滲透數學思想方法 提升數學核心素養
——以“角平分線的定義及應用”教學為例

鄭 莉

(福建省永泰縣第二中學,福建 福州 350703)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出:核心素養是在數學學習過程中逐漸形成和發展的,發展學生核心素養的有效載體是“四基”和“四能”[1].因此,在教學活動中,教師既要注重學生基本知識與基本技能的落實,還要注重學生數學活動經驗的積累,特別是數學思想方法的滲透,讓學生感悟數學基本思想,并內化為心理特征.文章以“角平分線的定義及應用”的教學設計為例,闡述教師引導學生類比“線段的中點”的探究方法去探究“角平分線”.圍繞著問題串,展開一系列的思維活動,有意識地挖掘其中所蘊含的數學思想,體會教學中的類比遷移、數形結合、分類討論等思想方法,提升數學核心素養.

1 教學內容分析

義務教育新課程標準指出,教學內容是落實教學目標,發展學生核心素養的載體.這節課內容為《義務教育教科書·數學》(人教版)七年級上冊第四章第四節《角的比較與運算》(第2課時),主要內容為角平分線的定義及其應用,是在學生學習角的和差基礎上,將問題特殊化,引入角平分線.角的平分線與線段的中點是類比性知識,都是從數和形兩個方面進行研究;都采用圖形語言、文字語言、符號語言來進行描述;都從具體到抽象(模型→圖形→文字→符號),或反向進行訓練.教學中,引導學生類比“線段的中點”進行學習,通過問題串展開探究活動,在獲得活動經驗的同時,體會數形結合、分類討論等思想方法,為后續圖形與幾何的學習提供必備的知識經驗與思想方法.

2 學情分析

學生在小學階段已經學過本章節的相關內容,對于線段、角等圖形的基本特征已有一些感性的了解,但僅僅局限于形的認識,還沒上升到用數來描述圖形.一開始,學生對這章的學習信心滿滿,因為內容熟悉,但很快感到一片茫然,面對問題,知道結論,卻不懂如何表達,真是一籌莫展.究其原因,主要是學生的抽象思維能力較差,無法理解圖形語言、文字語言、符號語言之間的可轉化關系,更不要說在應用中滲透類比、數形結合等思想方法,并且達到融會貫通.為此,教師要善于引導學生積極主動地參與數學活動,不斷感悟數學基本思想,積累數學思維經驗,發展、提高數學核心素養.

3 教學目標分析

(1)理解角平分線的意義及數量關系.能結合角平分線的直觀圖形,用文字語言和符號語言描述其數量關系.反過來,也能根據文字語言和符號語言的表述,畫出直觀圖形來.體會轉化思想,培養學生反向思維能力,提升抽象能力等核心素養.

(2)類比線段中點的研究,將其方法遷移到到角平分線的探究中,應用角平分線的定義及其數量關系解決問題,體會類比與數形結合思想,發展學生應用意識及運算能力等核心素養.

(3)在變式訓練中,體會分類討論思想方法,發展學生的推理能力等核心素養.

4 教學支持條件分析

利用黑板板書知識框架,強調格式規范書寫;通過希沃白板展示課件內容;利用幾何畫板展示圖形變換,從靜態到動態,讓學生從觀察、操作、想象、交流中認識圖形.

基于上述的分析確定這節課的重難點:

教學重點:掌握角平分線的定義及其數量關系,感受類比的思想.

教學難點:能應用角平分線的定義及其數量關系靈活解決問題,體會數形結合思想.

5 教學過程

5.1 回顧舊知,初步滲透數學思想方法,提升數學核心素養

問題1 如圖1,已知點C為線段AB上的任意一點,則圖中線段AC、BC、AB存在怎樣的數量關系?如果點C為線段AB的中點,則它們之間又有怎樣的數量關系?

圖1 線段AB

變式已知AB=100,

(1)點C為線段AB上的一點,D、E分別是AC和BC的中點,求DE的長度.

(2)將(1)中的“線段AB”改為“直線AB”,結論還成立嗎?

師生活動學生思考、回憶解決問題的方法,教師利用幾何畫板演示圖形動態變化(點C相對線段AB的不同位置),學生代表回答解題思路,師生一起點評.

[設計意圖]上述問題的提出,讓學生在回顧線段中點定義及應用的同時,掌握根據已有的圖形或畫符合條件的圖形來求線段之間的數量關系的方法,初步體會數形結合、分類討論等思想方法在幾何綜合應用中的重要性,為后面角的學習提供類似的學習方法做更進一步的鋪墊,提升了幾何直觀、運算能力等核心素養.

