圓錐曲線中動圓恒過一類定點問題的研究

林 蔓

(福建省石獅市石光中學,福建 石獅 362700)

圓錐曲線中動圓恒過定點問題,十年前的高考題考過幾次,最近幾年的模擬題也經常出現. 筆者經過研究,發現不少的圓錐曲線問題中的動圓都恒過相同的定點,即都經過點O1(-b-a,0),O2(b-a,0).

1 預備知識

引理1 設A(x1,y1),B(x2,y2),則以線段AB為直徑的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

證明當y0=0時,點P(x0,y0)處的切線的斜率不存在,其方程為x=±a.

當y0≠0時,設橢圓在點P(x0,y0)處的切線方程為y-y0=k(x-x0),代入橢圓方程化簡得,

(b2+a2k2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2[(y0-kx0)2-b2]=0[2].

由題意,

△=4a4k2(y0-kx0)2-4(b2+a2k2)a2[(y0-kx0)2-b2]=0,

化簡得

2 主要結果及證明

圖1 命題1圖

證明 設A(0,m),P(0,yP),Q(0,yQ),由引理3知過A的兩切線方程為

令x=-a,得

故yPyQ=-b2.

由引理1知以PQ為直徑的圓為(x-a)2+(y-yP)(y-yQ)=0,令y=0,得

(x+a)2+yPyQ=0?(x+a)2=b2

?x=-a±b,

所以圓與x軸交于兩個定點,其坐標為O1(-b-a,0),O2(b-a,0).

圖2 命題2圖

由引理1知以線段CE為直徑的圓為

故以線段CE為直徑的圓過兩定點O1(-b-a,0),O2(b-a,0).

圖3 命題3圖

故以線段CE為直徑的圓過兩定點O1(0,-a-b),O2(0,a-b).

圖4 命題4圖

故以線段PQ為直徑的圓過兩定點O1(0,-a-b),O2(0,a-b).

圓錐曲線內容是高中數學的難點,高中生要想突破這一塊內容,需要有探索和研究的精神.掌握一些重要的結論是非常必要的,比如上文提到的3個引理.當然了,學生對于圓錐曲線的困難主要還是在運算上,那就需要我們平時多練,熟悉解題過程中設點或者設線的一些方法,這可以幫我們簡化運算.有時結合同構思想、點差法或者對稱思想,也可簡化運算.

追溯圓錐曲線的研究,最有影響力的還得屬于阿波羅尼奧斯,他的著作《圓錐曲線論》攬盡了圓錐曲線幾乎所有的性質,而且他是用幾何方法給出的證明. 后來笛卡爾創立了直角坐標系后,人們就可以利用坐標法來研究圓錐曲線問題了.再到后來,產生了射影幾何,圓錐曲線的研究得到了新的突破.而最近十年的高考真題中,有不少題就是以射影幾何中的極點、極線或者調和點列、調和線束為背景來命制的,這需要一線教師掌握一定的射影幾何知識,這樣才能居高臨下,教學才能做到深入淺出.

研究圓錐曲線是有意義的,有價值的.一線教師可以根據圓的性質,進行類比推廣得到圓錐曲線的性質,也可以對高考中的圓錐曲線題進行一般化探究,還可以把射影幾何中的經典結合初等化后,利用初等方法進行研究.圓錐曲線的性質是優美的,也是豐富的,很多高考圓錐曲線題就是命題人的最新研究成果.總而言之,不論是高中教師還是高中生,都很有必要去探索、去研究圓錐曲線的各種優美性質.