猜想歸納方法在初中數學學習中的應用策略

王海珠

(民樂縣初級實驗中學,甘肅 張掖 734500)

猜想歸納法是在初中數學學習中常用的方法,它可以幫助學生從單個例子中得出普遍規律[1].通過猜想歸納法,學生可以從具體的實例中獲取信息,并推斷出潛在的數學規律,這樣,他們就能夠逐步地建立數學概念和知識.在數學學習中,掌握猜想歸納法是非常重要的,因為它可以培養學生的邏輯思維和分析能力,幫助他們更好地理解數學概念,提高解決問題的能力.本文旨在介紹如何在初中數學教學中有效地應用猜想歸納法,以便幫助學生掌握這一重要的數學思維工具.

1 數式規律中的猜想與歸納

數式規律的猜想歸納方法是數學學習中的重要思維方式.一般來講,數式規律的猜想和歸納分為3個步驟:觀察給定數字或運算式子的特點與規律;做出猜想,并通過若干個例子進行驗證;通過對現象的歸納總結,描述規律的特征或者寫出表達式.

通過觀察和猜想,學生可以主動探索數學規律,培養他們的邏輯思維和問題解決能力.通過多個例子進行驗證,并通過歸納總結,學生可以形成準確的規律描述,提高他們對數學概念的理解和運用能力.這種積極主動的學習方式,有助于學生自信地面對數學問題,并培養他們的數學興趣.

例1 觀察下面各式:

(x-1)(x+1)=x2-1;

(x-1)(x2+x+1)=x3-1;

(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1;

(x-1)(x4+x3+x2+x+1)=x5-1,…;

據此規律, 求 22 023+22 022+22021+…22+2+1 的個位數字是 ( ).

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

解析首先,觀察題目中的規律可知: (2-1)(22 023+22 022+22 021+…22+2+1)=22 024-1,接著,進行猜想,2n是由n個2相乘得到,因此,其個位數字可能有一定的規律,然后進行舉例驗證,得到:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,…,因此驗證得到其個位數字按照每4個進行1次循環.因為2 024÷4=506,所以22 024的個位數字是6,22 024-1的個位數字是5.

點評本題中,根據題目的設問,進行大膽猜想是解題的關鍵.按照3個步驟嚴格執行,可以大大提升解題正確率.由于22 024是一個極大的數字,因此一定有規律可循,所以在第2步的猜想中,常規步驟為先猜想后驗證,但若無思路,可先舉例再總結,也不失為一種巧妙的方式.可見在數學學習中,不能“眼高手低”,多動筆多嘗試才是正確的解題方式.

2 圖形變換中的猜想與歸納

圖形變換規律可以幫助學生培養觀察、思考和解決問題的能力.在圖形規律的學習過程中,學生需要通過觀察給定的圖形,發現其中的規律和特點;嘗試自己添加輔助線,通過不斷嘗試探索出規律;最終,學生需要用數學符號和語言來準確地闡述圖形規律,并通過實例來驗證.

圖形變換規律的學習可以培養學生的創新思維和問題解決能力.通過觀察和猜想,學生可以自主探索圖形規律,并提出自己的策略和想法,進一步提高他們的抽象思維能力.此外,圖形規律的學習也有利于學生了解和掌握各種數學概念和方法,為他們日后的學習打下堅實的基礎.

例2 如圖1所示,矩形ABCD的面積為20 cm2,對角線交于點O,以AB、AO為鄰邊作平行四邊形AOC1B,對角線交于點O1,以AB,AO1為鄰邊作平行四邊形AO1C2B……依此類推,則平行四邊形AO2 022C2 023B的面積為( ).

圖1 圖形變換規律

解析因為四邊形ABCD是矩形,所以AO=CO,BO=DO,DC∥AB,DC=AB,所以:

…………

點評本題的解題關鍵在于找到圖形每次“變換”后的規律.這道題的規律和特點較為明顯,即每次得到的平行四邊形,都是從上一個平行四邊形的“中心”引平行線,因此,在底邊長度不變的情況下,每次得到的平行四邊形面積都為上一個平行四邊形面積的一半.如直接觀察不易察覺,則可自行添加一個平行四邊形的輔助線進行規律的“體驗”.

3 周長面積中的猜想與歸納

在學習周長面積規律時,學生需要關注圖形的數量、形狀和組合方式等特征,進而發現并做出周長或面積相關規律的猜想.最終,通過歸納和總結,學生能夠得到周長或面積之間的關系,并編寫公式以便計算.周長面積規律的學習有助于學生理解圖形的屬性,通過觀察和實踐,學生能夠深入理解圖形周長或面積的規律,同時也能夠應用所學的知識進行問題解決和計算.

例3 如圖2所示,在△ABC中,點E是AB邊上的點,且AE:EB=2:3,點D是BC邊上的點,且BD:DC=1:2,AD與CE相交于點F,若四邊形BDFE的面積是16,則△ABC的面積為( ).

圖2 三角形內部分割

圖3 添加輔助線

解析連接FB, 如圖3所示:

點評本題以面積的規律為例,通過三角形“等高”時,面積比等于底邊長度比,得到面積的一般規律,進而將其轉化為代數式進行求解.該類猜想歸納與前述找規律類的猜想歸納有些差異,該類猜想歸納是圍繞“特定條件或者性質”進行的推理,并將推理所得的表達式進行求和或者變形.其中,推理是猜想,求和或變形是歸納,在數學學習中,該類猜想歸納的技巧需要掌握.

4 點的坐標規律中的猜想與歸納

在學習點的坐標規律時,學生需要觀察圖形上點的坐標變化規律,特別是注意橫縱坐標之間的關系,進而做出猜想并通過實例進行驗證.比如,移動圖形、增加點數量、改變圖形形狀等.最終,通過歸納和總結,學生能夠得到點的坐標規律,并編寫公式以便進行計算.點的坐標規律的學習有助于培養學生的觀察力.通過觀察和實踐,學生能夠發現和理解點在平面上的位置變化規律,并通過歸納總結建立起數學模型.掌握點的坐標規律,不僅對于幾何學和代數學的學習具有重要作用[2],還可以應用于實際問題的解決,如地理測量、航空航天等領域.

例4 如圖4所示,在平面直角坐標系中,四邊形ABCD是平行四邊形,A(-1,3)、B(1,1)、C(5,1).規定“把平行四邊形ABCD先沿x軸翻折,再向左平移1個單位”為一次變換.如此這樣,連續經過2 023次變換后,平行四邊形ABCD的頂點D2 023的坐標變為( ).

A.(-2 019,-3) B.(-2 019,3)

C.(-2 020,3) D.(-2 020,-3).

解析由于四邊形ABCD是平行四邊形,A(-1,3)、B(1,1)、C(5,1),所以D(3,3),把平行四邊形ABCD先沿x軸翻折,再向左平移1個單位后,得到D1(2,-3),觀察,發現規律:D0(3,3),D1(2,-3),D2(1,3),D3(0,-3),D4(-1,3),所以對于橫坐標,每次變換減1,對于縱坐標,奇數次變換為-3,偶數次變換為3,經過2 023次變換后,D2 023(-2 020,-3).

圖4 平行四邊形

點評本題考查翻折變換、點坐標的規律性.先利用平行四邊形的性質求出點D的坐標,再將前幾次變換后Di(i=1,2,3,…)點的坐標求出來,觀察規律即可求解.解題的關鍵是先求出D的坐標,再利用變換的規律求解,在求解的過程中,列舉實例依然是最佳的找規律的手段,由此可見,數學的學習過程并不是僅靠天賦,更多還是要依靠勤于動筆.