無(wú)需先驗(yàn)測(cè)量誤差的定位節(jié)點(diǎn)選擇方法

湯建龍, 解佳龍, 陳弘凱

(西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院, 陜西 西安 710071)

0 引 言

無(wú)源定位技術(shù)因只接收外來(lái)的輻射信號(hào),本身不需要發(fā)射電磁信號(hào),具有良好的安全隱蔽性等優(yōu)點(diǎn),受到各國(guó)學(xué)者的廣泛關(guān)注[1]。無(wú)源定位技術(shù)已廣泛應(yīng)用于無(wú)人機(jī)、分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)、衛(wèi)星導(dǎo)航、外輻射源定位等領(lǐng)域[2-5]。無(wú)源雷達(dá)定位技術(shù)主要利用到達(dá)時(shí)間(time of arrival, TOA)、到達(dá)時(shí)差(time difference of arrival, TDOA)、到達(dá)頻差(frequency difference of arrival, FDOA)、到達(dá)角度(angle of arrival, AOA),以及聯(lián)合其中2～3種的定位體制對(duì)目標(biāo)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)[6-10]。

在多傳感器分布式定位中,對(duì)定位節(jié)點(diǎn)選擇可以提高能量利用率、減少信息冗余[11],如何根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)選擇最優(yōu)定位節(jié)點(diǎn)成為眾多學(xué)者所思考的問(wèn)題。通常情況下,節(jié)點(diǎn)選擇問(wèn)題可以描述為帶有約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題[12]。文獻(xiàn)[13]將Fisher信息的最大化問(wèn)題作為待求目標(biāo)函數(shù)選擇,利用窮盡搜索思想尋找最優(yōu)定位節(jié)點(diǎn)子集。然而,隨著站個(gè)數(shù)的增加,實(shí)際系統(tǒng)不可能應(yīng)用高復(fù)雜度的方法。在線性估計(jì)模型的框架下,文獻(xiàn)[14]對(duì)節(jié)點(diǎn)選擇問(wèn)題引入一組布爾量進(jìn)行選擇,同時(shí)將布爾約束條件進(jìn)行凸松弛,使用內(nèi)點(diǎn)法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解,得到一組接近全局最優(yōu)的次優(yōu)解。文獻(xiàn)[15]將節(jié)點(diǎn)選擇問(wèn)題使用稀疏促進(jìn)思想,對(duì)布爾向量的基數(shù)作為稀疏促進(jìn)懲罰項(xiàng)添加到代價(jià)函數(shù)中,實(shí)現(xiàn)了對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化的節(jié)點(diǎn)選擇。文獻(xiàn)[16]研究了在TDOA與TDOA-AOA聯(lián)合的無(wú)源定位系統(tǒng)中最優(yōu)定位節(jié)點(diǎn)組合方法,通過(guò)將傳統(tǒng)加權(quán)算法的協(xié)方差矩陣作為目標(biāo)參數(shù),通過(guò)凸優(yōu)化方法進(jìn)行求解。另外,貪婪算法在解決節(jié)點(diǎn)選擇問(wèn)題得到了廣泛應(yīng)用,在線性模型下,文獻(xiàn)[17]提出一種隨機(jī)貪婪算法的節(jié)點(diǎn)選擇優(yōu)化問(wèn)題,在每個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)求最小化估計(jì)均方根誤差(root mean square error, RMSE)。針對(duì)非線性估計(jì)模型,文獻(xiàn)[18]中將智能優(yōu)化算法引入到選星過(guò)程中,利用灰狼優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)了多全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)組合導(dǎo)航選星。然而上述文獻(xiàn)定位節(jié)點(diǎn)優(yōu)選算法均需要獲取先驗(yàn)測(cè)量誤差的方差。

