圓中圖形繁瑣多化繁為簡是條路

2024-01-11 02:04:12劉琦

數理化解題研究 2023年35期

劉琦

(昆明理工大學附屬中學,云南昆明 650031)

中考中對圓的考查大多都是以圓與直線形(線段、射線、直線、三角形、四邊形、多邊形稱為直線形)圖形組合成復雜圖形為背景,以運動為載體,集代數與幾何知識于一體,滲透分類討論、轉化化歸、數形結合、函數與方程等數學思想.常涉及垂徑定理、弦、弧,圓心角的關系、圓周角定理、切線性質與判定、切線長定理、勾股定理,相似三角形的判定和性質,特殊四邊形性質以及銳角三角函數定義與特殊角的三角函數值等相關知識.

下面結合中考真題,談談如何在圓的計算題與證明題中分析條件、化繁為簡、快速解題.

1 連半徑,證垂直

例1(2020年銅仁市中考題)如圖1,AB是⊙O的直徑,C為⊙O上一點,連接AC,CE⊥AB于點E,D是直徑AB延長線上一點,且∠BCE=∠BCD.

(1)求證:CD是⊙O的切線;

圖1 例1題圖圖2 分析附圖

分析(1)如圖2,此問屬于“連半徑,證垂直”,即連接OC,利用題設中的直角或垂直條件推導出半徑與直線垂直,得出∠OCD=90°即可,抓住△CBE與△ABC這對“共邊相似三角形”是關鍵.

(2)如圖2,設BC=k,AC=2k,抓住△DCB與△DAC這對“共邊相似三角形”,根據相似三角形的性質即可得到結論.

解(1)如圖2,連接OC.∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°.

∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°,

又∠ECB+∠ABC=∠ABC+∠A=90°,∴∠A=∠ECB.

∵∠BCE=∠BCD,∴∠A=∠BCD.

∵OC=OA,∴∠A=∠ACO,∴∠ACO=∠BCD,

∴∠ACO+∠BCO=∠BCO+∠BCD=90°,

∴∠DCO=90°,∴CD是⊙O的切線.

(2)∵∠A=∠BCE,

設BC=k,則AC=2k.

∵∠D=∠D,∠A=∠BCD,∴△ACD～△CBD,

2 陰影部分面積

例2 (2020年黔西南州中考題)如圖3,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,AB=2,D為AB的中點,以點D為圓心作圓心角為90°的扇形DEF,點C恰在弧EF上,則圖中陰影部分的面積為____.

分析將下方的陰影部分旋轉到最上方,轉化為計算規則圖形弓形的面積.

圖3 例2題圖圖4 旋轉、割補

解法2 如圖4,∵∠EDF=∠CDB=90°,∴∠EDC=∠FDB=90°-∠CDF,

∴扇形EDC與扇形FDB面積相等.

∵DN=DM,DB=DC,∴△DCM?△DBN,

∴陰影部分EMC與陰影部分FNB面積相等,

∴所求陰影部分面積為弓形CFB面積.

點評求陰影部分面積常有以下方法:①公式法:如果陰影部分是扇形、平行四邊形、圓等,直接用公式計算;②和差法:將不規則陰影部分轉化為規則圖形求面積的和差,有時需要作輔助線進行分割;③等積轉化法:將圖形平移、軸對稱、旋轉等轉化為公式法或和差法,注意利用平行線中的等底(同底)等高(同高)轉化;④容斥原理法:陰影部分是兩個基本圖形互相重疊得到的,“組合圖形面積”=“兩個基本圖形面積之和”-“重疊圖形面積”.