2022年新高考Ⅰ卷第12題的課本溯源與變式探究

康俊太

(甘肅省廣河縣三甲集中學,甘肅 蘭州 731301)

高考題源于課本,而高于課本,但“源于”有時是顯性的,容易被發現,有時卻是隱性的,需要進一步探究才能發現.筆者主要從顯性與隱性兩個視角來探究2022年新高考Ⅰ卷第12題的課本溯源,最后給出該高考題與課本習題的變式探究,設法實現從新教材到新高考的過渡.

1 高考真題

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

因為(f(x)+C)′=f(x),所以f(x)的圖象經過上下平移后,其對稱性與導函數的性質不發生改變,即f(x)+C也滿足題意,所以不能確定f(0)=0,故選項A錯誤.

2 試題評析

試題考查了考生分析問題和運用函數、導數相關知識解決問題的能力.作為新高考試卷的壓軸選擇題,試題緊扣課程標準,力圖引導教學,符合基礎性、綜合性、應用性、創新性的考查要求.試題將導函數與函數的性質結合,設計新穎,具有較好的選拔功能.

以往試題中考查抽象函數性質的問題,往往通過特殊值法、單調性、奇偶性即可得出結論.試題創造性地將導函數引人其中,這便成為本題的一大亮點.同時多選題的題型設置也為不同能力層次的考生提供了發揮的空間.試題源于教材,緊扣課程標準,對考生的能力能進行很好地區分,具有較好的選拔功能.

3 題后反思

本題作為選擇題,我們可以巧做.取符合題意的特殊函數f(x)=sinπx+1,便可迅速利用排除法得到正確選項,這就是解法2的思想.

而解法1是按照解答題的要求來做的,這樣的好處就是很好地揭示了問題的本質:(1)函數的奇偶性、對稱性和周期性的關系;(2)函數與其導函數的對稱性的關系.

一般地,若函數f(x)具有奇偶性和對稱性,則f(x)必有周期性;若函數f(x)具有奇偶性和周期性,則f(x)必有對稱性;若函數f(x)具有周期性和對稱性,則f(x)必有奇偶性.其結論總結如下:

(1)若f(x)是奇函數且滿足f(a+x)=f(a-x),則f(x)的圖象關于直線x=a對稱且最小正周期T=4a.

(2)若f(x)是偶函數且滿足f(a+x)=f(a-x),則f(x)的圖象關于直線x=a對稱且最小正周期T=2a.

(3)若f(x)是奇函數且滿足f(a+x)=-f(a-x),則f(x)的圖象關于點(a,0)對稱且最小正周期T=2a.

(4)若f(x)是偶函數且滿足f(a+x)=-f(a-x),則f(x)的圖象關于點(a,0)對稱且最小正周期T=4a.

4 課本溯源

函數的對稱性與奇偶性的關系,不是什么新的內容,因為它是源自課本習題.

2019年人教A版《數學必修第一冊》第87頁第13題如下:

我們知道,函數y=f(x)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x)為奇函數,有同學發現可以將其推廣為:函數y=f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x+a)-b為奇函數[2].

(1)求函數f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心;

(2)類比上述推廣結論,寫出“函數y=f(x)的圖象關于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數y=f(x)為偶函數”的一個推廣結論[3].

解析(1)解法1 設函數f(x)=x3-3x2的對稱中心為P(a,b),則y=f(x+a)-b=(x+a)3-3(x+a)2-b為奇函數.

解法2 因為函數y=f(x+1)+2=(x+1)3-3(x+1)2+2=x3-3x是奇函數,由題意知函數f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心為(1,-2).

(2)略.

5 習題探究

該高考題還涉及導函數與其原函數的對稱性之間的關系,雖然這道課本習題沒有直接涉及導函數與原函數的對稱性之間的關系,但通過進一步探究習題,可以獲得這方面的知識.

本習題提到了三次函數的對稱中心,經過探究發現,三次函數的對稱中心有如下性質.

6 變式探究

變式1 設f(x)是定義在R上的奇函數,若f(x+2)為偶函數,則f(1)+f(2)+…+f(2024)=____.

解答案:0.

方法1因為f(x+2)為偶函數,所以f(x+2)=f(-x+2),又f(x)是定義在R上的奇函數,因此f(x+4)=f(-x)=-f(x),f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即f(x)的最小正周期T=8.由題意知f(0)=0,得f(4)=0,f(8)=0.又f(5)=f(-3)=-f(3),f(6)=f(-2)=-f(2),f(7)=f(-1)=-f(1),所以f(1)+f(2)+…+f(8)=0,從而f(1)+f(2)+…+f(2024)=0.

方法2因為f(x+2)為偶函數,所以f(x)的圖象關于直線x=2對稱,又f(x)的圖象關于原點對稱,所以f(x)的最小正周期T=4|2-0|=8. 下同方法1.

A.f(2)=0 B.f′(1)=f′(0)

C.f(3)=f(2) D.f′(2022)=-f′(-1)

解選ACD.由題意知f(2-x)+f(2+x)=0,所以函數y=f(x)的圖象關于點(2,0)中點對稱.對f(2-x)+f(2+x)=0兩邊求導,得f′(2+x)-f′(2-x)=0,即f′(2+x)=f′(2-x),所以函數y=f′(x)的圖象關于直線x=2對稱.

對A,由f(2-x)+f(2+x)=0,令x=0,得f(2)=0.A正確.

綜上,選ACD.