基于降維理念與無量綱解法的落石沖擊力推導

王星, 霰建平, 王永東, 葉飛, 黃帥

(1.長安大學公路學院, 西安 710064; 2.中交第二公路工程局有限公司, 西安 710065;3.中交集團山區(qū)長大橋隧建設技術研發(fā)中心, 西安 710199)

隧道洞口及道路高邊坡處危巖落石災害常有發(fā)生,防護結構準確設計的核心即是準確解析落石最大沖擊力,落石沖擊力計算現已成為中外學者競相研究的熱點課題。

文獻[1]依托模型實驗提出一種落石沖擊力的半理論半經驗的計算方法。文獻[2]通過現場實驗及動量定理提出一種落石沖擊力計算方法。日本道路公團亦提出一種落石沖擊力半理論半經驗計算方法[3]。文獻[4]基于接觸理論建立了落石最大沖擊力估算模型。文獻[5]依托實驗研究落石質量、坡面坡度等相關參數對落石跳動范圍影響。文獻[6]研究分析印度Sutlej河流沿線交通走廊落石穩(wěn)定性。文獻[7]通過采用CADMA軟件預測模擬了落石沖擊特性及軌跡預測。

《公路隧道設計細則》[8]與《鐵路隧道設計手冊·隧道》[9]基于動量定理給出了一種落石沖擊力算法。文獻[10]采用理論計算及數值模擬方法,推導了落石沖擊力的彈塑性算法解。文獻[11]計算通過Hertz理論及JKR理論探究了落石最大沖擊力的計算方法。文獻[12]采用正交試驗探究了落石下落高度及墊層傾角等若干因素對落石沖擊力的影響效果。文獻[13]通過試驗及無量綱方法提出了一種落石最大沖擊力計算方法。文獻[14]通過落石沖擊棚洞模型試驗提出了一種落石沖擊力計算方法。文獻[15]采用室內落石沖擊試驗得出落石沖擊沖擊力與速度呈冪指數相關。文獻[16]采用室內模型試驗測試及數學歸納方法提出了一種落石沖擊力計算方法。文獻[17]采用理論及數值模擬方法,歸納一種落石沖擊力計算方法。文獻[18]結合數值計算與數學擬合算法,歸納出落石沖擊輸電塔結構的峰值沖擊力計算公式。文獻[19]基于Hertz彈性理論及Thornton彈塑性理論,提出一種落石最大沖擊力計算方法。文獻[20]通過3D打印方法構建5種橢球體,并聯合室內模型試驗推求出與形狀系數相關的落石沖擊力計算公式。

關于落石最大沖擊力算法研究,已有研究成果意義重大,然基于力學及數學視角探究落石沖擊力的研究成果仍略有欠缺,為此,現結合多因子降維(multifactor dimensionality reduction,MDR)降維理論推導落石最大沖擊力計算公式;基于楊其新算法探究其三角形與正弦積分修正算法;采用LS-DYNA軟件模擬落石沖擊工況,歸納楊其新算法擴大系數規(guī)律;聯合室內模型試驗及無量綱理論,提出一種落石沖擊力無量綱算法。希冀為落石沖擊力研究與防護結構設計提供借鑒與參考。

1 沖擊力代表性算法

(1)瑞士算法[2]。

(1)

式(1)中:F為沖擊力,N;ME為緩沖墊層彈性模量,Pa;R為落石等效球體半徑,m;Q為落石重量,N;H為下落高度,m。

(2)日本算法[3]。

F=2.108(Mg)2/3λ2/5H3/5

(2)

式(2)中:M為落石質量,kg;g為重力加速度;λ為拉梅常數,建議取1 000 kN/m2。

(3)隧道手冊算法[9]。

(3)

(4)

(5)

式中:V為沖擊墊層瞬時初始速度,m/s;T為沖擊持續(xù)時間,s;h為墊層厚度,m;c為沖擊壓縮波傳播速度,m/s;ρ為墊層密度,kg/m3;E為墊層彈性模量,Pa;υ為墊層材料泊松比。

(4)楊其新算法[14]。

(6)

(7)

