提供表達的支架，創造表達的機會

王紅菊

【摘 要】在小學階段，數學表達的長遠目標即“有條有理，有根有據”，教師應強化課堂上的數學表達，做到言之有物，言之有序，言之有理，言之有情；鼓勵學生用數學的語言進行思維的表達，在操作、對比、練習的過程中，逐步形成規范、完整、有條理的表達。

【關鍵詞】表達 操作 資源 練習

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，數學課程要培養學生的三大核心素養，其中之一便是會用數學語言表達現實世界。鄭毓信教授指出，強調數學表達有益于人們日常表達的改進或表達能力的提升。在小學階段，數學表達的長遠目標即“有條有理，有根有據”，教師應努力讓課堂上的數學表達，做到言之有物，言之有序，言之有理，言之有情。筆者將結合五年級下冊“因數與倍數”一課的課堂教學，談談培養學生表達能力的一些做法。

一、在豐富的操作中學會表達的方法

學習是一個探索未知的過程，引導學生在操作中進行體驗，在體驗中進行表達，從而有效地學習核心概念。通過操作等活動來引導學生運用數學語言表述，不僅可以訓練語言的條理性和準確性，而且也可以進一步把形象思維轉化為抽象思維。在引入“因數”和“倍數”的概念中，筆者借助“擺”長方形的過程，把圖形與算式有機結合起來，幫助學生掌握概念。

【教學片段一】

導入：今天的學習我們從拼長方形開始。這里有12個同樣大的正方形，你能用這12個正方形擺成一個長方形嗎？

1.你準備怎么擺？有幾種不同的擺法呢？

先想一想，把你的想法記錄在學習單上（如圖1），并用乘法算式表示出來。

完成的同學和同桌說一說你的擺法以及如何列乘法算式。

2.學生介紹。

學生回答：3種擺法及3個乘法算式。（語言表達完整，每排擺幾個，擺幾排，乘法算式是……）

追問：大家想的擺法和他的擺法一樣嗎？有不同的可以補充。

（課件根據學生介紹，分別呈現6幅圖3種擺法）

聚焦：每排擺4個、擺了3排與每排擺3個、擺了4排其實是同一種擺法，都可以用乘法算式4×3=12來表示。

下面的這兩個也是同一種擺法，乘法算式：6×2=12，12×1=12。

3.揭示概念：同學們，我們一起來看，以4×3=12這道乘法算式為例。

介紹：根據4×3=12，就可以說4是12的因數，3也是12的因數，12是4的倍數，12也是3的倍數。

師：請你也像我這樣，說說這幾個數的關系。

根據（ ）×（ ）=（ ），就可以說（ ）是（ ）的因數，（ ）是（ ）的倍數。

提煉：你們會說了嗎？根據乘法算式4×3=12，也可以簡單地說成4和3都是12的因數，12是4的倍數，也是3的倍數。

【評析】從12個同樣大的正方形拼成長方形的操作活動出發，學生在“思考—操作—觀察—對比”的過程中，找出得數是12的乘法算式，體會到所有的乘數都能被12整除。以4×3=12這個乘法算式為例，觀察拼成的長方形，發現擺3行4列或4行3列，正好把12個正方形拼完，也就得到了對應的乘法算式，從而揭示“因數”和“倍數”的概念，即根據乘法算式得出，乘數是積的因數，積是乘數的倍數（這里的數一般指非0自然數）。學生經歷“擺正方形”的操作過程，明晰了數與數的關系，并能在大腦中想出相應的“長方形”，根據乘法算式，熟練表達“因數和倍數”的概念。

二、借助多層資源對比凸顯表達的意圖

課堂教學要把學生、教師和教學資源有機結合，從而打造高效的課堂。而教學資源的有效利用，是教師教和學生學的有力載體。每節課的教學資源往往都是比較豐富的，教師如何對教學資源進行選擇和呈現，都將直接影響教學質量，從而也直接體現了教師的教育理念和目標，反映教師對教材的理解與應用。

