基于二階錐凸松弛的海上風電場內部無功優化

張磊,姜貞強,倪佳華,周胡,陸艷艷,項基

(1.中國電建集團華東勘測設計研究院有限公司,杭州市 311122;2.浙江大學電氣工程學院,杭州市 310027)

0 引 言

能源是人類發展的最基本條件。隨著經濟社會的不斷發展,人類對于電能的需求日益增長。煤、石油等不可再生能源的開發和使用,在為人類帶來經濟效益和便捷生活的同時,也給自然環境帶來嚴重的污染和破壞。2021年4月22日,習近平主席在北京的“領導人氣候峰會”上談到中國將嚴控煤電項目,將“雙碳”目標納入生態文明建設整體布局[1-3]。

新能源開發與使用對推進電網的發展以及保護環境起到了不可替代的積極作用,是實現能源可持續發展戰略,實現“雙碳”目標的必由之路[4]。在新能源發電領域,風力發電成為僅次于水力發電之后最成熟、最具有開發潛力和最具商業化發展的發電方式[5]。其中,海上風電由于資源豐富、風速高、紊流小、發電量大,且不占用土地[6],已在全球范圍內實現規模化應用[7-9]。隨著風電滲透率的提高,風電將會對電力系統的安全、穩定和經濟運行帶來不可忽視的影響[10-13]。

海上風電場的規劃、運行和調度,主要從電網可靠性角度來進行[14-18],較少從優化角度來確定風電場外送容量。由于風機有功運行在最大功率跟蹤模式,海上風電場的經濟運行不再是通常的經濟調度問題,而是一個最優潮流(optimal power flow,OPF)問題——確定各風機最佳無功出力以最小化有功損耗。

OPF問題除了輸電線路采用直流潮流方法來近似求解潮流優化外,一般性交流電網的潮流優化問題仍然是一個難以在多項式求解時間內求解的高度非線性、非凸優化問題[19-20]。對海上風電場的出力優化,啟發式算法是較常采用的一類求解算法。文獻[21]考慮電源、設備和過程等多約束條件,以經濟性最優為目標,構建了風電場優化調度多目標數學模型;文獻[22]以系統總成本最小化為目標,建立了基于多模式、雙目標的調度模型,通過最優解集,為決策者提供效益最大化策略;文獻[23]利用粒子群算法優化風電場內部無功,以最小化系統網損;文獻[24]提出基于改進粒子群算法的海上風電并網優化算法。這些以神經網絡為代表的啟發式等機器學習方法,其缺陷是容易陷入局部最優,所得到的最優解不一定為全局最優。

得益于數學優化方法的進步,近年來出現了將原OPF問題松弛為凸優化問題再進行求解的方法[25]。凸松弛方法的主要思想是首先進行變量替換,其次將部分非凸約束進行松弛形成關于新變量的凸優化問題,進而求解凸優化問題的全局最優解。在精確松弛的情況下,可保證在多項式求解時間內獲得原問題的全局最優解。所以,如何實現精確松弛是OPF問題求解的關鍵,常用的松弛方法一般有二階錐規劃 (second order cone program,SOCP) 松弛、二次凸松弛和半正定規劃松弛。

目前,基于凸松馳的OPF問題主要應用在輸電網和配電網側,在風電場內部的無功優化上還鮮有應用。文獻[26]利用凸松馳方法進行靜態同步補償器布點和容量規劃優化。文獻[27]利用二階錐松弛技術優化新能源及負荷的不確定性接入對電力系統的影響。文獻[28]則利用二階錐規劃優化主動配電網潮流。

因此,圍繞海上風電場的經濟穩定運行,本文基于二階錐松弛技術建立了風電場的最優潮流凸松弛模型,在各風機有功輸出最大情況下,優化其無功輸出,以最優線路損耗為目標,實現總出力的最大化。

本文首先簡要介紹最優潮流問題及二階錐凸松弛方法;然后以132節點的舟山普陀風電場為實例引入海上風電場的數學優化模型,推導出基于二階錐凸松弛的海上風電場靜態工況出力優化數學模型;最后在舟山普陀風電場實際應用場景中設計算例,在四種不同工況條件下,與不進行優化的算法結果相對比,說明所提的基于二階錐凸松弛的海上風電場靜態工況出力優化算法的優勢。

1 最優潮流問題和二階錐松弛原理

1.1 最優潮流問題

最優潮流問題是電力系統中最常見的一類優化問題,是指在滿足系統穩定運行和安全約束等電力網絡物理約束的前提下,通過控制相關電力器件調整發電機或負荷的相關參數,使得系統總發電成本、總網損等目標函數達到最優。最優潮流問題的目標函數或約束方程通常是非線性的,優化變量可能是連續的也可能是離散的。最優潮流問題標準形式如下所示:

