2021年全國甲卷立體幾何試題的解法探究與教學思考

韋 艷

(昆山市錦溪高級中學,江蘇 昆山 215300)

數學高考試題中,立體幾何中的動點問題與最值問題一直都是個難點,如何突破這類試題呢?下文從幾何法和向量法來分析與破解這類試題.

1 真題再現

2021年高考全國甲卷立體幾何試題如下:

如圖1,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點,D為棱A1B1上的點.BF⊥A1B1.

(1)證明:BF⊥DE;

(2)當B1D為何值時,面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小[1]?

2 試題分析

第(1)問的困難是不易確定點D的位置,從而給線線垂直的證明帶來了很大的困難.最佳的解決方案就是建立空間直角坐標系,大部分學生都可以解決,這與以往的立體幾何綜合題的第(1)問可以用幾何法輕松解決不同,需要考生靈活處理.用幾何法也可以解決,只是要把直三棱柱補成正方體,這一點考生不易想到.也可以考慮利用向量的數量積來解決.第(2)問是求二面角的正弦值的最小值,考生感覺到困難的是運算問題,因為平面DEF的法向量中含有參數,不易求,也是由于參數的存在,在求二面角的正弦值的最小值時,考生會遇到困難.此外,也可以通過作輔助線尋找二面角的平面角來求解,也可以利用投影法來求解.給出一題多解,一是鍛煉學生的數學思維能力和培訓學科核心素養,二是在學生使用常規方法遇到困難時,可以多一種選擇[2].

3 一題多解

(1)解法1幾何法

因為BF⊥A1B1,A1B1∥AB,所以BF⊥AB.又因為AB⊥BB1,BF∩BB1=B,所以AB⊥平面BCC1B1.又因為AB=BC=2,構造正方體ABCG-A1B1C1G1,如圖2所示,過E作AB的平行線分別與AG,BC交于其中點M,N,連接A1M,B1N,因為E,F分別為AC和CC1的中點,所以N是BC的中點,易證Rt△BCF?Rt△B1BN,則∠CBF=∠BB1N.

又因為∠BB1N+∠B1NB=90°,所以∠CBF+∠B1NB=90°,BF⊥B1N.

又因為BF⊥A1B1,B1N∩A1B1=B1,所以BF⊥平面A1MNB1.

又因為ED?平面A1MNB1,所以BF⊥DE.

解法2向量法

因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB

因為A1B1∥AB,BF⊥A1B1,所以BF⊥AB,又BB1∩BF=B,所以AB⊥平面BCC1B1.所以BA,BC,BB1兩兩垂直.以B為坐標原點,如圖3所,建立坐標系.

所以B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,2),A1(2,0,2),C1(0,2,2),E(1,1,0),F(0,2,1).

圖3 向量法

解法3向量法

(2)解法1 向量法

解法2 幾何法

如圖4所示,延長EF交A1C1的延長線于點S,聯結DS交B1C1于點T,則平面DFE∩平面BB1C1C=FT.

圖4 幾何法

作B1H⊥FT,垂足為H,因為DB1⊥平面BB1C1C,聯結DH,則∠DHB1為平面BB1C1C與平面DFE所成二面角的平面角.

設B1D=t,t∈[0,2],B1T=s,過C1作C1G∥A1B1交DS于點G.

解法3 投影法

圖5 投影法

在Rt△DEQ中,

4 教學思考

第(2)問的幾種解法各有優劣,其中坐標法是學生容易掌握的方法.對于立體幾何綜合題的動點問題或最值問題,向量法是通法,對學生而言也是最佳的策略[3].作為一線教師,在日常教學中,要將利用向量方法解決立體幾何問題的思想滲透給學生,還要給學生充足的時間來完成運算.而幾何法屬于巧法,對于大部分學生也是需要掌握的,思考多了,運算量自然就減少了.

對于立體幾何的教學,一線教師應該歸回課本,重視通性通法,重視學生空間直觀的培養,加強學生的運算能力.只有這樣,在遇到難一點的立體幾何試題時,學生才能從容應對,發揮出自己的水平.