微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用

宋書宇

(淮南第四中學(xué),安徽 淮南 232001)

數(shù)學(xué)和物理學(xué)是相通的,很多的數(shù)學(xué)問題具有物理背景,而很多的物理問題也需要數(shù)學(xué)工具來解決.文章利用微積分對(duì)物理學(xué)中一些經(jīng)典問題進(jìn)行探究,不僅是從高觀點(diǎn)來理解物理,同時(shí)也是在探索物理中的數(shù)學(xué)方法.

1 做功問題

例1 把質(zhì)量為m的物體從地球(其半徑為R)表面抬升到高度為h的地方,需要對(duì)它做多少功? 若物體遠(yuǎn)離至無窮遠(yuǎn)處, 則功等于多少?

解法1如圖1所示,取地球中心為原點(diǎn),取Ox軸垂直向上.設(shè)物體當(dāng)前的位置為x,考慮將其從高度x提升到x+dx時(shí)需要做的功.

圖1 例1題圖

這個(gè)答案在h?R時(shí)也就與mgh差不多.

對(duì)于h為無窮遠(yuǎn)的情況,只要令h→+∞取極限,就得到將物體拋至無窮遠(yuǎn)處所需要做的功為mgR.

而當(dāng)h→+∞時(shí)則可直接計(jì)算廣義積分如下:

稱為(常)微分方程.若后一式的右邊不出現(xiàn)y,則就是求不定積分.它是最簡(jiǎn)單的微分方程, 本題就是如此.從不定積分知道,其中出現(xiàn)待定常數(shù). 如解法1所示,根據(jù)條件W(R)=0可以求出這個(gè)常數(shù),從而得到完全確定的解.這在微分方程理論中稱為初始條件[1].

2 壓力問題

例2求水對(duì)堅(jiān)直放置的半圓形擋板的壓力, 該擋板的半徑為a,而水面位于擋板頂部直徑的位置.

解法1如圖2所示,將原點(diǎn)置于水面,Ox軸垂直于水面指向下方.

圖2 解法1示意圖 圖3 解法2示意圖

解法2 如圖3所示,考慮擋板在角φ到φ+dφ之間的扇形部分.可以將它近似地看成為一個(gè)三角形,它的質(zhì)心離開原點(diǎn)的距離為2a/3.水對(duì)這個(gè)扇形的壓力等于扇形面積乘以水在質(zhì)心處的壓強(qiáng). 這就是

注這里需要解釋一下, 在解法2中,作用在一個(gè)小扇形上的水壓力為什么等于其面積乘以在其質(zhì)心處的壓強(qiáng).為此只要注意水的壓強(qiáng)值(在忽略常數(shù)因子后)等于深度x,也就是到Oy軸的距離.因此解法2的做法是合理的[2].

3 動(dòng)能問題

例3半徑為R而密度為δ的均質(zhì)球體以角速度ω繞其直徑旋轉(zhuǎn),求此球的動(dòng)能.

其中M(2)是質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.對(duì)質(zhì)量為連續(xù)分布的系統(tǒng),只要將上述mi用微分代替,將求和改為求積分即可得到.

4 吸引力問題

例4線密度μ0為常數(shù)的無窮直線以怎樣的力吸引距此直線距離為a而質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)?

解如圖4所示,將該直線(棒)置于Ox軸上,考慮微元dx對(duì)點(diǎn)(0,a)處的質(zhì)點(diǎn)的引力.

圖4 例4題圖

這樣就列出積分公式如下:

作代換x=atant, 就得到

5 容器形狀的確定問題

例5 旋轉(zhuǎn)體容器應(yīng)該具有什么形狀,才能使液體從容器底部流出時(shí),液體上表面的下降是均勻的?

解如圖5所示為容器的一個(gè)截面.設(shè)想該容器是用xOz平面內(nèi)的曲線z=z(x)圍繞Oz軸旋轉(zhuǎn)得到,其中設(shè)z(0)=0,曲線在第一象限中.

圖5 例5題圖

如圖5所示,液體水平面的高度是時(shí)間的函數(shù),記為z(t),則在時(shí)間dt內(nèi)z(t)下降dz時(shí)容器內(nèi)減少的液體體積就等于流出的液體量.

也就是微分方程

對(duì)于物理問題的理解和解決,可以從微積分的視角來分析,這樣才能看清問題的本質(zhì).在日常教學(xué)中,也可以給學(xué)生滲透微積分的知識(shí)與方法,如在變力做功或者變速運(yùn)動(dòng)的問題中.這樣,可以幫助學(xué)生建立完整的知識(shí)框架和認(rèn)知結(jié)構(gòu),對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣以及學(xué)生今后物理學(xué)習(xí)的潛能是非常有幫助的.