巧用定義求解高中數學圓錐曲線方程

王 曦

(吉林省長春市一三七中學,吉林 長春 130052)

高中數學是一門邏輯性和抽象性很強的學科.學生在求解圓錐曲線難題時,往往找不到解題的思路和方法,不僅耗費了較多的解題時間,還導致解題的準確率也不高.如何提高高中學生求解圓錐曲線題目的準確率和解題效率呢?求解圓錐曲線難題的關鍵在于核心知識點的理解、掌握,以及根據題目要求合理地運用相關知識點.

圓錐曲線的核心知識點中,圓錐曲線的定義是推導軌跡方程和幾何性質的基礎,也是重要的解題工具.本文重點闡述了運用定義求解圓錐曲線軌跡方程的技巧.

1 圓錐曲線思維導圖

運用定義求解圓錐曲線難題,首先需要理解和掌握圓錐曲線的定義.本文以人教A版高中數學選修第三章《圓錐曲線的方程》“圓錐曲線”為例,借助思維導圖,以更加直觀、形象的方式導入圓錐曲線知識框架.

圖1 圓錐曲線思維導圖

橢圓和雙曲線都有兩種定義.一是根據平面內某個動點與兩個定點的距離之和,或者之差與定長的關系進行定義.例如,橢圓的定義:若一個動點P到平面內2個定點M和N的距離等于定長L,則該點所在的軌跡為橢圓.表達式為PM+PN=L(L>MN).再如雙曲線的定義:若一個動點P到平面內2個定點M和N的距離之差等于定長L,則該點所在的軌跡為雙曲線.表達式為PM-PN=L(0

二是根據平面內某個動點到定點的距離與該動點到定直線距離的比值進行定義.例如,橢圓、雙曲線的定義:一個動點P到平面內定點M的距離與到定直線的距離L之比為一個常數e.若該常數e的取值范圍為01,則該動點所在的軌跡為雙曲線.表達式為:PM/L=e(e>1).

拋物線只有一種定義.若一個動點P到平面內定點M的距離與到定直線的距離L之比為一個常數e.若該常數e的取值范圍為e=1,則該動點所在的軌跡為拋物線.表達式為PM/L=e(e=1)[1].

2 巧用定義求解圓錐曲線方程

2.1 巧用定義求解橢圓方程

若一個動點到平面內2個定點的距離等于定長,則該動點所在的軌跡為橢圓.運用定義巧解橢圓軌跡方程如例1所示.

例1如果點P在圓O上,圓O的方程為x2+y2=25,點F的坐標為(2,0),線段FP的垂直平分線與線段OP相交于點M.那么,動點M所在軌跡的方程是什么?

分析根據題意“線段FP的垂直平分線與線段OP相交于點M”,如圖1所示,以及MP=MF,MF+MO=OP=3=2a,可以變換為“點M(x,y)到點P的距離與到點F(2,0)的距離之和等于定長3”.然后,根據橢圓的定義,可以確認點F、點O為橢圓的焦點,2c=2,c=1.

求解:按照橢圓的定義,以及MF=MP,點M(x,y)到點O(0,0)的距離MO與到點F(2,0)的距離MF之和MO+MF等于定長OP”,OP為圓O的半徑3,2a=5.

小結根據平面內某個動點到2個定點的距離之和與定長的線段長度之間的關系進行轉換,若轉換為相等關系,則該動點在平面內的軌跡為橢圓[2].

2.2 巧用定義求解拋物線方程

若一個動點到平面內定點距離與到定直線的距離相等,則該動點所在的軌跡為拋物線.運用定義巧解拋物線軌跡方程,具體如例2所述.

圖2 點M的軌跡

圖3 點A的軌跡

例2如果點A到直線x=3的距離與點A到點(-2,0)的距離大1,那么,動點A所在的軌跡的方程是什么?

根據拋物線的標準方程y2=-2px,求得拋物線的方程為y2=-8x.

2.3 巧用定義求解雙曲線方程

若一個動點到平面內2個定點的距離之差等于定長,則該動點所在的軌跡為雙曲線.運用雙曲線的定義,巧解其軌跡方程,具體如例3、例4所述.

圖3 動圓與定圓的相切關系

圖4 雙曲線C

例3已知動圓P與兩個定圓(圓F1和圓F2)之間的關系都相切,并且,圓F1和圓F2之間的關系為相離,距離為8,以及半徑分別為3和1.求解動點P的軌跡?

求解:令動圓P的半徑為R,兩個定圓(圓F1和圓F2)的半徑分別為r1、r2.根據題意,將動圓P與兩個定圓(圓F1和圓F2)之間的相切關系,分為兩種情況:

一是動圓P與兩個定圓(圓F1和圓F2)之間外切的情形.如圖3-1所示,根據動圓的半徑R與定圓的半徑r1、r2之間的差值為r1-r2,可以判斷動圓的圓心P與兩個定圓的圓心F1和F2之間的距離之差為定長,并且,小于兩個定圓圓心之間的距離|F1F2|,如以下公式所述.

|PF1|-|PF2|=(R+r1)-(R+r2)=r1-r2<|F1F2|,得出動點P的軌跡為靠近焦點F2的一支雙曲線.

r1-r2=2a=4,求得a=2.結合2c=8,求得c=4.進而求得b2=12.

二是動圓P與兩個定圓(圓F1和圓F2)之間內切的情形.如圖3-2所示,根據動圓的半徑R與定圓的半徑r1、r2之間的差值為r1-r2,可以判斷動圓的圓心P與兩個定圓的圓心F1和F2之間的距離之差為定長,并且小于兩個定圓圓心之間的距離|F1F2|,如以下公式所述.

|PF1|-|PF2|=(R+r1)-(R+r2)=r1-r2<|F1F2|,得出動點P的軌跡為靠近焦點F1的一支雙曲線.

r1-r2=2a=4,求得a=2.結合2c=8,求得c=4.進而求得,b2=12.

化簡后,得到c2-a2=5.

運用定義法求解圓錐曲線難題,可以提高高中學生求解圓錐曲線題目的準確率和解題效率.通過定義法確定了動點軌跡為橢圓、拋物線和雙曲線等圓錐曲線,然后,分別根據橢圓、拋物線和雙曲線等圓錐曲線的定義和幾何性質求解橢圓、拋物線和雙曲線等圓錐曲線軌跡的標準方程.