基于有限差分法的一維電主軸熱態特性分析

丁卓琛,沈沐霖,趙仕安,趙東方

(中國石油大學(華東),山東 青島 266580)

0 引言

電主軸是數控機床的三大核心部件之一,同時也是主要熱源之一[1]。數控機床的加工精度很大程度上取決于電主軸的熱態特性,研究表明熱誤差是數控機床的最大誤差源,占總誤差的 40%～70%[2]。因此,電主軸熱態特性分析對減緩精度損失具有重要意義,相關研究具有較高的科研與工程價值。

熱態特性是指系統的熱力學參數,包含溫度、熱變形、熱應力等,本文的研究對象為電主軸軸向溫度場分布。為了獲取其一維特性,需要對三維模型進行一維化。一維化的核心在于把截面的相關參數等效到一個節點處,形成一個沿軸向線性分布的點集,通過研究各節點之間的熱傳遞從而推導出一維主軸軸向的溫度分布。目前,對于一維溫度場的研究方法主要分為解析法和數值法,其中數值法主要包括有限差分法、有限元法、神經網絡法。

目前,國內很多學者都對電主軸熱態特性進行了分析與研究,有其獨到之處,但也存在一些不足。天津大學的姜杉等[3]在不考慮主軸與周圍空氣熱交換的情況下對傳熱方程進行簡化,將非齊次偏微分方程轉化為齊次形式進行求解,但簡化本身存在一定誤差,同時對邊界條件提出了更高要求。西安交通大學的顏宗卓等[4]將熱源測點溫度變化量與響應函數進行卷積積分來估算電主軸系統的溫度分布,模型的精度與實驗數據的數量和準確性有關,對硬件條件要求高。哈爾濱理工大學的李寶偉[5]基于RNN神經網絡建立了電主軸熱特性模型,訓練樣本對神經網絡的質量起決定性作用,為獲取精確模型往往需要大量數據支撐;尹相茗[6]將簡化后的電主軸模型導入Workbench進行了穩態熱分析,結果較為精確但建模過程復雜。蘭州理工大學的王志強[7]利用Mechanical APDL對于電主軸的穩態和瞬態溫度場進行研究,通過二維單元對三維模型進行簡化,但步驟仍過于繁瑣。

對于溫度場的研究,科研和工程實踐中廣泛應用ANSYS Mechanical APDL和Workbench 作為分析工具,但是針對于一維問題在某些方面仍存在不足。具體來說:Mechanical APDL中沒有針對于一維梁單元設置熱力分析單元,為了進行相關分析,可采用一維桿單元Link 33、Link 34替代,但不能考慮截面形狀、面積以及材料的比熱容,經檢驗結果存在偏差。Workbench通過將三維模型劃分為若干單元體進行分析,其仿真精度高,但需對結構進行建模,獲取一維特性的經濟、時間成本較高。

有限差分法通過迭代進行運算,與有限元法相比計算速度快,對計算機性能要求低,與神經網絡法相比步驟簡單、適應性強。本文從理論分析出發,借助傳熱學相關理論,對主軸進行一維化處理與結構劃分,建立了一維主軸溫度場模型,基于有限差分法實現數值計算。計算過程中僅涉及代數方程求解,運算速度快,對于不同的電主軸僅需更改相關參數設置,實現了對于一維電主軸溫度場的快速、適用性強的計算分析,可為電主軸設計和工程應用提供參考。

1 熱源分析及計算

電主軸內部有兩大熱源:內部電機和兩端軸承。為了獲得主軸溫度分布規律,需要對熱源產熱量進行計算,從而獲得內部熱源的發熱率。

本文研究對象為額定功率30kW的電主軸在其額定轉速9 900r/min下的溫度分布情況。

1.1 內部電機生熱

電主軸內部普遍采用三相交流電動機,電機產生的熱量可以從功率或能量損耗的角度分析,理論上認為輸入功率全部轉化為驅動電主軸運轉的能量,但是實際上存在機械損耗、磁損耗、電損耗和附加損耗,故電機是存在一定機械效率的。

電動機輸入功率為

(1)

取電機效率η為90%,電機損耗為

Pw=(1-η)P

(2)