(1)

式中:u,x為優化變量;f(u,x)代表優化目標函數;g(u,x)表示等式約束;h(u,x)是不等式約束。最優潮流問題中的變量用于表征電力系統的運行狀態,一般有:節點電壓幅值和相角,節點注入有功功率和無功功率變量。

然而,由于二次潮流約束帶來的非凸性,OPF問題是一個難以精確求解的非凸優化問題,在求解過程中容易陷入局部解。因此,OPF問題的高效求解依賴于凸優化理論的進步。

1.2 二階錐凸松弛

凸松弛方法的主要思想是通過變量替換將部分非凸約束松弛成關于新變量的凸優化問題,進而求解凸優化問題的全局最優解。

采用凸松弛方法進行優化求解效率較高,且在精確松弛的情況下,可保證在多項式求解時間內獲得原問題的全局最優解,其中以二階錐規劃松弛為代表的凸松弛技術目前在OPF問題求解上得到了廣泛的應用。

二階錐規劃作為一種特殊的凸優化問題,具有如下的數學表達式:

(2)

式中:x為優化變量;Ai為二階錐約束系數。二階錐規劃介于線性規劃和半定規劃之間,屬于凸優化問題。當Ai=0時,二階錐規劃問題變成了一個線性優化;當ci=0時,二階錐規劃問題變成了一個二次約束二次規劃問題。

2 海上風電場建模

2.1 海上風電場模型

舟山普陀風電場的63臺風機排布如圖1 (a)所示,其為仿射型結構。通過抽象建模可以得到132節點的電氣拓撲結構圖,如圖1 (b)所示,其呈現出樹狀圖結構。樹狀圖中的點代表系統中節點的集合,圖中的線代表系統中連接相鄰節點的線路集合。現定義N={1,2,…,n}為節點的集合,E={(i,j)|i,j∈N}為線路集合,樹狀圖的根節點代表變電站節點,節點類型為平衡節點,用序號132進行表示。將舟山普陀風電場中各個電力系統元件等值成相應的數學模型,從而建立海上風電場輻射狀電力系統數學模型。

圖1 舟山普陀風電場布局和拓撲Fig.1 Topology of Zhoushan Putuo wind farm

接下來將從目標函數、等式約束和不等式約束三個方面建立海上風電場潮流優化數學模型。

2.2 目標函數

海上風電場最優潮流問題的目標函數是最大化海上風電機組的凈發電量,由于各風機最大有功出力是確定的,所以問題在于改善潮流,減少線路有功損耗,使海上風電場并網容量最大,目標函數為:

(3)

2.3 約束條件

電力系統的優化模型約束條件主要涉及潮流約束、能量約束、電壓約束以及各電源的出力約束;此外,還需要考慮電力系統的網絡拓撲、接線方式等。最優潮流問題的等式約束通常為非凸的潮流方程,對于一個n節點的網絡,用極坐標的形式來描述:

(4)

該潮流方程等式約束聚焦于每兩個節點所連接線路上的潮流方程,通過線路上潮流關系以及節點能量守恒定律構建等式約束。其中線路上流過的功率為電壓與電流共軛的乘積,非凸性來源于電壓與電流共軛的乘積。線路電流與所連接的節點電壓之間滿足歐姆定律。此最優潮流模型為支路潮流模型,如圖2所示。

圖2 潮流模型Fig.2 Power flow model

將支路潮流模型的潮流等式約束方程式(4)簡寫成如下數學形式:

(5)

(6)

考慮最優潮流過程中所涉及的電網穩定要求與安全裕度,不等式約束主要包括各線路傳輸功率容量限制、各節點電壓模值范圍、無功設備容量及風機出力等內容。

對于每個節點的穩態電壓幅值限制約束,平衡節點的電壓標么值通常固定為1 pu,除此之外的其他節點電壓幅值應該保持在基準電壓值的附近,電壓幅值上界規定為1.05 pu,下界規定為0.95 pu。每個發電機節點發出的有功和無功功率受容量限制約束,無發電機的負荷節點的發電功率規定為0。

2.4 完整優化模型

通過建模,針對支路潮流模型,該優化問題的數學表達式為:

(7)

對于節點注入模型而言,該優化問題的數學表達式如下:

(8)

對于支路潮流模型,松弛前的海上風電場出力優化問題為等式(4)和式(6)約束的,以式(3)為目標函數的優化問題;對于節點注入模型,松弛前的海上風電場出力優化問題為等式(5)和式(6)約束的,以式(3)為目標函數的優化問題。

