含量不變時(shí),GPLs第一類拋物線分布的Timoshenko梁具有最大的基頻,而GPLs出現(xiàn)第二類拋物線分布時(shí),基頻最小。與其他三種分布形式相比,GPLs第一類拋物線分布形式的增強(qiáng)剛度效果最好。換句話說(shuō),在梁的上下表面分布更多的GPLs是增加梁剛度的最有效方法。

(a)簡(jiǎn)支梁 (b) 兩端固定梁

(a)簡(jiǎn)支梁 (b) 兩端固定梁

在多種GPLs的質(zhì)量含量、分布形式以及各種邊界條件下,采用有限元方法計(jì)算石墨烯增強(qiáng)功能梯度Timoshenko梁自由振動(dòng)的基頻,計(jì)算結(jié)果列于表6。從表6中可以看出,在其他條件不變的情況下,不同支座條件下的復(fù)合梁基頻也不同。基頻由大到小的順序?qū)?yīng)的支座條件分別為兩端固定、一端固定一端簡(jiǎn)支、兩端簡(jiǎn)支和懸臂,這種變化規(guī)律也已經(jīng)在圖4中得到展現(xiàn)。

表6 自由振動(dòng)頻率有限元計(jì)算結(jié)果

3.4 GPLs幾何形狀和尺寸對(duì)有限元計(jì)算結(jié)果的影響

如圖5所示,考慮三種幾何形狀和尺寸的GPLs,即長(zhǎng)度lGPL保持不變,長(zhǎng)寬比分別取lGPL/bGPL=1、lGPL/bGPL=3和lGPL/bGPL=5,然后研究長(zhǎng)寬比lGPL/bGPL和長(zhǎng)厚比lGPL/tGPL的變化對(duì)功能梯度Timoshenko梁自由振動(dòng)基頻的影響。

(a)lGPL/bGPL=1 (b)lGPL/bGPL=3

設(shè)定石墨烯質(zhì)量含量為1.5%,Timoshenko梁的支座條件為兩端簡(jiǎn)支,GPLs的分布形式包括線性分布、第一類拋物線分布、第二類拋物線分布和均布分布,石墨烯增強(qiáng)功能梯度Timoshenko梁自由振動(dòng)基頻的變化情況如圖6所示。從圖6中可以看出,隨著長(zhǎng)厚比lGPL/tGPL的增加,梁的基頻增加,并且隨著長(zhǎng)厚比lGPL/tGPL的不斷增加,梁基頻增加的速度趨緩。當(dāng)長(zhǎng)厚比lGPL/tGPL超過(guò)1000之后,梁基頻增加不明顯。在相同條件下,當(dāng)lGPL/tGPL=1時(shí),梁基頻最大,當(dāng)lGPL/tGPL=5時(shí),梁基頻最小。圖6中梁基頻的變化趨勢(shì)還表明,GPLs呈第一類拋物線分布的功能梯度Timoshenko梁具有最大的基頻。

(a)線性分布 (b) 第一類拋物線分布

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于有限元方法,針對(duì)石墨烯增強(qiáng)功能梯度Timoshenko梁進(jìn)行動(dòng)力特性分析。首先沿梁的厚度方向進(jìn)行分層,然后根據(jù)修正后Halpin-Tsai微觀力學(xué)模型和混合率法則分別得到每層的彈性模量、泊松比和質(zhì)量密度等材料參數(shù),最后每一層采用4節(jié)點(diǎn)四邊形板單元(S4R)劃分網(wǎng)格,通過(guò)計(jì)算得到Timoshenko梁的頻率。借助數(shù)值算例,分析了分層數(shù)和單元尺寸比例的合理性,研究GPLs分布形式、質(zhì)量含量、幾何形狀和尺寸以及梁邊界條件對(duì)Timoshenko梁自由振動(dòng)的影響。結(jié)果表明,加入少量的石墨烯能顯著提高Timoshenko梁自由振動(dòng)的頻率,這表明引入少量石墨烯就能有效地增加梁的剛度;石墨烯的分布形式對(duì)Timoshenko梁的動(dòng)力特性有明顯的影響。當(dāng)石墨烯呈第一類拋物線分布形式,即在梁的上下部位分布更多的石墨烯時(shí),梁的頻率增幅最大,這是增加Timoshenko梁剛度的最有效方法;石墨烯的幾何形狀和尺寸對(duì)Timoshenko梁的動(dòng)力特性有較大影響。具體地說(shuō),在給定總石墨烯質(zhì)量含量的情況下,Timoshenko梁的頻率隨著長(zhǎng)厚比lGPL/tGPL的增加而增大,當(dāng)長(zhǎng)厚比lGPL/tGPL超過(guò)1000之后,梁頻率變化不明顯。至于石墨烯幾何形狀的影響,與長(zhǎng)方形石墨烯相比,正方形石墨烯強(qiáng)化的Timoshenko梁具有更高的頻率。