式中:a為落石沖擊加速度,m/s2。

2 MDR降維理論推導計算

落石侵徹下部墊層土體后,球體與墊層間形成球冠接觸。結合多因子降維理念 (multifactor dimensionality reduction,MDR),首先計算接觸面某點沖擊力,擴展該點至水平圓,根據微積分思想再擴展至該點所在水平圓環(huán),通過自下而上積分,結合幾何關系與能量守恒計算沖擊力,計算模型如圖1所示。

L為最大侵徹深度;xθ、yθ為觸球冠上某點的橫、縱坐標;θmax為過球冠底部水平線與墊層表面連線的夾角;θ為過球冠底部水平線與(xθ,yθ)點連線的夾角;ys(θ)為(xθ,yθ)處墊層壓縮量;Fmax為落石最大沖擊力;Z為豎軸;O為坐標原點圖1 MDR理論模型Fig.1 MDR theoretical model

對于球心在x=0、y=R位置處的圓形,該圓在極坐標下的表達式為

ρ=2Rsinθ

(8)

式(8)中:ρ為極軸長度。

二維圓形與下部墊層平面所接觸區(qū)域任意一點的坐標(xθ,yθ)可表示為

(9)

假定落球最大侵徹深度為L,接觸球冠上某點(xθ,yθ)處墊層壓縮量為ys(θ),則ys(θ)可表示為

ys(θ)=L-2Rsin2θ

(10)

侵徹深度值L可用落球底部與墊層上表面邊緣最大夾角θmax為

L=2Rsin2θmax

(11)

聯立式(10)和式(11),可得

ys(θ)=2R(sin2θmax-sin2θ)

(12)

此時依據微元條分積分原理,可得落石最大沖擊力Fmax表達式為

(13)

式(13)中:l為圓環(huán)高度;kF為下部墊層結構法向剛度,表達式為

(14)

聯立式(9)～式(14)可得

(15)

對式(15)進行積分計算后,可得

(16)

落石侵徹墊層后的能量耗散Wd可表示為

(17)

則有

(18)

對式(18)進行積分后可得

(19)

根據能量守恒原理,則有

(20)

聯立式(19)和式(20),通過給定初始沖擊速度V,即可求得θmax、L、Fmax值。

3 理論與數值計算修正

3.1 最大沖擊力分析

落石沖擊坡面動力過程如圖2所示。假定沖擊坡面前速度矢量為Vc,沿平行、垂直于坡面依次分解為vq1與vf1,沖擊回彈后落石速度矢量為Vt并分解為vq2與vf2,落球沖擊坡體持續(xù)時間為T,坡體傾角為β,f(t)為沖擊力隨時間變量。

G為落石重力;F為落石沖擊力;α為落石沖擊入射速度與坡面法向的夾角圖2 落石侵徹坡面Fig.2 Rockfall penetratingslope

考慮重力因素對落石沖擊力影響,若重力沖量為IG,則有

IG=Mgcosβ×T

(21)

根據沖量定理,則有

(22)

ξn為落石沖擊坡面土體的法向回彈系數,按式(23)計算,具體取值參考文獻[16]。

(23)

(24)

聯立式(21)～式(24),落石沖擊力修正算式為

(25)

落石以自由落體運動形式沖擊坡面時,其最大沖擊力修正算法為

(26)

3.2 沖擊力擴大系數推算

3.2.1 三角形修正算法

據Azzoni沖擊力模型,可將落石沖擊力曲線近似為等腰三角形,據沖量守恒原則,矩形面積SJ與三角形面積SS相等(圖3),則有

圖3 三角形修正Fig.3 Triangle correction

(27)

落石最大沖擊力的三角修正算法為

(28)

3.2.2 三角函數修正

采用正弦曲線模擬沖擊力曲線。據沖量守恒定律,平均沖擊力沖量與實際沖擊力形成的沖量相等(圖4),則有

圖4 正弦修正Fig.4 Sine correction

(29)

由于f(t)滿足正弦變化規(guī)律,則有

f(t)=Fmaxsin(ωt)

(30)

正弦曲線存在等式為

(31)

式(31)中:ω為正弦曲線角速度;t為時間;T*為正弦曲線周期。

聯立式(29)～式(31),可得

(32)

化簡后則有

(33)

