鍛煉數學思維 提升核心素養

李兆新

(灌云縣第一中學,江蘇 連云港 222200)

2023年高考數學新課標Ⅰ卷在反套路、反機械刷題上下足了功夫,突出強調對基礎知識和基本概念的深入理解和靈活掌握,注重考查學科知識的綜合應用能力,落實中國高考評價體系中“四翼”的考查要求.其中,第7題的數列題,就很好地考查了考生的數學探究能力、落實了“四翼”的要求.教師應合理設計、適時引導,引導學生從類比、模仿到自主創新,從而讓學生在探究中鍛煉數學思維,提升核心素養.

1 真題再現

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

2 一題多解

思路1 定義法,即{an}為等差數列?an+1-an=d.

兩式相減得an=nan+1-(n-1)an-2nD=n(an+1-an)+an-2nD,即an+1-an=2D,對n=1也成立,因此{an}為等差數列,則甲是乙的必要條件[1].

綜上,甲是乙的充要條件,選C.

思路2通項公式法,即{an}為等差數列?an=pn+q.

綜上,甲是乙的充要條件,選C.

3 題后反思

經過探究,可得:

性質3{an}為等比數列(q≠1)?Sn=kqn-k(k≠0,q≠1)?存在非零常數k,使{Sn+k}為等比數列.

性質4{an}是等比數列(q≠1)?Sn=s+tan(s≠0,t≠0,1).

4 課本溯源

2019年人教A版《數學選擇性必修第二冊》第25頁習題7:

已知Sn是等差數列{an}的前n項和.

分析第(1)的結論就說明了甲是乙的充分條件.

5 試題推廣

我們先來探究等差數列下角標性質的不等關系.

設{an}是正項等差數列,公差為d(d>0),前n項和為Sn,m,n,p,q均為正整數. 若n

命題1aman

證明先證mn

因為n

mn-pq=mn-p(m+n-p)=mn-pm-pn+p2=(m-p)(n-p)<0,

即mn

因為m+n=p+q,mn

命題2mam+nan>pap+qaq.

證明因為m+n=p+q,且d>0,所以

mam+nan-pap-qaq=m[a1+(m-1)d]+n[a1+(n-1)d]-p[a1+(p-1)d]-q[a1+(q-1)d]=(m+n-p-q)a1+[m(m-1)+n(n-1)-p(p-1)-q(q-1)]d=(m2-m+n2-n-p2+p-q2+q)d=[(m2-p2)-(m-p)-(q2-n2)+(q-n)]d=[(m-p)(m+p-1)-(q-n)(q+n-1)]d=λ(m+n+p+q-2)d.

其中λ=m-p=q-n>0,又d>0,且m+n+p+q-2>0,故mam+nan>pap+qaq.

命題3Sm+Sn>Sp+Sq.

命題4SmSn

6 變式提升

類比到等比數列,可得到如下的變式題.

變式題已知數列{an}的各項均為正數,記Sn為{an}的前n項和,從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另外一個成立.

①數列{an}是等比數列;②數列{Sn+a1}是等比數列;③a2=2a1.

注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個解答計分.

解答過程留給讀者完成.

7 高考預測

預測題 設甲:{an+1}是等比數列;乙:{Sn+n}是等比數列,已知兩個數列的公比都不等于1,則( ).

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

若{Sn+n}是等比數列,則Sn+n=(a1+1)qn-1,從而Sn-1+(n-1)=(a1+1)qn-2,兩式相減得an+1=(a1+1)(1-q)qn-2(n≥2),這對n=1不成立,因此{an+1}不是等比數列,則甲不是乙的必要條件.

綜上,甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件,選D.

對于一道經典的高考題來說,我們不能就題論題,更不能把題目做完了就算了.我們應該從以下的幾個角度來進行探究:(1)學生是怎么來解這道題的?(2)試題還可以做哪些推廣?(3)試題的題根源自哪里?(4)試題還可以怎么變式?(5)接下來該如何備考?(6)如何進行試題預測?教師可以從以上角度來進行教學設計或者講評設計,讓學生在探究中成長,在探究中鍛煉數學思維,提升核心素養.通過研究性學習,積累發現和提出問題、分析和解決問題的經驗,養成獨立思考與合作交流的習慣,達到做一道題而會一類題的效果[2].