2023年全國甲卷理科第21題的解法探究

張 炙

(安徽省利辛縣第一中學,安徽 阜陽 236700)

三角函數的導數是中學教學的重點與難點,具有一定的綜合性. 2023高考全國甲卷理科第21題是導數與三角函數的綜合題,試題設計新穎,緊扣課程標準,全面考查了利用導數證明不等式,具有較好的選拔功能,對中學數學教學有較好的引導作用[1].

1 真題再現

2023年高考全國甲卷理科第21題如下:

(1)當a=8時,討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)

2 解法探究

下面重點探究第(2)問.

以上兩個不等式當且僅當x=0時取到等號.

綜上,a的取值范圍是[3,+∞).

綜上,a的取值范圍是(-∞,3].

當且僅當x=0時等號成立,所以必有a≤3.

下面證明當a≤3時,f(x)

綜上,a的取值范圍是(-∞,3].

綜上,a的取值范圍是(-∞,3].

點評由解法4可知,本題的背景是不等式2sinx+tanx>3x.利用這個不等式,通過放縮,可大大簡化解題過程.類似地,我們還可以將不等式推廣得到2tanx+3sinx>5x.于是,可編擬得到如下的改編題:

(1)求證:2tanx+3sinx>5x;

(2)若f(x)

解(1)略.

綜上,a的取值范圍是(-∞,5].

試題以三角函數、多項式函數為背景,構造了所要研究的函數.通過對函數性質的研究,試題全面考查了導數及其應用,這也是中學教學的重點與難點.試題的第(1)問面向全體考生,體現試題的基礎性.利用導數就能得到函數的單調性,考查考生通過導數解決實際問題的能力、計算與轉化的能力,體現函數與方程的數學思想在中學教學的應用.試題的第(2)問體現了試題的選拔性.通過構造函數,考查了化歸與轉化的能力、分類討論的能力、邏輯推理能力、數學運算能力,具有較好的選拔功能[2].