電主軸以額定功率運行時,可以由上式計算出各個部分的損耗,并假設損耗全部轉化為熱量,因此電機各部分的生熱率可由下式計算:

(3)

式中:Qi為各部分的熱功率,W/m3;V為熱源的體積,m3。

對于本文研究的一維化模型,需將截面的相關參數等效到一個節點處,根據各部分面積在總面積中占比對生熱率做加權,可得電機部分的生熱率

(4)

式中:Si為各部分所占面積,m2;S為總面積,m2。

1.2 前后軸承生熱

摩擦是軸承運轉中最主要的熱源,具體包括滾動體與外圈、滾動體與內圈以及保持架和潤滑劑的摩擦[8]。根據經驗公式[9],由摩擦產生的熱量Qf可表達為

(5)

式中:M為摩擦力矩,N·mm;n為轉速,r/min。

根據經驗公式,軸承摩擦力矩M與速度無關,主要由兩部分組成:一是潤滑劑自身黏度引起的摩擦力矩M0,二是在載荷作用下的摩擦力矩M1,具體如下式[9]:

M=M0+M1

(6)

工程中常用潤滑劑的運動黏度ν普遍滿足ν·n≥2 000,因此黏性摩擦力矩M0可表達為

(7)

式中:Dm為軸承平均直徑,mm;f0為與軸承類型和潤滑方式有關的系數,對于單列角接觸球軸承取f0=2。

軸承載荷力矩M1滿足

M1=f1P1Dm

(8)

式中:f1是與軸承類型、額定載荷及當量靜載荷有關的系數;P1為軸承承受載荷,N,計算方法如下:

f1=0.001 3(P0/C0)0.33

(9)

P1=Fa-0.1Fr

(10)

式中:P0為當量靜載荷,N;C0為基本額定靜載荷,N;Fa為軸向載荷,N;Fr為徑向載荷,N。

2 主軸熱態特性模型建立

2.1 傳熱學理論基礎

傳熱學中定義的傳熱方式有3種:熱傳導、熱對流和熱輻射,傳熱過程由這3個環節串聯而成的。本文主要研究穩定運行階段電主軸的溫度場分布,因此,將電主軸與周圍環境的熱交換近似看作穩態導熱過程,因輻射換熱量較少可以忽略不計。

2.2 一維傳熱公式

對于主軸內各微元體來說,滿足能量守恒方程:

dΦin+dQ=dΦout+dU+dΦs

(11)

式中:dΦin為導入總熱流量,W;dQ為內熱源的生成熱,W;dΦout為導出總熱流量,W;dU為熱力學能增量,W;dΦs為對流換熱量,W。圖1為微元體熱態特性。

圖1 微元體熱態特性

由傅里葉定律,導入、導出微元體的熱流量分別可以表示為:

dΦin=Aqx=-λAc?t/?x

(12)

dΦout=Aqx+dx

(13)

式中:λ為材料的熱導率,W/m3;Ac為截面面積,m2;t為溫度,℃,與坐標x和時間τ有關。

在所研究的范圍內,熱流密度函數q是連續的,可以展開為泰勒級數的形式:

(14)

式中dx為無窮小量,可近似地取級數前兩項,即

(15)

微元體的熱力學能增量可以表示為

(16)

式中:ρ為材料密度,kg/m3;c為材料的比熱容,J/(kg·K)。

微元體的生熱量可以表示為

(17)

由牛頓冷卻公式,熱對流交換熱量為

dΦs=PhdxΔt

(18)

式中:P為截面周長,m;h為傳熱系數,W/(m2·K)。

將上述相關推導代入式(11),可得一維主軸傳熱公式

(19)

2.3 主軸劃分

對于一維電主軸來說,由于生熱率、傳熱系數等參數的不同,各部分呈現出不同的溫度分布規律。本文根據熱力學特性,將電主軸劃分為電機部分、軸承部分、主軸部分,如圖2所示。