即落石最大沖擊力的正弦修正算法為

(34)

3.2.3 落石最大沖擊力數值計算

構建落石沖擊墊層的動力計算模型,尋求沖擊速度與擴大系數相關關系。采用LS-DYNA動力顯式計算軟件,墊層尺寸為長×寬×高=6.0 m×6.0 m×2.5 m,落石半徑取0.4、0.6、0.8、1.0 m,下落高度取5、10、15、20、25 m,對應沖擊速度為9.899、14.000、17.146、19.799、22.136、24.249 m/s。落石采用Rigid剛性模型,墊層土體采用Drucker-Prager彈塑性計算模型。落球與墊層間采用面-面接觸,墊層底部設置全約束,墊層四周面設為無反射邊界。沖擊時間取為0.5 s,設置100計算步。落球為864個單元,墊層為90 000個單元。重力加速度取9.8 m/s2。計算模型如圖5所示,計算參數如表1[16,21]所示。

表1 模型計算參數Table 1 Model calculation parameters

圖5 數值計算模型Fig.5 Numerical calculation model

圖6為落球半徑0.6 m,下落高度為20 m時墊層內部應力云圖。由圖6可見,在落球瞬態(tài)沖擊作用下,墊層內部即形成快速的應力響應狀態(tài),且有明顯的應力集中趨勢。隨沖擊時間推移,正下方應力范圍逐步向外震蕩擴散。

圖6 墊層應力分布云圖Fig.6 Cloud chart of cushion stress distribution

圖7為落石半徑1.0 m時加速度變化曲線。由圖7可見,各計算工況下加速度曲線呈同頻變化趨勢,各曲線整體滿足脈沖式變化規(guī)律。隨落球沖擊高度增大,加速度峰值逐步增加,而峰值加速度時間則逐步縮短。當下落高度由5 m增加至25 m時,加速度峰值依次為190.313、224.997、254.100、262.070、268.581 m/s2,即下落高度增至一定程度后,加速度峰值基本呈平穩(wěn)狀態(tài)。各計算工況下落球加速度如表2所示。

表2 沖擊力模擬值及擴大系數Table 2 Impact force simulation value and expansion coefficient

圖7 加速度數值計算曲線Fig.7 Acceleration numerical calculation curve

根據表2的數值計算統計數據,繪制落石沖擊速度與擴大系數散點圖,如圖8所示。由圖8可知,針對不同落石半徑,沖擊力擴大系數擬合曲線變化規(guī)律基本類似,隨沖擊速度增加,擴大系數逐步緩和。采用指數函數進行曲線擬合,可得出4種落石半徑下的λ-V關系式為

圖8 速度-沖擊力擴大系數擬合關系Fig.8 Fitting relationship between velocity impact force amplification coefficient

(35)

綜合考慮式(35)所給4種λ-V關系,確定以式(36)表征沖擊速度V與擴大系數λ關系。

λ=9.756V-0.499 54

(36)

聯立式(26)和式(36),求得落石最大沖擊力的數值計算修正算式為

(37)

4 最大沖擊力量綱分析法

4.1 沖擊力量綱分析

針對影響落石最大沖擊力的4項因素構建落石沖擊力的無量綱算法公式,包括落石質量M、墊層彈性模量E、墊層厚度h、沖擊速度V、速度與坡面法向夾角為α。

關于落石沖擊速度,文獻[13]結合試驗數據得出沖擊力F與V4/3成正相關,文獻[15]通過試驗得出F與V1.85成正相關。隧道手冊算法基于動量定理得出F=MV/t,表明沖擊力與速度1次方成正相關。楊其新算法基本采用動量定理表達式,其沖擊持續(xù)時間受下落高度影響,通過代入實際工況參數,0.045/H變量基本對沖擊持續(xù)影響可近似忽略,即沖擊力基本與速度1次方成正相關。日本和瑞士算法均表明沖擊力與下落高速H3/5相關,亦即與V6/5成正相關。

針對落石質量參數M,文獻[13]與日本算法均表明沖擊力F與M2/3相關,國內算法均表明F與M的1次方相關。日本公式表明F與拉梅系數λ2/5相關,根據式(1)得F與E2/5相關。隧道手冊算法表明F與時間T成反比,而T與E1/2成反比,即F與E1/2成正比。文獻[13]表明F與E1/3相關。

