功能梯度材料三角形截面梁組合扭轉理論研究

張文福，沙彥文

（1.南京工程學院建筑工程學院，江蘇南京 211167；2.南京工程學院機械工程學院，江蘇南京 211167）

目前，在機械工程領域，薄壁結構的應用十分廣泛。但是，薄壁結構也有一定的缺點，由于截面較薄，在承受外力時容易發生變形。功能梯度材料（Functionally Gradient Materials，FGM）是由兩種或多種材料復合且成分和結構呈連續梯度變化的一種新型復合材料，其概念最早在1984 年由日本科學家平井敏雄等提出[1]。近年來薄壁構件逐漸受到重視，在材料制備中可采用功能梯度材料，通過將陶瓷、塑料、金屬等巧妙組合，充分發揮各類材料的優勢。

在薄壁結構中，相比于開口截面，閉口截面具有更好的抗扭和抗剪性能，但目前針對閉口截面薄壁構件的研究多集中在箱型截面，對其他類型的閉口截面如三角形截面的研究較少，且多集中在三角形桁架梁或桁架拱結構。在靜力研究方面：文穎等人[2]提出了混合截面的約束扭轉有限元模型；何海玉等人[3]提出了倒三角形截面的鋼圓弧拱在全跨均布載荷作用下的極限承載力公式；楊則英等人[4]提出了計算平面曲線梁溫度變形的簡單算法。在動力研究方面：Dikaros等人[5]提出了任意單連接或多連接閉口截面梁的非均勻翹曲動力學分析的一般公式；Wang 等人[6]確定了彎曲箱梁的7個基本位移，在曲線坐標系下建立了一個三節點曲梁有限元，用于曲箱梁的振動特性和動力響應分析；Carrera 等人[7]采用改進的梁理論，對疊層復合材料箱形結構的自由振動進行了討論，采用Carrera統一公式建立了高階模型；Jiang等人[8]建立了薄壁箱梁的改進單元剛度和質量矩陣。

近年來，功能梯度材料的國內外研究成果逐漸增多。在靜力研究方面：Avhad等人[9]采用Navier解法得到了功能梯度組合梁在高度上彎曲的應力和撓度；Sayyad等人[10]對功能梯度多孔圓形梁的靜態變形和振動頻率進行了分析，獲得了靜態和振動問題的Navier型封閉解；Sayyad等人[11]則提出了一種多項式型五階彎曲梁理論。在動力研究方面：江希等人[12]利用Pei 研究的針對功能梯度材料梁的新型高階梁理論，將其由靜力學領域拓展到梁的模態分析,并通過構造新型高階單元，采用有限元方法研究功能梯度梁的前三階自由振動；Sayyad等人[13]提出了一種新的針對功能梯度曲梁自由振動分析的高階剪切法向變形理論；Sharma等人[14]研究了軸向錐形功能梯度（AFG）梁的固有頻率。

然而，作為一種新型的復合材料，功能梯度材料現有的研究多集中在材料性質、壽命及制造方面，由其制造的薄壁構件的力學性能還需進一步探討。本文基于板-梁理論，按材料性質沿板件厚度梯度變化情形，對三角形截面懸臂梁的組合扭轉進行研究；利用有限元軟件ANSYS 建立了相應模型，并對研究結果進行了驗證。

1 FGM 三角形截面梁組合扭轉理論

1.1 基本假設

1.1.1 剛周邊假設

板件的橫截面在其面內的剛度是無限大的，因此在構件發生扭轉時，橫截面在其軸向投影的形狀保持不變。

1.1.2 變形假設

將板件的變形分解為平面內變形和平面外變形兩部分，這樣可以簡化分析。

1.1.3 板-梁假設

板件的平面內、平面外縱向位移和應變能分別由Timoshenko梁理論和Kirchhoff板理論確定。

1.2 計算簡圖

如圖1所示等腰三角形中：bf為上翼緣寬度，tf為上翼緣厚度，bw為腹板寬度，tw為腹板厚度，C 為截面的形心，S 為截面的剪心，梁長為L。o-xyz 為截面整體坐標系，原點位于形心，x 軸與翼緣平行，y 軸為截面的對稱軸。o-nsz 為各塊板的局部坐標系，均符合右手螺旋法則。hs1為上翼緣自身形心到剪心的距離，hs2為腹板底部到剪心的距離，ef1為上翼緣自身形心到整個截面形心的距離，ew為腹板形心到整個截面形心的距離，β為等腰三角形對稱軸與腹板的夾角。

圖1 三角形截面尺寸圖

如圖2 所示，為三角形截面扭轉變形前后對比圖。

圖2 三角形截面扭轉變形圖

圖3 材料性質沿板件厚度方向變化示意圖

1.3 截面的形心與剪心

根據文獻[15]，得到公式（1）和公式（2）。（1）截面的形心

其中，Aw和Af為三角形截面腹板和上翼緣的面積。

（2）截面的剪心

其中，Iy,w和Iy,f為三角形截面腹板和翼緣的慣性矩。

1.4 材料性質沿厚度變化的組合扭轉理論

1.4.1 左腹板截面任意點位移

根據變形分解原理，可將左腹板任一點位移寫為：

其中：等號后第1 項為左腹板平面內的橫向位移；第2項為左腹板平面外的橫向位移。

1.4.2 左腹板平面內彎曲應變能

應變能公式為：

其中，E(n)和G(n)分別為功能梯度材料的彈性模量和剪切模量，兩者關系為：

式中μ為泊松比，且彈性模量的變化模式為：

式中：pw=1，2，3…，為腹板功能梯度材料的梯度指數；Emw為腹板厚度方向中部的彈性模量；Eow為腹板厚度方向外邊緣的彈性模量；mw=EowEmw=GowGmw為腹板外邊緣與中部的模量比。