文獻(xiàn)[19]與文獻(xiàn)[20]提出一種不需要先驗(yàn)測(cè)量誤差方差的目標(biāo)定位算法,本文將該思路引入到節(jié)點(diǎn)優(yōu)選問(wèn)題中。利用TDOA-FDOA測(cè)量信息建立定位方程后,以現(xiàn)有兩步加權(quán)最小二乘算法(two stage weighted least squares, TSWLS)目標(biāo)定位誤差的協(xié)方差作為目標(biāo)函數(shù),利用半定規(guī)劃(semi-definite programming, SDP)算法來(lái)消去目標(biāo)函數(shù)中包含的先驗(yàn)測(cè)量誤差項(xiàng)。

其次,引入一組布爾向量對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行篩選,將這組布爾向量進(jìn)行擴(kuò)展,以選擇節(jié)點(diǎn)數(shù)目作為約束條件,對(duì)目標(biāo)函數(shù)與約束條件利用半定松弛技術(shù)(semi-definite relaxation, SDR),將非凸約束條件凸松弛,最終利用求得的節(jié)點(diǎn)選擇結(jié)果對(duì)定位性能評(píng)估。仿真結(jié)果顯示,本文所提的節(jié)點(diǎn)選擇方法的定位精度與窮舉搜索法相近,并且算法實(shí)時(shí)性高。

1 定位場(chǎng)景

(1)

不失一般性地,將s1設(shè)置為參考節(jié)點(diǎn),第i個(gè)定位節(jié)點(diǎn)與參考節(jié)點(diǎn)之間的真實(shí)距離差和距離差變化率可以表示為

(2)

真實(shí)情況下,測(cè)量誤差由多種因素造成,考慮測(cè)量誤差時(shí)表示為

(3)

Qα=σ2Hα=blkdiag(Qt,Qf)

式中:σ2表示測(cè)量噪聲的方差;Hα=blkdiag(R,γR)為總測(cè)量誤差的結(jié)構(gòu)矩陣;R為主對(duì)角線為1,其他元素為0.5的結(jié)構(gòu)矩陣。本文假設(shè)Qf與Qt間噪聲方差存在一個(gè)已知常數(shù)關(guān)系γ。

2 節(jié)點(diǎn)優(yōu)選方法

2.1 目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建

在現(xiàn)有節(jié)點(diǎn)優(yōu)選的研究文獻(xiàn)中,目標(biāo)函數(shù)有不同的選擇,包括克拉美羅下界(Cramer-Rao low bound, CRLB)最小原則[21-22]、互信息量準(zhǔn)則[23]、估計(jì)誤差的協(xié)方差最小原則[24]等。其中估計(jì)誤差協(xié)方差最小原則作定位目標(biāo)函數(shù)有定位效果好、算法誤差小等特點(diǎn),本文選擇該原則為節(jié)點(diǎn)選擇目標(biāo)函數(shù)。

文獻(xiàn)[25]給出了TSWLS算法估計(jì)誤差協(xié)方差,具體如下所示:

(4)

式中:

(5)

式中:On×m表示n行m列的零矩陣;0n×1表示n維零向量。

將M個(gè)定位節(jié)點(diǎn)中接收功率最大的節(jié)點(diǎn)設(shè)為參考節(jié)點(diǎn)[26],在視距傳播環(huán)境下,目標(biāo)離觀測(cè)節(jié)點(diǎn)越近,觀測(cè)節(jié)點(diǎn)接收信號(hào)功率越大[24]。在參考節(jié)點(diǎn)確定后,觀察式(4)和式(5),算法定位精度僅與TSWLS算法第1步中估計(jì)誤差的協(xié)方差有關(guān),協(xié)方差如下:

(6)

其中:

(7)

(8)

至此,確定了以式(6)為節(jié)點(diǎn)選擇問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù),如何從剩余M-1個(gè)定位節(jié)點(diǎn)中選出最優(yōu)的k-1個(gè)節(jié)點(diǎn)成為下一步工作的核心。引入一個(gè)布爾向量來(lái)實(shí)現(xiàn)該目標(biāo),布爾向量[27]表示為

z=[z1,z2,…,zM-1]T,zi∈{0,1}M-1

(9)

