指數(shù)平均不等式及其應(yīng)用

李玉佩

(漢壽縣第一中學(xué),湖南 邵東 415900)

對(duì)數(shù)平均不等式最近幾年在高考中很活躍,很多文獻(xiàn)都有介紹,甚至有些文獻(xiàn)將對(duì)數(shù)平均不等式進(jìn)行了深度的推廣[1].而與對(duì)數(shù)平均不等式密切聯(lián)系的就是指數(shù)平均不等式.筆者給出指數(shù)平均不等式的證明,并探究其與對(duì)數(shù)平均不等式的聯(lián)系,最后給出指數(shù)平均不等式的應(yīng)用.

1 指數(shù)平均不等式

2 不等式的證明

所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故h(x)>h(0)=0.得證.

這就是對(duì)數(shù)平均不等式,證明如下:

3 不等式的應(yīng)用

例1已知f(x)=x-aex存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,證明:x1+x2>2.

(1)若f(x)是R上的增函數(shù),求a的取值范圍;

解析(1)a≤1.

這就是對(duì)數(shù)平均不等式,因此,x1+x2<2ln2a.

(1)若函數(shù)g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,且與直線y=kx+1相切,求k的值;

在兩個(gè)結(jié)論中任選一個(gè),并證明.(注:如果選擇多個(gè)結(jié)論分別證明,按第一個(gè)計(jì)分)

(2)選擇①:不妨設(shè)a>b,則a-b>0.

這就是指數(shù)平均不等式. 故結(jié)論①得證.

(1)證明:

①3

②函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn);

(參考數(shù)據(jù):e≈2.72,e2≈7.39,e3≈20.09,ln2≈0.69,ln3≈1.1)

證明(1)①因?yàn)閒′(x)=ex-1,當(dāng)x>0時(shí),ex>1,所以f′(x)>0,所以f(x)在區(qū)間(0,+∞)上遞增.

因?yàn)閤>0,a<0,所以ex-1>0,x-a>0,所以g′(x)>0,所以g(x)在區(qū)間(0,x0)上遞增.

因?yàn)?

綜上,g(x)存在兩個(gè)零點(diǎn).

(2)由(1)可知g(x1)=g(x2)=0,其中1

由g(x2)=0可知lnx2-a(x2+1)-x2lnx2=0.

設(shè)h(x)=lnx-a(x+1)-xlnx,則h(x2)=h(ex1)=0.

因?yàn)?e,x2>x0>3>e.

文中給出四道與ex有關(guān)的雙變量問題的簡(jiǎn)便解法,讓讀者感受指數(shù)均值不等式的妙用,但是任何一種方法都有其局限性.我們?cè)谌粘５膶W(xué)習(xí)中,要結(jié)合自身掌握程度和實(shí)際情況,選擇最佳的解題方法,不可一味追求某一種解法,要學(xué)會(huì)從不同解法中汲取不同的數(shù)學(xué)思想,從而提高自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與解題能力[3].