由平面內位移的表達式（3）可得左腹板內某一點的位移為：

沿著左腹板n 軸的位移

沿著左腹板s軸的位移

縱向位移根據Timoshenko梁理論可以表示為

其中：ψw1是閉口截面構件中因剪切變形導致的截面轉角，后面需要用截面扭轉角θ 加以確定；b1是因左腹板的形心不在截面主軸上而引起的縱向位移。

線性應變為：

根據應變能公式（4）及線性應變公式（5）（6）（7），則左腹板平面內應變能為：

式中χ3是考慮功能梯度材料模量變化影響的修正系數，其表達式為：

1.4.3 左腹板平面外彎曲應變能

同上方法，則左腹板平面外應變能為：

式中χ4是考慮功能梯度材料模量變化影響的修正系數，其表達式為：

綜上，左腹板扭轉應變能為：

由對稱性，左右腹板的扭轉應變能相同，即Uw1=Uw2。同上方法也可得到上翼緣的應變能為：

式中χ1、χ2是考慮功能梯度材料模量變化影響的修正系數，其表達式為：

1.4.4 截面扭轉角與橫截面轉角的關系

在上述三角形截面的應變能計算中，根據文獻[15]，截面扭轉角θ 與截面轉角ψf、ψw1、ψw2的關系如下：

1.4.5 截面總應變能及總勢能

三角形截面總應變能為：

當翼緣和腹板的材料性質變化一致，即Emf=Emw=Em時，應變能表達式簡化為：

式中：

為截面的翹曲慣性矩；

為截面的自由扭轉常數；

為考慮功能梯度材料模量變化影響的修正系數。

若在自由端施加集中扭矩Mt，則外力勢能為：

截面的總勢能為：

1.4.6 能量微分方程模型

依據能量變分原理，由δΠ=0可得：

采用分部積分法最終得到：

可得如下微分方程：

1.4.7 懸臂梁扭轉角的精確解析解

對式（13）微分方程模型求解，并結合邊界條件可得扭轉角表達式為：

所以，最大扭轉角即自由端的扭轉角為：

其中，K 為薄壁構件的扭轉剛度參數（無量綱），是反映自由扭轉扭矩和翹曲扭轉在總扭矩中所占比例的重要系數。

2 FGM 三角形截面梁組合扭轉有限元驗證

以圖4 所示的材料性質沿板件厚度變化三角形截面懸臂梁扭轉角為例，進行有限元驗證。

圖4 懸臂梁在自由端作用集中扭矩

2.1 有限元模型的建立

2.1.1 基本假定

構件的變形是微小的，即小變形；材料始終處于彈性階段；構件發生扭轉時可以翹曲，但橫截面軸向投影的形狀不發生變化。

2.1.2 邊界條件

因為本文研究的是懸臂梁的組合扭轉，所以約束條件為：在固定端約束所有自由度；在自由端施加集中扭矩；在每個截面處使用CERIG 命令建立剛性域，保證截面上所有節點的扭轉位移一致。

2.1.3 單元選擇

在ANSYS中模擬功能梯度材料可以通過分層來解決，賦予每層不同的材料性質，包括彈性模量E 和剪切模量G。ANSYS 中的SHELL99 可以模擬平板和曲殼一類結構，也適用于模擬薄壁結構，一個單元最多可以分成250層，從而能夠較為精確地模擬功能梯度材料。

2.1.4 建模及求解過程

在SHELL99 中使用分層技術且每層等厚來模擬功能梯度材料。將第2 個關鍵選項（KEYOPT）設定為0，然后通過改變實常數（RMODIF）和循環命令（DO-ENDDO），賦予每層單元不同的性質。

在建模時，翼緣和腹板選用同樣類型的功能梯度材料：鋁合金-陶瓷-鋁合金型。鋁合金彈性模量為Em=70 GPa，陶瓷彈性模量為Eo=380 GPa，泊松比μ=0.3，梯度指數為2。彈性模量變化形式為二次函數形式：即板件的厚度方向中心為鋁合金，而最外部的兩側為陶瓷。

在對每層賦予材料性質后，進行幾何建模，施加集中扭矩1 N·m，最后求解。為保證薄壁結構剛周邊特性，使用剛域（CERIG）命令，可以保證截面在扭轉時形狀不變。此外，當懸臂梁在自由端施加扭矩進行組合扭轉驗證時，為避免自由端發生異常的過度變形，可以使用接觸單元（TARGE170和CONTA175）來保證模擬的正確性。

2.2 有限元驗證

如圖5 所示，根據公式（17）計算了6 組不同尺寸的懸臂梁自由端扭轉角，并建立了相應的有限元模型。如表1 所示，為理論值和有限元值的對比數據。

表1 材料性質沿厚度變化的三角形截面懸臂梁扭轉角對比數據

圖5 三角形懸臂梁組合扭轉有限元模擬圖

3 結論

（1）基于板-梁理論，將材料性質按照沿板件厚度變化的情況，推導了三角形截面懸臂梁組合扭轉的總勢能。建立能量變分模型和能量微分模型，求解得到三角形截面懸臂梁在端部扭矩作用下最大扭轉角的表達式。

（2）利用有限元軟件ANSYS 對公式進行了驗證，結果表明：轉角誤差在2.77%~4.29%。故公式推導具有一定的合理性，可為工程設計提供參考。