根據(jù)測(cè)量得到的TDOA-FDOA信息,對(duì)式(9)中的布爾向量擴(kuò)展為l=[zT,zT]T。定義矩陣Φz(mì)為布爾向量l的衍生矩陣,用來(lái)篩選定位節(jié)點(diǎn)的信息,它與布爾向量l的關(guān)系表示為

(10)

在篩選節(jié)點(diǎn)后,定位目標(biāo)參數(shù)的協(xié)方差矩陣的逆:

(11)

利用文獻(xiàn)[28]中的A-optimality模型來(lái)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù),節(jié)點(diǎn)選擇優(yōu)化問(wèn)題可以表述為以下形式:

(12)

對(duì)式(12)中的布爾向量約束條件進(jìn)行凸松弛,并且引入輔助矩陣Y,其中Y=J-1,將上述問(wèn)題化為如下SDP問(wèn)題:

(13)

式中：符號(hào) _ 表示半正定。

2.2 不需要測(cè)量誤差的方法

構(gòu)建節(jié)點(diǎn)選擇目標(biāo)函數(shù)的關(guān)鍵是獲取節(jié)點(diǎn)選擇目標(biāo)函數(shù)式(6)中的加權(quán)矩陣W1,加權(quán)矩陣W1中包含有待求解目標(biāo)的參數(shù)信息與先驗(yàn)誤差信息。一般做法是先將加權(quán)矩陣W1設(shè)置為單位陣,然后利用最小二乘法求得初始值再迭代更新加權(quán)矩陣。本文對(duì)文獻(xiàn)[25]中組成的TDOA-FDOA偽線性方程利用SDP算法進(jìn)行目標(biāo)初始位置求解,這一方法不需要先驗(yàn)測(cè)量誤差。以下給出求解過(guò)程。

(14)

(15)

式中:

(16)

(17)

式中:

(18)

(19)

(20)

由于該優(yōu)化方法中對(duì)布爾向量進(jìn)行松弛,所得解為小數(shù)向量l=[zT,zT]T,而不是布爾向量,最直接的方法是選擇向量l的子向量z中最大k-1個(gè)元素為1,z中剩余元素為0構(gòu)成布爾向量用于節(jié)點(diǎn)篩選。

具體的節(jié)點(diǎn)優(yōu)選算法步驟如下。

步驟 1將M個(gè)定位節(jié)點(diǎn)按接收功率大小排序,設(shè)置接收功率最大的節(jié)點(diǎn)為參考節(jié)點(diǎn),從剩余M-1個(gè)定位節(jié)點(diǎn)中隨機(jī)選擇k-1個(gè)定位節(jié)點(diǎn),建立k節(jié)點(diǎn)的TDOA-FDOA偽線性方程。

步驟 4根據(jù)得到的目標(biāo)估計(jì)解利用式(6)建立M個(gè)定位節(jié)點(diǎn)的估計(jì)誤差協(xié)方差。

步驟 5將步驟4得到的估計(jì)誤差協(xié)方差作為節(jié)點(diǎn)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),將目標(biāo)函數(shù)中含先驗(yàn)測(cè)量誤差項(xiàng)的加權(quán)矩陣?yán)米钚?wèn)題等價(jià)思想替換為不含先驗(yàn)測(cè)量誤差的矩陣結(jié)構(gòu)。引入一組布爾向量z=[z1,z2,…,zM-1]T,zi∈{0,1}M-1,并將該布爾向量擴(kuò)展成l=[zT,zT]T,用來(lái)對(duì)誤差協(xié)方差中對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行篩選,構(gòu)建無(wú)需先驗(yàn)測(cè)量誤差的節(jié)點(diǎn)優(yōu)選方程,如式(20)所示。

步驟 6經(jīng)求解式(20)得到一組小數(shù)向量l,l的子向量z中最大k-1元素對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)確定最優(yōu)節(jié)點(diǎn)。

