2021年全國高中數學聯賽(A1)卷解析幾何題的解法探究

宋長芬

(福建省福州第八中學,福建 福州 350004)

2021年全國數學聯賽(A1)卷的解析幾何題,作為一試的最后一題,對考生的數學能力要求較高,有很好的區分度,有助于選拔優秀的競賽選手,是個難得的好題.筆者經過探究,從解析法和參數法兩個視角給出四種解法,供讀者參考、研究.

1 賽題再現

圖1 競賽題圖

2 解法探究

解法1 易知F1的坐標為(-1,0),F2的坐標為(1,0).設P、Q1、Q2的坐標分別為(x0,y0)、(x1,y1)、(x2,y2), 由條件知x0,y0>0,y1<0,y2<0.

由橢圓定義,得

又|F1F2|=2,

以下先求y1-y2.

解法2利用橢圓的參數方程.

以下先求y1-y2.

解法3 利用橢圓的參數方程.

下面用α的三角函數表示sinβ.

由萬能公式及

解法4 利用橢圓的參數方程.

由焦半徑公式, 得

又因為kPF1=kQ1F1,

①

②

由①②及比例性質,得

下同解法3.

對于一道經典的聯賽題,學生不僅要會做、做全,更要思考如何從多角度來求解. 通過探究一道題,達到會做一類題的效果,這不僅可以鍛煉學生的數學思維,也開拓了學生數學視野,幫助其進一步認識數學的本質,從而提高數學能力、提升數學素養.