基于灰色馬爾可夫的小樣本路面性能預測

王曉蘭

（甘肅公航旅路業有限公司，甘肅蘭州 730030）

0 引言

由于路面材料、交通負荷和環境等因素的影響，路面性能會隨著使用年限的增加不斷惡化，因此需要及時對路面進行維護和修復，以保證行車安全和舒適度。建立路面性能預測模型可以幫助道路管理者及時了解路面未來變化趨勢，并基于此作出決策，以降低道路資產損失。

目前，很多研究者采用了不同的預測方法對路面性能進行預測分析。王志祥[1]人基于層次變權法對各實測分項指標的權重進行分配，并建立了基于瀝青路面技術狀況指數的灰色GM（1,1）預測模型。但灰色預測沒有考慮系統的隨機性，一旦受到多種因素共同影響且內部因素難以劃定的時候，預測精度會降低。而馬爾可夫算法恰好可以彌補這種缺點。馬爾可夫算法能夠對未來狀態進行預測，且不受之前狀態的影響。商博明[2]等利用新陳代謝思想，不斷更新灰色預測初始數據列，建立灰色預測模型并用馬爾可夫算法進行了調整。研究證明，該方法確實能夠提高預測準確性，但不斷更新灰色預測模型步驟較為繁瑣，且模型會不斷遺忘舊數據的影響。針對同一條公路不同路段的路面性能預測，蔣瑋[3]等采用熵值賦權對各路段進行賦權，使得預測值更貼合實際情況。但目前的文獻中均采用了三年以上的數據量，對于只有三年歷史數據且路段較少的情況無法進行對比研究。

由于路面性能數據收集難度較大，目前小樣本數據的統計預測問題越來越普遍，且越發受到相關工作人員的重視[4]。因此，為了能夠對小樣本數據進行更合理的分析，文章基于灰色馬爾可夫方法，對我國某國省干線2019—2021 年的路面技術狀況指數PQI 數據建立預測模型，從而為路面管理者進行養護決策提供參考。

1 基于小樣本數據的預測模型基本原理

1.1 灰色預測模型GM(1,1)

灰色預測模型是一種對具有不確定性的系統進行預測的方法。通過識別系統因素發展趨勢的差異程度，處理原始數據以找到系統變化規律，以生成具有較強規律性的數據序列，然后建立相應的微分方程模型來預測事物的未來發展趨勢。其中最典型且最常用的模型是GM（1,1）模型。

1.2 馬爾可夫模型修正

馬爾可夫模型作為一種概率性預測模型，其典型特點是具有普遍性和無后效性。該模型的核心內容是概率轉移矩陣，其可通過定義有限路面性能狀態退化概率的轉移矩陣來描述路面性能。

1.3 建模過程

應用灰色預測GM（1,1）模型進行預測研究。先針對灰色預測求出預測值，再根據預測值與實際值之間的相對誤差合理劃分狀態區間，以此建立馬爾可夫狀態轉移矩陣，并對預測值進行修正。具體計算步驟如下：

第一，設初始數據列為X0：

式（1）中：n為數據個數。

第二，對X0進行累加計算處理，得到：

式（2）中：X1為累加后的數列，其中：

第三，設X1的緊鄰均值生成數據列Z1：

第四，微分方程設為：

式（6）中：a為發展關系數；b為灰色作用量。

式（7）中：Y為常數項向量。

第六，根據微分方程得到預測序列：

第七，根據以上公式得到序列預測值：

第八，將預測值進行累減，得到模型預測值：

第九，計算灰色預測模型的相對誤差ε：

第十，根據相對誤差劃分合理的狀態區間，記為En，(n=1,2,…,k)；

第十一，計算轉移概率pij，表示從狀態Ei轉移到Ej狀態的概率：

式（13）中：Nij表示狀態Ei轉移到狀態Ej的次數；Ni表示以Ei作為初始狀態出現的次數。

第十二，計算狀態之間轉移概率的轉移矩陣：

第十三，設初始狀態向量為P0，轉移m次之后的向量記為Pm，得到：

2 實例分析

以某國省干線部分路段2019—2021 年中的PQI 數據為例，分別以2019 年 的PQI 值、2020 年 的PQI 值 作為初始向量，利用提出的方法進行預測，將得到的2021 年PQI 值結果進行比較分析。