步驟 7將步驟6確定的最優(yōu)節(jié)點(diǎn)代入閉式解算法評(píng)估節(jié)點(diǎn)定位性能。

3 復(fù)雜度分析

表1給出了從25個(gè)定位節(jié)點(diǎn)選擇k個(gè)節(jié)點(diǎn)(k分別為4、6、8、10)情況下窮盡搜索算法與本文算法的運(yùn)行時(shí)間。從表1中可以看到,本文算法運(yùn)行時(shí)間與定位站選擇個(gè)數(shù)無(wú)關(guān),并且算法運(yùn)行時(shí)間短。

表1 算法運(yùn)行時(shí)間比較Table 1 Algorithm run time comparison s

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)設(shè)計(jì)了3種仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)1與實(shí)驗(yàn)2仿真研究了在25個(gè)定位節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)下,選擇不同參與定位站個(gè)數(shù),在隨測(cè)量誤差變化時(shí),不同節(jié)點(diǎn)選擇算法對(duì)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)性能對(duì)比。實(shí)驗(yàn)3研究了對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)持續(xù)觀測(cè)下,不同節(jié)點(diǎn)選擇結(jié)果對(duì)目標(biāo)的位置以及速度的估計(jì)性能比較。

對(duì)比方法包括最近距離法、窮盡搜索法以及隨機(jī)選擇法,采用估計(jì)RMSE對(duì)各算法的定位性能進(jìn)行衡量,其定義式為

(21)

4.1 實(shí)驗(yàn)1

考慮從25個(gè)定位節(jié)點(diǎn)中選擇k=6個(gè)節(jié)點(diǎn)參與定位,定位節(jié)點(diǎn)與目標(biāo)均隨機(jī)分布,其中定位節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)服從0均值,標(biāo)準(zhǔn)差為3 000 m的高斯分布,目標(biāo)位置坐標(biāo)服從0均值,標(biāo)準(zhǔn)差為1 000 m的高斯分布[30];定位節(jié)點(diǎn)速度與目標(biāo)速度均服從0均值,標(biāo)準(zhǔn)差為100 m/s的高斯分布。

圖1給出了當(dāng)測(cè)量誤差為-10 dB時(shí)不同節(jié)點(diǎn)選擇方法選擇出的節(jié)點(diǎn)序號(hào),從圖1中可以看到,窮盡搜索法選擇的定位節(jié)點(diǎn)是(1,4,9, 10,14,23),本文算法按照選擇權(quán)值從大到小選擇最大的k個(gè)節(jié)點(diǎn)也是(1,4,9,10,14,23)號(hào)節(jié)點(diǎn),所提算法選擇了與窮盡搜索法相同的定位節(jié)點(diǎn)。

圖1 k=6時(shí)不同算法選擇的定位節(jié)點(diǎn)序號(hào)Fig.1 Number of positioning nodes selected by different algorithms when k=6

圖2給出了測(cè)量噪聲強(qiáng)度從-10 dB到10 dB變化時(shí),不同節(jié)點(diǎn)選擇方法對(duì)定位時(shí)的估計(jì)性能影響。從圖2中可以看到,本文所提算法能夠達(dá)到窮盡搜索的定位精度,相比于隨機(jī)選擇法與最近距離法具有更優(yōu)的定位性能。隨機(jī)選擇節(jié)點(diǎn)因?yàn)檎镜倪x擇未考慮具體情況,使得在相同定位算法下定位效果出現(xiàn)定位性能不穩(wěn)定的情況。在測(cè)量誤差達(dá)到10 dB時(shí)本文算法的定位性能與窮盡搜索法定位效果相同,對(duì)目標(biāo)位置誤差優(yōu)于最近距離法1 m以上,對(duì)目標(biāo)速度誤差優(yōu)于最近距離法0.5 m/s以上。

圖2 不同測(cè)量噪聲條件下的6定位站RMSEFig.2 RMSE of six positioning stations under different measurement noise conditions

