關注數學課堂細節，發展學生幾何直觀

張海華

摘 要

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣，有助于把握問題本質，明晰思維的路徑。教師要重視發展學生幾何直觀能力，不斷精進自身對幾何直觀的深刻理解，并在新授課教學、解題教學中重視學生幾何直觀素養的培養。

關鍵詞

初中教學 幾何直觀 數軸

最近，筆者參加學校組織的青年教師匯報課的觀課與評課活動，內容是蘇科版數學七年級上冊“數軸（第1課時）”。開課的六位教師都是近三年參加工作的，教學熱情高，課前都進行了精心備課，不論是教案、學案的精致呈現，還是課件的精美設計都是值得肯定的。課堂上，教師也能與學生保持積極互動、對話追問。七年級學生剛剛進入初中階段，對數學充滿興趣，“數軸”的教材內容不算太難，課堂氛圍很好。課后帶教師父、教研專家們對青年教師們的點贊式課堂予以高度評價。然而，對于數軸這樣一個重要的數學工具，如何教出深度？還是引發了筆者的進一步思考。

一、從一節“數軸”新授課的觀課說起

1.關于“原點”位置

教師在講解數軸定義時，給出的數軸都是標準的圖形，即原點位于“正中”位置，后續練習時提供的數軸原點也都處在“正中”位置。從學生的畫圖和練習來看，學生都是這樣來畫數軸的。比如，教師給出一道練習題，讓學生在數軸上表示出-1和6.5這兩個數，結果很多學生畫成如圖1所示的數軸。

教師在點評或展示學生的作業時，如果能發現如圖2所示的畫法，應給予學生表揚，這將有利于學生深刻理解數軸三要素之一的“原點”。因為原點并不一定要在直線的“正中”，它只是一個基準，“基準”是一種規定，也是培養學生思維靈活性的重要機會。

2.對“單位長度”的理解

有的教師講解如何在數軸上表示[7/10]時，指出只要會表示[1/10]就好辦了，并在黑板上示范把數軸上的單位長度平分成10份，取其中的7份就可以了。該教師還借助動畫呈現如何不斷“細分單位”（如圖3），該動畫生動呈現了如何將0.1進一步細化出更小的單位長度。

上述講解方式有利于學生理解“更小”的分數（小數）的表示方法，但是筆者認為，這種方法還不能引導學生深刻理解“單位長度”的本質。比如，我們需要在數軸上表示出[710]（如圖4）。這時教師需要引導學生對照數軸定義理解圖4是否滿足定義中“規定了原點、正方向、單位長度的直線”，這樣做能加深學生對數軸定義的理解。為了鞏固學生對數軸的理解，教師還可以進一步追問學生“如何在數軸上快速標出2023與-2023”，這個練習可以鞏固學生對數軸“單位長度”的理解。

二、關于發展學生幾何直觀的幾點思考

1.教師要不斷精進對幾何直觀的深刻理解

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下稱《課標》）指出：幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣，有助于把握問題本質，明晰思維的路徑。筆者認為，對于幾何直觀的理解因人而異，且有一個不斷深入的過程。同樣對一個概念的呈現與揭示，甚至像上文提到的數軸，這樣看似簡單的概念，筆者提到的這兩處細節與教學建議，不少“老教師”都表示沒有做過深入思考。試想，如果教師缺少對這類問題的深入思考，就很難在新授課中為學生“打開一扇窗”。教師還可以多加研究多元表征理論，中學階段的函數概念的提出，正是多元表征理論的典型例證，函數可以用表格、圖像、表達式來表示，教師要有準確的理解，并在講解這些不同的表示方式時，引導學生從幾何直觀的視角進行理解。

2.數學概念新授課要重視幾何直觀的滲透

教師應注重新授課概念的不同預設方式，比如數軸的文字表示方式、圖形表示方式，包括數軸的相關概念（三要素）等；與之同類的概念教學，比如平面直角坐標系就可以類比數軸進行；再如，乘法公式的新授課，既要給出文字表示，也要給出符號表示，還可以給出乘法公式的圖形直觀。

教師在教學設計時的一個重要工作就是進行概念分析，概念分析的常用途徑是在各種問題情境中考查學生如何運用概念。以圓周角的新授課為例，當我們結合圖形定義圓周角之后，教師要引導學生對照定義學會辨識圓周角，讓學生繼續探究同弧所對的圓周角與圓心角之間的數量關系，還需分類討論不同位置關系狀態下的圓周角與圓心角之間的數量關系，這也是《課標》所提出的幾何直觀的重要內涵之一：會根據語言描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質。與上文提到的數軸的原點位置關系相關的又一處新授課教學細節，即關于“二次函數的圖像和性質”的新授課中，筆者在組織學生畫出形如y=x2-6x+15的圖像時，引導學生先將其配方成頂點式y=（x-3）2+6，明確它的頂點、對稱軸位置，再選取恰當的坐標軸位置，即可畫出更合理的圖像。

3.數學解題教學時要加強幾何直觀的演示

不少教師在數學解題教學中都會進行“一題多解”，有效培養學生思維的發散性、靈活性。

為有效發展學生的幾何直觀，在開展一題多解的解法探究時，教師要特別關注從數、形兩個角度對解法進行研究，這樣可以讓學生既感受到數式演算的嚴謹性，又能從圖形演示的角度看到問題的直觀性。在七年級上學期期末復習階段，以數軸為背景的綜合題很多，數軸的“深刻性”還體現在數軸習題的解答過程中有很多數學思想方法，首先就是數形結合（根據不同習題的解法特點，又可細化為以形助數、以數馭形、數形互助）。到八年級學習函數之后，學生又要靈活運用平面直角坐標系來研究函數問題，對學生的數形結合能力和圖形直觀能力也提出了較高的要求。另外，不少省市中考試卷中，對幾何綜合題的考查側重于補圖能力的訓練，還需要教師在解題教學時培養學生補全圖形的能力，而不是直接給出完整圖形，只讓學生完成“后半段”的解題過程，這樣不利于學生幾何直觀能力的培養，也不利于學生解題能力的提升。

（作者單位：江蘇省海安市李堡鎮丁所初級中學）