【教學片段二】

提問：大家已經能根據乘法或除法算式，說清楚兩個數之間倍數和因數的關系。那你們能找出一個數的所有因數嗎？

1.找出36的所有因數。

你準備怎樣找36的因數？（列出等于36的乘法算式，或被除數是36的除法算式）

2.你有辦法找出36的所有因數嗎？

別急，請看幾個小提醒：

（1）想一想：怎樣找才能一個不漏，也不重復。

（2）寫一寫：找到之后按從小到大的順序寫下來。

（3）說一說：和同伴介紹你的方法。

3.資源交流。

（1）呈現3份學生資源，他們的方法你們都能看懂嗎？（乘法、除法、無序）

（2）這幾種尋找36的因數的方法，有什么相同之處？（從1開始，有序地找，一對對地記錄）

（3）對于他們的方法，你還有什么建議嗎？（記錄的方法）

（4）介紹方法：為了更方便地寫出36的所有因數，我們可以從1想起，根據乘法算式或除法算式，一對一對地進行記錄。

板書呈現：從兩端往中間寫：1，2， …，18，36。

追問：為什么不寫5？

4.集合圈表示：我們找到了36的所有因數，也可以這樣記錄。

板書呈現：36的因數集合圈。

5.剛剛，我們根據等于36的乘法算式，或被除數是36的除法算式，有序地找出了36的所有因數。那你們能快速并有序地找到6和15的所有因數嗎？

活動要求：

（1）想一想：怎樣快速找到6和15的所有因數。

（2）寫一寫：把6和15的所有因數有序地記錄下來。

（3）說一說：觀察幾個例子，說說一個數的因數有什么特點，和小組成員交流。

借助資源介紹，你是怎么快速并有序地找到6和15的所有因數的？

交流：一個數的因數有什么特點？（板書：最小是1，最大數是本身，個數有限）

【評析】在教學“因數和倍數”的概念后，在理解概念的基礎上，嘗試尋找36的所有因數，學生就會收集不同的資源。大部分學生都會根據“因數”的概念，利用乘法算式或者能整除的除法算式，找出36的因數，但是尋找的過程往往不一樣，結果也不同。有的學生依據以往學習經驗，能有序地進行探究；有的學生則直接根據概念想算式，從而無序地探究；也有的學生知道有序尋找，卻出現了重復或者遺漏。

這些都是學生最原始的資源。課堂上，教師要進行資源的交流與對比，讓運用每種方法的學生，說出自己的思考過程：為什么這么找？同學們是否能看懂？接著，就要進行資源的并列對比，尋找它們的相同之處，盡管學生們的方法和結果不同，但是思考的過程是否有相同之處呢？最后，教師可以充分發掘不同資源背后的思考過程，讓學生充分表達自己的思路，在觀察對比中，提煉尋找“因數”的方法。

掌握尋找“因數”的方法后，學會有序記錄，成對書寫，從而及時應用，尋找出6和15的所有因數。在進一步的觀察對比中，學生逐步感知一個數的因數有怎樣的特點。通過練習、感悟，到小組內的思維碰撞，最終完整地進行“因數”特點的表達。

三、設計趣味化的練習強化表達的思路

數學的本質是思維，思維的本質是推理，數學語言是思維的工具，而思維又離不開語言。學生在一節數學新授課中，是否真的掌握了知識，就要看其在練習中是否能用數學語言把思維表達清晰，能否把推理思考過程用嚴謹的數學語言進行表述。因此，有效的練習設計，在一節課中尤為關鍵。

【教學片段三】

練習：小明把一個數的因數和另一個數的倍數，按從小到大的順序寫在了卡片上，如果只翻其中的一張卡片，就能猜出這個數是多少，你準備先翻哪張卡片？

（1）（? ?）的因數：□、□、□、□、□。

最后一張：一個數的因數最大是自己。

中間2張：因數個數是6個，說明中間2張因數相乘就是原來的數。

追問：為什么不翻第一張？第一張一定是1。

（2）（? ?）的倍數：□、□、□、□、□…

第一張：一個數的倍數最小是自己。

追問：翻其他的卡片，能猜出原來這個數嗎？如果第二張翻出來是14，你知道這個數是多少嗎？你是怎么想的？

總結：只要熟練掌握找一個數因數和倍數的方法，了解因數和倍數的特點，就能很順利地完成任務。

接下來，我們一起來完成一項每個人都不一樣的任務。

根據自己的學號，寫出學號所對應的所有因數以及對應的倍數。

（1）找兩名學生介紹，因數的個數是有限的，倍數我們一般找5個比100小的數，也就是說，超過100可以不寫了。

（2）大家都找到了自己學號對應的所有因數，大膽猜一猜，哪個學號對應的因數最少？哪個學號對應的因數最多？（看來，不是數字越大因數就越多）

（3）知識拓展：“完美數”

請學號為6的同學起立，介紹一下6的因數。

師：知道我為什么要找“6”這個號碼？因為數字6在數學上還有個非常好聽的名字。瞧，它的所有比自己小的因數相加（1+2+3=6），和仍然是6。這樣的數，數學家們稱它為“完美數”。

還有哪些同學的學號是“完美數”呢？同學們可以試著算一算哦。

【評析】練習設計，不僅要符合一節課的教學目標，還要能突出教學的重難點，好的練習設計，往往可以幫助學生把所學的知識點進行整合、提升。通過“玩”來進行練習，學生在不知不覺中就把知識進行了融合與應用。

“翻卡片”的游戲，就是結合因數和倍數的特征設計的練習，通過翻一張卡片，來判斷一個數是多少，學生需要對因數和倍數的概念有很深的認識，同時，結合因數和倍數的特點，進行思考和判斷。在練習中，不僅是“翻卡片”，更主要的是通過“翻卡片”表達自己的思考過程：為什么翻這一張？根據翻出的卡片，又是如何判斷出原來的數的？這些問題就是把所有的知識點進行靈活應用，學生在推理的過程中，進行表達，從而外顯思維。

找“學號”的因數與倍數的練習，則是讓學生在對比中加深對“因數和倍數”的應用，通過尋找自己學號的因數和倍數，達成本課的學習目標，會找任意一個數的因數和倍數。同時，在尋找的過程中，逐步感知，并不是數字越大，因數就越多。在探究一個數的因數的過程中，進行知識的拓展，認識“完美數”。

學生的數學表達能力的培養，不是一朝一夕就能形成的，而是一個序列化的系統過程。教師在培養學生表達能力的過程中，要有清晰的目標，多樣的策略；持續的指導，把數學表達滲透在每節課中，充分利用每一個教學環節，鼓勵學生用數學的語言進行思維的表達；在操作、對比、練習的過程中，逐步形成規范、完整、有條理的表達。