2023年全國(guó)甲卷理科第21題的解法探究

張 炙

(安徽省利辛縣第一中學(xué),安徽 阜陽(yáng) 236700)

三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是中學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn),具有一定的綜合性. 2023高考全國(guó)甲卷理科第21題是導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的綜合題,試題設(shè)計(jì)新穎,緊扣課程標(biāo)準(zhǔn),全面考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,具有較好的選拔功能,對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有較好的引導(dǎo)作用[1].

1 真題再現(xiàn)

2023年高考全國(guó)甲卷理科第21題如下:

(1)當(dāng)a=8時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)

2 解法探究

下面重點(diǎn)探究第(2)問(wèn).

以上兩個(gè)不等式當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取到等號(hào).

綜上,a的取值范圍是[3,+∞).

綜上,a的取值范圍是(-∞,3].

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立,所以必有a≤3.

下面證明當(dāng)a≤3時(shí),f(x)

綜上,a的取值范圍是(-∞,3].

綜上,a的取值范圍是(-∞,3].

點(diǎn)評(píng)由解法4可知,本題的背景是不等式2sinx+tanx>3x.利用這個(gè)不等式,通過(guò)放縮,可大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程.類似地,我們還可以將不等式推廣得到2tanx+3sinx>5x.于是,可編擬得到如下的改編題:

(1)求證:2tanx+3sinx>5x;

(2)若f(x)

解(1)略.

綜上,a的取值范圍是(-∞,5].

試題以三角函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)為背景,構(gòu)造了所要研究的函數(shù).通過(guò)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究,試題全面考查了導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,這也是中學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn).試題的第(1)問(wèn)面向全體考生,體現(xiàn)試題的基礎(chǔ)性.利用導(dǎo)數(shù)就能得到函數(shù)的單調(diào)性,考查考生通過(guò)導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的能力、計(jì)算與轉(zhuǎn)化的能力,體現(xiàn)函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想在中學(xué)教學(xué)的應(yīng)用.試題的第(2)問(wèn)體現(xiàn)了試題的選拔性.通過(guò)構(gòu)造函數(shù),考查了化歸與轉(zhuǎn)化的能力、分類討論的能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,具有較好的選拔功能[2].