4.2 實(shí)驗(yàn)2

考慮從25個(gè)定位節(jié)點(diǎn)中選擇k=12個(gè)節(jié)點(diǎn)參與定位,定位節(jié)點(diǎn)參數(shù)與目標(biāo)參數(shù)同實(shí)驗(yàn)1設(shè)置,均為隨機(jī)產(chǎn)生的一組定位節(jié)點(diǎn)與待測(cè)目標(biāo)。

圖3給出了當(dāng)測(cè)量誤差為-10 dB時(shí)不同節(jié)點(diǎn)選擇方法選擇出的節(jié)點(diǎn)序號(hào),從圖3中可以看到,從25個(gè)定位節(jié)點(diǎn)選擇的12個(gè)節(jié)點(diǎn)結(jié)果下,本文算法與窮盡搜索法選擇的定位僅有1個(gè)選擇節(jié)點(diǎn)不同。從圖4的定位性能圖中可以看到,所提方法能夠達(dá)到窮盡搜索一樣的定位效果,并且本文所提算法不論是對(duì)目標(biāo)位置或速度的估計(jì)都要優(yōu)于最近距離法與隨機(jī)選擇法。從側(cè)面反應(yīng)了在不同測(cè)量噪聲下,本文算法的節(jié)點(diǎn)選擇結(jié)果與窮盡搜索法的節(jié)點(diǎn)選擇結(jié)果相似。

圖3 k=12時(shí)不同算法選擇的定位節(jié)點(diǎn)序號(hào)Fig.3 Number of positioning nodes selected by different algorithms when k=12

圖4 不同測(cè)量噪聲條件下的12定位站RMSEFig.4 RMSE of 12 positioning stations under different measurement noise conditions

實(shí)驗(yàn)1與實(shí)驗(yàn)2均為在某一時(shí)刻下,對(duì)目標(biāo)在不同測(cè)量誤差下的節(jié)點(diǎn)選擇定位性能比較,并且對(duì)于布站范圍與目標(biāo)設(shè)置區(qū)域有著局限性,即目標(biāo)均在定位節(jié)點(diǎn)范圍內(nèi),這點(diǎn)在實(shí)際應(yīng)用中有很強(qiáng)的局限性。因此本文設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)3場(chǎng)景來(lái)對(duì)本文算法做進(jìn)一步驗(yàn)證。

4.3 實(shí)驗(yàn)3

圖5 仿真場(chǎng)景分布圖Fig.5 Simulation scene distribution diagram

圖6給出了觀測(cè)時(shí)間內(nèi)不同定位節(jié)點(diǎn)算法的估計(jì)性能,從圖中可以看到隨著目標(biāo)由遠(yuǎn)到近移動(dòng),本文所提算法的定位性能十分接近窮舉法的定位性能。同時(shí),還可以看到最近距離法在目標(biāo)接近觀測(cè)站才有較好的定位性能,隨機(jī)法的定位性能表現(xiàn)不穩(wěn)定,通過(guò)該仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步說(shuō)明節(jié)點(diǎn)選擇的重要性以及本文所提方法的有效性。

圖6 不同觀測(cè)時(shí)間內(nèi)節(jié)點(diǎn)選擇算法估計(jì)性能對(duì)比Fig.6 Comparison of estimation performance of station selection algorithms at different observation times

5 結(jié) 論

本文在現(xiàn)有節(jié)點(diǎn)選擇研究的基礎(chǔ)上,提出一種新的不需要先驗(yàn)測(cè)量誤差的時(shí)頻差節(jié)點(diǎn)選擇方法。與現(xiàn)有方法相比,所提方法在不需要先驗(yàn)測(cè)量誤差量,并且在定位性能上非常接近窮盡搜索算法。同時(shí),由于考慮了目標(biāo)速度因素,在定位節(jié)點(diǎn)選擇上對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)能夠?qū)崿F(xiàn)更好的定位效果。相比于窮盡搜索算法,所提方法復(fù)雜度低、實(shí)時(shí)性好。仿真驗(yàn)證了在不同測(cè)試環(huán)境下所提方法的有效性。