圖2 主軸劃分圖

電機部分、軸承部分是電主軸內部兩大熱源,在建立模型時將這兩部分按照微元體內熱源的方式進行定義、計算。電主軸各個部分與外界的熱傳導方式不同,傳熱系數也各不相同。電機部分主要通過冷卻水道中的冷卻水帶走內部產生的熱量,其傳熱系數與冷卻水道的截面積、長度、冷卻水流量等參數有關。軸承中廣泛應用油氣潤滑技術,通過內部壓縮空氣散熱,其傳熱系數與壓縮空氣的平均速度有關。主軸部分直接與空氣進行對流換熱,其換熱系數與主軸表面轉速有關。

經計算,相關參數設置如表1所示。

表1 系統參數設置

2.4 一維溫度場建模與數值模擬

對主軸進行離散化處理,將主軸劃分為282個節點,首尾兩節點溫度與室溫一致作為邊界條件,如圖3所示。

圖3 一維電主軸離散化示意圖

為了獲得針對單一變量軸向位置的差分格式,將溫度對位移的導數轉化為差商形式如下:

(20)

將上文推導的一維傳熱方程進行離散化,相鄰節點間表達式如下:

(21)

將差分格式進行整理可得系統方程如下:

(22)

將系統方程通過歐拉法求解:

Tn+1=Tn+F(τn,xn)(τn+1-τn)

(23)

式中:τn代表第n個時間步;F(τn,xn)是主軸各節點在τn時刻導數的矩陣。

在MATLAB中完成上述程序編寫,可以實現一維主軸軸向溫度的快速獲取,運行結果如圖4所示。

圖4 一維主軸溫度場分布情況

由圖4可以看出,溫度最高的部分是電機中部,為78℃,電機內部發熱對于主軸溫升影響最大。軸承對于溫升的影響不是很明顯,由于前后軸承類型不同,溫升情況也不同,分別呈現出36℃、37℃的溫度。

3 有限元模擬驗證

本文采用一維化的方式對電主軸溫度場進行分析,用截面的綜合屬性來描述每一截面,由于結構限制,導致采用實驗法獲得電主軸內部溫度比較困難,實驗驗證可行性差。而采用ANSYS Workbench進行有限元分析是行業內對結構進行熱分析最常用的方式,可以全面地獲取電主軸內部的溫度數據,同時其結果具有一定準確度與可靠性。因此本文采用Workbench進行有限元仿真的方式來驗證本模型。

驗證的主要思路為沿主軸徑向取等距平行于軸線的路徑,將這些路徑上溫度的平均值作為電主軸一維溫度場的仿真結果與模型計算結果對比,具體步驟如下。

1)根據熱分析需要,在三維建模過程中對模型適當簡化,在Solidworks中完成建模,如圖5所示。

圖5 Solidworks三維模型

2)將建立好的模型導入ANSYS Workbench穩態熱分析模塊中,在Engineering data模塊中設置材料參數,在Mesh模塊中實現網格劃分。

3)將上文計算好的相關參數通過Environment模塊加載到電主軸模型上,包括初始溫度、換熱系數、生熱率等。

4)根據上文結構劃分,沿軸向等距建立一系列平行于軸線的路徑(path),如圖6所示。

圖6 溫度測量路徑

5)結果中查看路徑軸向方向溫度數據,如圖7所示。

圖7 Workbench仿真結果

6)將相關數據導入MATLAB取均值后繪圖,并與本文建模所得曲線比較(圖8)。

圖8 建模結果和仿真結果比較

由圖8可以看出,本文提出模型的計算結果與仿真結果基本一致,誤差維持在7℃以內,高溫區域兩曲線基本重合,可以滿足工程實際使用要求。

4 結語

本文主要研究了電主軸的一維溫度場分布,對電主軸模型進行了一維化處理,結合熱力學特性對模型進行合理的結構劃分,基于傳熱學理論建立了電主軸一維傳熱模型,通過有限差分法獲得數值解,與有限元仿真結果呈現較高一致性,為電主軸的結構設計和工程應用提供一定參考。本方法的特點在于簡化了一維溫度場求解步驟,將非齊次偏微分方程轉化為代數方程組進行計算,大大提高了計算速度。針對不同實際情況僅需調整參數,不需重新進行建模,計算時間相較于其他方法大大減少。

本文所建立模型與仿真結果存在一定差異,主要原因是對一維問題的研究存在局限性,但其對于多維傳熱以及復雜結構的熱特性分析仍有參考意義。