隧道手冊算法表明沖擊力F與墊層厚度h呈正相關,存在一定準確性。日本算法、瑞士算法均未考慮參數h影響。此處參考楊其新室內試驗研究數據[14],擬合h-F關系(圖9),歸納出F與h-0.25相關,可見隨墊層厚度逐步增加,h值對沖擊力影響逐步減小。

圖9 h-F擬合關系Fig.9 h-F fitting relationship

基于上述分析提出一種落石沖擊計算無量綱表達式為

F=CM2/3E2/5h-1/4(Vcosα)3/2

(38)

為了待定系數C,并驗證式(38)的可靠性,本文研究設計一套室內模型試驗系統。

4.2 試驗驗證

采用自主設計的落石沖擊棚洞結構相似模型試驗裝置,裝置包括3個系統:門框式落球起吊系統、框架式棚洞系統、數據采集系統,如圖10所示。

比例尺為1∶10圖10 幾何相似室內模型試驗Fig.10 Geometric similarity indoor model test

試驗參照一定幾何相似比CS展開研究,模型試驗遵循的相似原則[21]為

CE=Cσ=Cε=1

(39)

式(39)中:CE、Cσ、Cε分別為彈性模量、應力、應變相似比。

模型試驗遵循的能量相似比CN為

(40)

式(40)中:JS、JM為實際與模型試驗沖擊能量。

根據Muraishi等[22]統計記載日本某鐵路干線在1987-1997年間的落石情況調查,發(fā)現落石沖擊能量小于1 000 kJ的落石工況占90%以上。結合上述分析,本文擬定模型試驗相似比為1∶10,由此通過模型試驗中100 J能量模擬實際工況1 000 kJ能量。

鐵球密度7 859 kg/m3,質量為5.52 kg,頂板采用C30混凝土模筑而成,長×寬×厚=130 cm×49 cm×4 cm。頂板兩側采用鋼化玻璃防護。加速度計固接于落球正上方,采用日本TMR-381型動態(tài)信號采集儀,圖10所示。針對不同下落高度、墊層厚度開展試驗,下落高度取1.0、0.8、0.6、0.4 m,砂土墊層厚度取12、10、8、6 cm,沖擊力測試結果如表3所示。

表3 沖擊力實測值與計算值Table 3 Measured and calculated values of impact force

據式(38)及試驗值,令χ=M2/3E2/5h-1/4×(Vcosα)3/2,將F-χ關系繪制散點圖,如圖11所示。判斷沖擊力系數C靠近值0.136,確定式(41)為沖擊力最終算式。再次采用式(41)計算落石沖擊力,通過對比試驗測試值,驗證了該式具備一定可靠性。

圖11 量綱法系數擬合Fig.11 Dimensional method coefficient fitting

F=0.136M2/3E2/5h-1/4(Vcosα)3/2

(41)

5 算例驗證

5.1 依托工程沖擊力對比計算

西寧至成都鐵路群科隧道洞口工程,自然坡度為60°～70°,局部基巖出露,為晚二疊系西馬組板巖夾變質砂巖夾灰?guī)r,洞口上方山體高陡,基巖裸露,巖石凸起,巖質較堅硬,發(fā)育多組節(jié)理,巖塊易沿節(jié)里面崩落,危巖、落石發(fā)育。陡坡上巖塊易沿節(jié)理崩落,屬于不穩(wěn)定巖體,存在危巖、落石隱患,部分落石滾落方向朝向洞口,對隧道洞口及橋墩直接構成威脅,隧道出口斜坡下部堆積大量塊石及碎石,一般粒徑為0.4～2.0 m。現場考慮以洞口上方粒徑1.6 m落石作為控制災害工況,沖擊速度極限值按24 m/s考慮,落石密度按2 450 kg/m3考慮,對應沖擊能量為1 512.505 kJ,考慮8、12、16、20、24 m/s計算工況,墊層計算參數參照表2,計算落石最大沖擊力,為防護結構設計提供參考。