2.1 灰色預測模型GM（1,1）的建立

所選取路段路面厚度相同，交通量范圍相同，長度均為1000m，路面均為瀝青路面。由于不同路段的管養單位、路齡等條件均不同，為了使每條路段的預測結果更準確，針對不同的路段分別建立灰色預測模型，匯總結果如表1 所示。

表1 灰色預測結果

2.2 馬爾可夫誤差修正

根據計算得到的灰色預測值，利用式（12）計算2019—2021 年實際值與預測值之間的相對誤差。計算結果匯總如表1 所示。

根據相對誤差結果可知，相對誤差最小值為0.11%，最大值為21.83%，因此可將相對誤差劃分為三種狀態區間：E1[0，5%]；E2[5%，10%]；E3[10%，22%]，以此判斷每個路段每年的相對誤差分別處于哪個區間內。根據劃分狀態情況可知，以初始狀態為E1、E2、E3 進行轉移的情況分別有11、14、3 組。根據式（13）～式（14）計算狀態概率轉移矩陣。將2019 年的狀態設為初始狀態，初始向量設為（1，0，0）。利用式（15）計算2020 年（即轉移一次）的誤差向量及相對誤差，在計算相對誤差時，分別取每種狀態區間的中值進行計算，計算結果如表2 所示。

表2 誤差向量與相對誤差

得到相對誤差以后，依據式（16）對2020 年各個路段的灰色預測值進行調整。計算2021 年的修正預測值時，以2020 年作為初始狀態，依舊采取求得的矩陣P 進行計算，對其進行調整，調整后的結果如表3所示。

表3 馬爾可夫修正后的預測值以及誤差

同理，以2020 年作為初始狀態（記為轉移一次誤差），對2021 年PQI 的灰色預測值進行調整。根據馬爾可夫原理，以第一年狀態作為初始狀態，可以進行m 次轉移。因此，以2019 年的相對誤差狀態作為初始狀態（記為轉移二次誤差），對2021 年的PQI 進行調整，將得到的結果與轉移一次得到的結果進行對比，方差計算結果如表4 所示。結果表明，以2020 年作為初始狀態向量的結果比以2019 年作為初始狀態所得出的結果方差更小，計算精度更高。

表4 轉移一次與轉移二次誤差結果比較

2.3 灰色預測與灰色馬爾可夫預測結果比較

將灰色預測值與用馬爾可夫調整后的預測值進行對比分析，分別計算兩種方法求得的預測值與實際值之間的誤差。由表1、表4 結果可以看出，修正后的預測值相比于灰色預測，誤差均有不同程度的減少。但路段KS211 馬爾可夫調整后的誤差相比于灰色預測的誤差更大，原因是該路段的原始數據波動不大，三年的數據值存在較為明顯的線性關系，因此灰色預測值與實際值接近，誤差小于1。

3 結論

第一，針對只有三年數據量的小樣本數據來說，可以使用灰色馬爾可夫預測方法對路面技術狀況指數PQI 進行預測，得到的預測結果準確性較高。

第二，利用灰色預測對2019—2021 年的路面技術狀況指數PQI 進行預測，此后建立馬爾可夫轉移矩陣對預測值進行調整。結果表明，在數據量極少且線性關系不明顯的情況下，馬爾可夫調整后的預測值相比于灰色預測值的誤差更小，預測精度更高。

第三，以2020 年的PQI 值作為初始向量，預測2021 年PQI 值，計算得到的方差為0.25，以2019 年作為初始向量，預測得到2021 年PQI 值，計算得到的方差為0.57。由此可見，以2020 年的PQI 值作為初始向量即轉移一次計算得到的預測結果精度更高，方差更小。