一道北大保送題的證法探究、背景分析及推廣

廖獻文

(福建省永春美嶺中學,福建 永定 362618)

勃羅卡點(Brocard point)問題自1875年由勃羅卡提出之后,已經有148年之久.在這段歷史中,不斷有人重新發現并研究它.時至今日,人們圍繞勃羅卡點得到了很多結論,豐富了這個問題法的研究成果,使其成為三角形幾何學中的一個亮點.2011年北京大學保送生數學考試試題第2題就是以勃羅卡點為背景來進行命制的.筆者經過探究,給出試題的四種證明方法,并將試題進行推廣.

1 試題呈現

2011年北京大學保送生數學考試試題第2題如下:

如圖1所示,已知△ABC中,∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO.求證:△ABC三邊成等比數列.

圖1 試題題圖

分析本題實際上是當點O是(正)勃羅卡點時, 依定義,∠OAB=∠OBC=OCA=θ, 同時又滿足∠OAC=θ, 表明OA又是角A的平分線. 實際上, 就是當點O是勃羅卡點時, 又增加了一個條件, 就預示著△ABC滿足某些條件.

2 勃羅卡點與勃羅卡角的定義

如圖2所示,設點P是△ABC內一點,滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ,稱點P為△ABC的正勃羅卡點,角θ為△ABC的勃羅卡角.

圖2 正勃羅卡點(角) 圖3 負勃羅卡點(角)

如圖3所示,設點P′是△ABC內一點,滿足∠P′BA=∠P′CB=∠P′AC=θ,稱點P′為△ABC的負勃羅卡點,角θ為△ABC的勃羅卡角[1].

注若三角形給定,則三角形的勃羅卡點是勃羅卡角是存在的.所以,一個三角形有兩個勃羅卡點,分別叫做正勃羅卡點和負勃羅卡點,對應的也有兩個勃羅卡角. 可以證明,這兩個勃羅卡角的大小是相等的,而通常情況下,兩個勃羅卡點是不重合的.

3 證法探究

證法1如圖4所示, 設∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=θ, 延長AO交△BOC的外接圓O1于點D.由于∠OBC=∠OCA, 因此AC為外接圓O1的切線,C為切點, 所以∠ODC=∠ACO=θ, 故AC=CD.

在△BCD與△ABC中,

∠BCD=∠BOD=∠OAB+∠OBA=∠OBC+∠OBA=∠ABC,

即∠BCD=∠ABC.

圖4 證法1圖

又因為cos2θ=cosA=-cos(B+C), 所以1+cos(B+C)-cos(B-C)=cos4θ, 展開得1-2sinBsinC=cos4θ, 即2sin22θ=2sinBsinB, 亦即sin2A=sinBsinC.再由正弦定理得BC2=AB·AC, 即AB,BC,CA成等比數列.

證法3 如圖5所示, 對于任意△ABC, 過點A作BC的平行線AD, 作∠ACD=∠ABC, 連接BD, 在BD上取點O, 使得∠OCA=∠ODA=θ.

因為AD∥BC, 所以∠OBC=∠ODA=θ=∠OCA, 則A,D,C,O四點共圓, 所以∠OAC=∠ODC, 而∠BAC=∠ADC, 所以∠OAB=∠ODA=θ, 點O是△ABC的(正)勃羅卡點.

圖5 證法3圖 圖6 證法3圖

在圖5的基礎上,過D,A作BC(延長線)的垂線, 垂足分別為E,F, 得到圖6,在△BDE,△ABF,△ACF,△DCE中, 易得

=cotB+cotC+cotA,

即cotθ=cotA+cotB+cotC.

?sin2A=sinBsinC.

再由正弦定理得BC2=AB·AC, 即AB,BC,CA成等比數列.

證法4如圖1所示, 在△AOC中,∠AOC=π-θ-θ=π-2θ.

①

在△BOC中,∠BOC=π-C,

由正弦定理得

②

在△AOC中OA=OC.

結合式①、式②得

為了確保拋光過程覆蓋的均勻性，Rososhansky等[39]在光柵軌跡規劃方法當中引入柔性拋光頭與工件的彈性接觸變化。文獻[40] 中針對光柵軌跡拋光引入行距適應算法，將該方法應用于自由曲面加工中，提高了拋光軌跡覆蓋的均勻性。

即AB,BC,CA成等比數列.

4 試題推廣

實際上, 我們得出下列結論:

結論1 已知△ABC中(見圖1),∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=θ, 則A=2θ?OA=OC?a2=bc.

我們知道, 一個三角形有兩個勃羅卡點. 在本題中,O是正勃羅卡點, 且滿足條件∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=θ.如圖7所 示, 若引人O′是負勃羅卡點, 即滿足條件∠O′BA=∠O′CB=∠O′AB=∠O′AC=θ′. 利用證法 3 中同樣的方法, 對負勃羅卡角θ′, 同樣可得cotθ′=cotA+cotB+cotC, 所以cotθ=cotθ′, 即θ=θ′, 則AO,AO′都是A的內角平分線, 即A,O,O′三點共線, 且O′A=O′B.于是得到結論2.

圖7 正、負勃羅卡點

結論2已知在△ABC中,O,O′分別是正、負勃羅卡點, 且各自滿足:∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=θ,∠O′BA=∠O′CB=∠O′AB=∠O′AC=θ′.則

(1)θ=θ′;

(2)A=2θ?OA=OC?O′A=O′B?A,O,O′共線.

回顧試題,我們發現試題實際上給出了三邊成等比數列的三角形的勃羅卡點的一個性質, 容易想到的問題是:如果△ABC三邊成等差數列, 那么相應的勃羅卡點有什么特殊性質呢?

下面研究三邊成等差數列的三角形的勃羅卡點問題. 以下問題中, 三邊成等差數列, 就是指a,b,c成等差數列.

首先我們給出如下引理:

其中a,b,c是△ABC三個內角A,B,C所對的邊.引理1和引理2的證明參見文獻[2].

結論3 在△ABC中,α是勃羅卡角,P是正勃羅卡點,Q是負勃羅卡點, 則

結論4 在△ABC中,α為正勃羅卡角,則

a2,b2,c2成等差數列?cotA,cotB,cotC成等差數列?cotα=3cotB.