圖12為針對控制性落石在各沖擊能量情況下最大沖擊力計算結果。由圖12可見,MDR理論算法、三角形修正算法、正弦修正算法、數值模擬算法以及無量綱算法結果整體具備一定的吻合性。相較而言,瑞士、日本算法結果適度偏高,這或可能由于二者在計算時均未考慮墊層參數影響所致。楊其新算法結果整體相對偏低,這是由于該算法是計算整個沖擊時間內的沖擊力,所得沖擊力并非沖擊力峰值。墊層材料對落石沖擊力影響較大,碎石土墊層情況沖擊力最高,砂土墊層次之,黏土墊層最小。沖擊能量越小,各算法結果吻合度愈高。在砂土墊層情況下,沖擊速度為24 m/s時,瑞士、日本算法值依次為6.12、5.57 MN,本文所給5種算法值維持在2.21～3.45 MN,約為瑞士算法1/2,為日本算法的2/3。以下再采用野外實際沖擊災害驗證本研究算法。

圖12 落石沖擊力對比計算Fig.12 Comparison and calculation of rockfall impact force

5.2 Pichler野外落石沖擊驗證

為探究落石最大沖擊力,Pichler進行了野外巨石沖擊試驗,試驗落石質量為10 160 kg,等效直徑d=1.63 m,沖擊速度為6.26 m/s(工況1)、12.95 m/s(工況2)。再采用18 260 kg落石,等效直徑1.99 m,沖擊速度為13.00 m/s(工況3)、19.14 m/s(工況4)、19.23 m/s(工況5)。現場采用分層壓實砂土墊層,尺寸為長×寬×高=25 m×4 m×2 m,密度為1 800 kg/m3,緊砂墊層彈模取67 MPa。泊松比為0.17。現針對上述試驗進行對比計算。

表4為Pichler試驗與本文各算法結果對比情況,圖13為相應統計圖。由圖13可見,瑞士算法、隧道手冊算法結果適度偏高,本文研究中各算法結果與Pichler試驗結果吻合度較好,特別是MDR算法、無量綱算法、日本算法結果均與Pichler試驗結果高度吻合,驗證本文算法具備一定可靠性。

表4 Pichler試驗工況各算法解Table 4 Algorithm solutions of pichler test condition

圖13 Pichler試驗結果-各算法解對比Fig.13 Pichler test results-comparison of solutions of each algorithm

5.3 徹底關大橋野外沖擊災害驗證

徹底關大橋位于四川省汶川縣境內,為國內最長拼裝鋼架橋。2009年7月5日05:00左右,連續(xù)降雨導致橋墩附近坡體產生崩塌,巨石沖擊下部橋墩后致橋面垮塌。經事故調查:撞擊巨石質量為M=148 000 kg,密度ρ=2 850 kg/m3,沖擊速度V=11.5 m/s,落石彈性模量為83×109Pa,橋墩彈性模量為20×109Pa,橋墩厚度為1.5 m,橋墩抗折斷強度為25 MN[13]。

將上述參數代入式(41)進行計算,解得最大沖擊力的無量綱算法值為174.5 MN。通過式(16)解得沖擊力得MDR算法值為132.5 MN,可見兩算法結果較接近,且以該沖擊力可輕易摧毀橋墩結構,驗證本文算法可在野外環(huán)境進行計算應用。

6 結論

采用室內試驗、數值模擬及理論推導探究落石最大沖擊力算法,得出如下結論。

(1)根據落石侵徹墊層土體的受力及幾何關系,聯合能量守恒定理,推算落球最大沖擊力的MDR理論算法。

(2)以楊其新算法為基礎,推導了落石最大沖擊力的三角形修正算法、正弦修正算法、數值模擬修正算法。

(3)根據落石沖擊墊層中所涉及參數,推算落石沖擊力與M2/3、E2/5、h-1/4、(Vcosα)3/2呈相關關系,通過室內試驗歸納無量綱算法表達式。

(4)通過依托工程計算,5種算法整體具備一定吻合度與可靠性。日本、瑞士算法結果或適度偏大,國內算法則適度偏小。

(5)依托Pichler野外沖擊試驗、徹底關大橋沖擊災害,驗證本文算法可靠性。