2.5 優化模型二階錐凸松弛

海上風電場數學優化模型中的非線性等式約束,使得最優潮流問題為一個非凸非線性的優化問題。為了在多項式求解時間內求解該優化問題的全局最優解,采取二階錐凸松弛方法,對非凸約束進行處理,將非凸問題轉換為凸優化問題,從而通過求解松弛后的優化問題獲得潮流優化解。

二階錐凸松弛過程為:首先對變量和約束進行相應變換,其目標是將非凸潮流等式方程變成凸形式并進行相應優化求解。在變換過程中,可以將變量或相應約束條件進行松弛,將優化模型轉換為凸優化問題,從而求解全局最優解。這種松弛方式雖然擴大了約束可行域,但是在精確松弛的情況下,可以在原可行域邊界上得到原問題的最優解。

對于節點注入模型,定義變量Wii和Wij分別表征節點i的電壓幅值變量的平方項和相鄰節點之間電壓變量的乘積項,用數學形式表達為:

(9)

利用新定義的變量替換等式潮流約束式(5)中的電壓變量,將節點注入模型等式潮流約束變化為如下形式:

(10)

雖然式(10)解決了等式潮流約束的非凸性,但是模型中的非凸性仍然存在,對于非凸等式約束式(9),利用二階錐凸松弛技術,松弛為如下不等式約束:

WiiWjj≥|Wij|2

(11)

則可以將非凸等式(9)進行二階錐凸松弛得到如下二階旋轉錐,如圖3所示。

圖3 二階錐Fig.3 Second order cone

對于支路潮流模型,引入如下變量:節點電壓幅值平方vi和線路電流平方lij。對于等式潮流約束式(4),方程左右兩邊通過共軛取平方的數學變化,利用節點電壓平方和線路電流平方變量將原始約束中的電壓電流變量進行替換,從而將潮流等式約束表示為:

vilij=|Sij|2

(12)

(13)

將非凸等式約束式(12),利用二階錐松弛技術,松弛為如下不等式:

vilij≥|Sij|2

(14)

其將節點電壓模值平方、線路電流平方與線路復功率變量約束在二階旋轉錐中,從而構建海上風電場的二階錐凸松弛模型。該模型通過消除電壓電流中的相角信息,將潮流約束松弛為節點注入功率與節點電壓平方以及節點注入功率與線路電流平方的關系。在輻射型網絡拓撲中,采用反證法可以證明當負荷節點有功功率與無功功率無上界時,該二階錐松弛為精確的,即該松弛在最優解處取到等號,因此稱為精確凸松弛[29]。

對于支路潮流模型,經過二階錐凸松弛后的最優潮流問題為:

(15)

對于節點注入模型,經過二階錐凸松弛后的最優潮流問題為:

(16)

對于支路潮流模型,海上風電場靜態工況最優潮流問題為受式(6)、式(13)和式(14)約束的,以最小化網損為目標函數的優化問題;對于節點注入模型,海上風電場靜態工況最優潮流問題為受式(6)、式(10)和式(11)約束的,以最小化網損為目標函數的優化問題。利用二階錐凸松弛技術,可快速實現優化求解,同時具有良好的收斂性能,保證解的可行性。

2.6 松弛變量還原過程

對于支路潮流模型,二階錐凸松弛方法通過引入節點電壓模值的平方與線路電流模值的平方,消除電壓電流的相角信息,將潮流約束松弛為節點注入功率與節點電壓平方以及節點注入功率與線路電流平方關系。松弛變量為節點電壓模值平方變量以及線路電流模值平方變量,需要恢復成原始最優潮流問題的優化解。具體需要恢復的變量為節點電壓模值、相角信息和線路電路模值信息,其中節點電壓模值與線路電流模值均可以通過對節點電壓模值平方與線路電流模值平方分別進行開根號處理,即可得到節點電壓模值與線路電流模值,對于節點電壓相角信息,即恢復線路兩端電壓差的相角信息,恢復過程如下:

(17)

式中:βij為線路兩端電壓的相角差,通過定義根節點的電壓相角信息為零,可依此恢復其余節點的電壓相角信息。

對于節點注入模型,松弛變量還原過程同理,不再贅述。

圖4抽象展示基于二階錐凸松弛的海上風電場靜態工況出力優化算法流程。首先根據海上風電場的電氣結構圖建立標準電氣模型,對相關參數進行等效計算,簡化為IEEE標準拓撲結構圖;其次根據標準模型建立潮流優化數學表達式(7)、(8),再對普通潮流優化模型進行二階錐松弛得到凸優化模型式(15)、(16);然后用求解器解凸優化模型得到最優解;最后根據式(17)把松弛變量還原。