5.2 探究新知,逐步滲透數學思想方法,提升數學核心素養

問題2 類比線段之間的數量關系,說說角之間有哪些數量關系?請在練習本上畫圖:

①畫有公共端點的三條射線OA、OB、OC.

②表示出圖中的所有數量角.

③說出這些角存在的關系.

師生活動學生動手畫圖,教師走到學生當中去,關注學生的解答情況,并展示有代表性的答案.教師利用幾何畫板演示射線OC相對于∠AOB的位置的動態變化圖(繞點O順時針或逆時針旋轉),引導學生觀察并歸納射線OC在∠AOB的內部或外部.

追問1 類比線段的中點,射線OC有沒有一種特殊的位置,使得∠AOC和∠BOC相等?若有,請畫出圖形.并給這種特殊位置的射線OC取一個名字.

師生活動學生畫出圖形,如圖2,并口頭作答(角中點、角中線等),教師給出規范的名稱(角的平分線).

圖2 射線OC相對于∠AOB的位置動態變化圖

[設計意圖]類比線段的中點的探究方法,從畫射線OC開始,OC相對于∠AOB的位置從一般到特殊,引入角平分線,過渡自然,讓學生再次體會數形結合與類比等思想,同時加深理解知識之間的緊密聯系,完善認知結構.

追問2 類比線段的中點的表示方法,你能用符號及文字表示圖2中∠AOC、∠BOC、∠AOB之間的關系嗎?

追問3 請回顧一下我們是如何學習角平分線?反過來,由角平分線可以得出哪些結論(結合圖2)?

師生活動教師引導學生類比線段中點的學習方法,從相等、二倍、一半關系來理解角平分線的概念;學生小組交流,由代表發言,教師及時糾正學生的錯誤描述,并規范板書推理過程.

[設計意圖]通過類比,讓新知自然生成,讓學生在討論、探究與解決問題中,逐步感悟類比思想,有效地提升學生幾何直觀、抽象能力等核心素養.

5.3 運用新知,持續滲透數學思想方法,提升數學核心素養

例1 如圖2,OC是∠AOB的平分線,若∠BOC=29.5°,則∠AOC=____, ∠AOB=____.

變式1 如圖2,OC平分∠AOB,∠AOB=59°,求∠AOC.

變式2 判斷“如果∠AOB=2∠BOC,那么OC平分∠AOB.”這句話對嗎?為什么?

師生活動例1由學生口頭回答,教師給出評價;變式1由師生共同解答;變式2由學生討論解決,教師加以引導.

[設計意圖]設計例1的目的是為了考查學生是否理解角平分線的幾何意義,能否正確選擇對應的數量關系解題,從而正確地完成文字語言、圖形語言、符號語言三者的相互轉化.其中變式2中射線OC相對于∠AOB的位置不明確,引導學生類比問題2,畫出圖形(OC在∠AOB的內部與外部兩種),直觀形象,學生能正確做出判斷,同時發現角平分線的性質反過來說不一定成立,為后續的互逆命題的學習積累經驗,培養學生的逆向思維,讓學生進一步體會數形結合、類比遷移等思想,提升學生幾何直觀、抽象能力和推理能力等核心素養.

5.4 課堂小結,深入滲透數學思想方法,提升數學核心素養

問題6 這節課我們學習哪些知識內容?

追問回顧這節課的學習過程,我們從線段中點的問題入手,引入角平分線,從三種語言的相互轉化中,形成并利用角平分線的定義解決問題,從中你體會最深的是什么?

[設計意圖]設置開放性問題,學生能暢所欲言.教師引導學生歸納、總結,從中提煉數學思想與研究方法,深入體會到類比遷移、分類討論及數形結合等思想方法在本節中的運用,為后續的學習提供類似的學習經驗.

6 教學反思

核心素養具有可教、可學的知識層面,也蘊含可感、可知的思想層面.因此進行教學設計時,教師必須考慮在哪些環節,采用何種方法將相關的思想滲透進去,讓學生更好地掌握知識、解答問題,提升數學核心素養.基于這點,設計這節課時,無論是回顧知識,還是探究新知,或是新知的應用等環節中,應無時無刻地進行數學思想方法的滲透.讓學生在循序漸進的教學中,反復不斷地感悟類比遷移、分類討論、數形結合等思想,提升解決問題的能力.

總之,數學核心素養的提升始終伴隨在教與學中,在知識和技能的掌握中,在數學思想的形成中,在問題的發現和提出、分析與解決中,而其中的思想看不見,摸不著,經常被忽略.所以在課堂教學中,教師應注重引導學生在活動中體會數學思想,最終內化為自身的能力.