圖4 算法流程圖Fig.4 Algorithm flow chart

3 算例分析

3.1 模型基礎

對于前述所提出的海上風電場靜態工況二階錐凸松弛最優潮流數學模型進行算例仿真測試與分析,選取的測試場景為舟山普陀風電場。仿真實驗在CPU主頻為3.2 GHz的第五代英特爾處理器電腦上進行,其存儲內存為8 GB。采用Matlab 2019軟件并嵌套YALMIP工具箱,構建二階錐凸松弛最優潮流模型。在求解時,采用Gurobi求解器來求解最優潮流問題。

舟山普陀發電場主要包括如下電力系統元件:63臺風力發電機組,每臺額定容量4 000 kW;35 kV/220 kV主變壓器以及220 kV/35 kV降壓變壓器的變壓器類元件;海底電纜、電力電纜以及高壓陸上架空線的導線類元件和動態無功補償裝置。風力發電機發出有功功率和無功功率,通過海底電纜和架空線傳輸到并網點,向電網提供能量。

每臺風力發電機建模成發電機節點,可以向系統提供有功功率以及無功功率。變壓器元件依據實際工程文件中的阻抗電壓、短路損耗、額定容量和額定電壓數據計算出相應的電阻值與電抗值。導線類元件通過工程文件中導線長度乘以單位長度的阻抗值,得到每條導線的電阻與電抗值。線路阻抗見附錄表A1。動態無功補償裝置可以為系統最多提供或吸收30 MVar的無功功率。

舟山普陀風電場建模如第2節所述。設節點132為平衡節點。在進行潮流優化時,所有變量均是以標么值進行計算,系統功率以100 MVA為基準值進行標么化,電壓變量模值的標么化基準值為220 kV。風速信息如圖5所示,為某一歷史時刻每一臺風機上的測速裝置記錄得到。根據風機廠家的技術文件,風機的額定最大風速為12 m/s,其風速和輸出功率近似為線性關系,即風機實際輸出功率和額定最大功率之比等于實際風速與額定最大風速之比(Pi/Pmax=ei/emax)。

圖5 各風機風速Fig.5 Wind speed of each turbine

3.2 結果對比

為表明所提基于二階錐松弛的凸優化算法優勢,將其與經典的內點法優化算法[30]、啟發式的粒子群優化算法[31]進行了對比。

表1為總有功輸出和網損對比,風機實際總有功輸出為218.59 MW,在無任何優化的情況下,有功網損為0.98 MW,并網點輸出有功功率為217.61 MW。粒子群算法優化結果網損下降并不明顯,只減少了0.02 MW至0.96 MW。內點法優化算法和粒子群優化算法結果不相上下,稍優于粒子群算法,有功網損減少0.01 MW。本文所提的優化算法結果中網損下降0.55 MW(56.1%)至0.43 MW。

表1 優化結果對比Table 1 Comparison of optimization results

基于粒子群算法、內點法和本文所提基于二階錐松弛的凸優化算法的各風機和無功補償設備的無功輸出值如圖6所示。

圖6 無功出力優化結果對比Fig.6 Comparison of reactive power optimization results

未優化、基于粒子群算法優化、內點法優化和本文所提基于二階錐松弛的凸優化算法的各節點電壓如圖7所示。其中132節點為平衡節點,其電壓始終保持在1 pu,未優化前其余節點電壓都小于1 pu,而基于粒子群算法、內點法和本文所提算法的各節點電壓都大于1 pu,但是因潮流問題的非凸性,基于粒子群算法和內點法的優化均陷入了局部最優值,其優化結果提升并不明顯,本文所提基于二階錐松弛的優化結果取得了全局最優解,其優化效果明顯。

圖7 節點電壓幅值優化結果對比Fig.7 Comparison of voltage magnitude optimization results

4 結 論

本文提出了風電場靜態工況下的最優潮流凸松弛模型,重點研究風電場在風速一定情況下潮流優化所涉及的約束條件以及目標函數等方面的內容。通過二階錐凸松弛數學優化方法,改善潮流,減少線路有功損耗,建立使海上風電機組凈發電量最多的最優潮流數學算法。在舟山普陀風電場的真實算例中,將其與粒子群算法、內點法潮流優化算法進行了對比,表明了基于二階錐凸松弛的海上風電場靜態工況出力優化算法的優勢。

本文所提算法的應用場景和缺陷:受二階錐松弛精確性的限制,本文所提優化模型只適用于仿射網絡。目前的海上風電場或大型新能源發電基地中,仍是以仿射狀拓撲為主,所提模型和算法可以被廣泛應用。對于存在拓撲環路的網絡,需注意算法解的松弛是否依然精確。

未來研究方向:本文研究了靜態風速下的無功優化問題,而實際風電場的風速是復雜而多變的,后續將考慮風速動態變化下的風電場無功優化,尋求一段時間內潮流最優,更加貼近實際需求。

附錄A

表A1 海上風電場線路阻抗參數Table A1 Offshore wind farm line impedance parameters.