Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)Jacobian矩陣表達(dá)形式的多樣性

尤晶晶,葉鵬達(dá),徐帥,王澍聲,黃寧寧,李成剛

(1. 南京林業(yè)大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院,江蘇 南京 210037; 2. 常州大學(xué) 機(jī)械與軌道交通學(xué)院,江蘇 常州 213164;3. 南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院,江蘇 南京 210016)

0 引言

與串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比,并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有更緊湊的結(jié)構(gòu)、更高的剛度、更快的響應(yīng)、更小的累積誤差等優(yōu)勢(shì)[1],在多維傳感器[2-3]等領(lǐng)域應(yīng)用前景廣闊。在所有的6自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中,目前應(yīng)用最廣的是Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)[4-5]。它主要由1個(gè)動(dòng)平臺(tái)、1個(gè)靜平臺(tái)以及連接2個(gè)平臺(tái)的6條SPS(S為球面副,P為移動(dòng)副)支鏈構(gòu)成。研究發(fā)現(xiàn),Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的很多性能指標(biāo),如奇異性、靈活性、各向同性、剛度、可操作度等,都與機(jī)構(gòu)的Jacobian矩陣有關(guān)[6]。Jacobian矩陣包括運(yùn)動(dòng)Jacobian矩陣和力Jacobian矩陣,它們之間滿足對(duì)偶性的關(guān)系。因此,推導(dǎo)并分析Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)Jacobian矩陣有著重要的理論意義和實(shí)際價(jià)值。

從檢索到的文獻(xiàn)資料來(lái)看,并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)Jacobian矩陣的表達(dá)形式五花八門[6-11],且各形式在機(jī)構(gòu)學(xué)上的解釋以及它們之間的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)尚不明確。這影響了機(jī)構(gòu)性能的機(jī)理分析和機(jī)構(gòu)拓?fù)涞膬?yōu)化。為解決上述問(wèn)題,本文從動(dòng)平臺(tái)速度的物理定義和數(shù)學(xué)表達(dá)出發(fā),挖掘了Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)Jacobian矩陣的內(nèi)涵,推導(dǎo)并梳理了3類Jacobian矩陣的解析表達(dá)式,繼而剖析了不同形式Jacobian矩陣之間以及它們行列式之間的映射關(guān)系。最后,通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了本文結(jié)果的正確性,并基于推導(dǎo)出的運(yùn)動(dòng)Jacobian矩陣?yán)L制了Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置奇異曲面和姿態(tài)奇異曲面。

1 轉(zhuǎn)動(dòng)速度采用不同的表達(dá)方式

Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

分別在靜平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)上固連笛卡兒坐標(biāo)系O-xyz和P-x′y′z′。初始狀態(tài)下,兩坐標(biāo)系的3個(gè)坐標(biāo)軸分別平行。動(dòng)平臺(tái)的自由度為6,包括3維平動(dòng)和3維轉(zhuǎn)動(dòng)。其中,3維轉(zhuǎn)動(dòng)的速度可以用歐拉角及其導(dǎo)數(shù)來(lái)描述,也可以用角速度矢量來(lái)描述。

1.1 歐拉角方式

1)基于歐拉角的旋轉(zhuǎn)矩陣

首先,P-x′y′z′繞z′軸轉(zhuǎn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)角Ψ(逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?,得到第1次轉(zhuǎn)動(dòng)之后的坐標(biāo)系P-x″y″z′。兩坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)矩陣為

(1a)

接著,P-x″y″z′繞x″軸轉(zhuǎn)動(dòng)章動(dòng)角θ,得到第2次轉(zhuǎn)動(dòng)之后的坐標(biāo)系P-x″y?z″。它與第1次轉(zhuǎn)動(dòng)之后坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)矩陣為

(1b)

最后,P-x″y?z″繞z″軸轉(zhuǎn)動(dòng)自轉(zhuǎn)角φ,得到第3次轉(zhuǎn)動(dòng)之后的坐標(biāo)系P-x?y″″z″。它與第2次轉(zhuǎn)動(dòng)之后坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)矩陣為

(1c)

執(zhí)行關(guān)于3個(gè)繞體軸的子旋轉(zhuǎn)矩陣式(1a)、式(1b)、式(1c)的右乘運(yùn)算,得到合成的旋轉(zhuǎn)矩陣:

(2)

2)Jacobian矩陣的推導(dǎo)

Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的幾何約束方程[12]為

(3)

式(3)的等號(hào)兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù),整理后可得線性方程組

(4)

當(dāng)li≠0,(i=1～6)時(shí),矩陣Jl是可逆的。此時(shí),式(4)可改寫為

(5)

1.2 角速度矢量方式

運(yùn)用環(huán)路方程法[4],列出支鏈速率的解析式:

(6)

式中:si表示第i條支鏈的方向矢量[4];ω表示動(dòng)平臺(tái)的角速度矢量。

將式(6)整理成矩陣形式:

(7)

1.3 第1、2類形式Jacobian矩陣之間的映射

根據(jù)角速度加法公式,可得坐標(biāo)系P-x?y″″z″相對(duì)于P-x′y′z′的轉(zhuǎn)動(dòng)速度:

(8)

(9)

綜合式(5)、式(7)和式(9),整理可得第1、2類形式Jacobian矩陣之間的映射關(guān)系:

J1=J2T1,2

(10)

也就是說(shuō),通過(guò)映射矩陣T1,2可以將第1、2類形式的Jacobian矩陣關(guān)聯(lián)起來(lái)。

2 平動(dòng)速度選取不同的基點(diǎn)

理論上,動(dòng)平臺(tái)三維平動(dòng)的速度基點(diǎn)可以任意選擇。常用的基點(diǎn)主要有2個(gè):1)動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)心(一般也是動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn))[4];2)動(dòng)平臺(tái)上與靜坐標(biāo)系原點(diǎn)重合的點(diǎn)[13]。第1節(jié)在建立平動(dòng)速度時(shí)就是選取的前者,故本節(jié)僅討論后者的情況。

2.1 Jacobian矩陣的推導(dǎo)

將動(dòng)平臺(tái)上與靜坐標(biāo)系原點(diǎn)重合的點(diǎn)標(biāo)記為點(diǎn)O′。同樣,運(yùn)用環(huán)路方程法,列出支鏈速率的解析表達(dá)式:

(11)

式中vO′表示O′點(diǎn)的線速度矢量。

將式(11)整理成矩陣形式:

(12)

2.2 第2、3類形式Jacobian矩陣之間的映射

根據(jù)速度基點(diǎn)法,可建立O′和P兩點(diǎn)速度之間的關(guān)系式:

(13)

(14)

綜合式(7)、式(12)和式(14),整理可得第2、3類形式Jacobian矩陣之間的映射關(guān)系:

J3=J2T3,2

(15)

可見,通過(guò)映射矩陣T3,2可以將第2、3類形式的Jacobian矩陣關(guān)聯(lián)起來(lái)。

2.3 第1、3類形式Jacobian矩陣之間的映射

綜合式(10)、式(15),整理可得第1、3類形式Jacobian矩陣之間的映射關(guān)系:

J3=J1T3,1

(16)

式中T3,1=T1,2-1T3,2將第1、3類形式的Jacobian矩陣關(guān)聯(lián)起來(lái)。注意:本文不考慮歐拉角奇異點(diǎn)的情況,即默認(rèn)矩陣T1,2是可逆的。

3 映射矩陣的算例驗(yàn)證

本節(jié)對(duì)Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)在一般位姿下3類形式的運(yùn)動(dòng)Jacobian矩陣及其映射矩陣進(jìn)行算例驗(yàn)證。并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)的選取如表1所示。

表1 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù) 單位:mm

不失一般性地,隨機(jī)選擇動(dòng)平臺(tái)在其工作空間內(nèi)的一個(gè)位姿:OP=(82,158,68)Tmm,Ψ=1.2 rad,θ=2.5 rad,φ=1.7 rad。根據(jù)式(3),此時(shí),6條支鏈的長(zhǎng)度(單位:mm)依次為298.541、141.327、181.274、322.265、388.781、277.387。對(duì)應(yīng)的3類形式的Jacobian矩陣以及3個(gè)映射運(yùn)算分別如式(17a)—式(17f)所示。結(jié)果顯示:1)3個(gè)Jacobian矩陣的前3列元素完全相同;2)3個(gè)Jacobian矩陣之間的關(guān)聯(lián)和本文的推導(dǎo)結(jié)論完全一致。

(17a)

(17b)

(17c)

(17d)

(17e)

(17f)

4 奇異位形

當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的Jacobian矩陣的行列式等于0時(shí),動(dòng)平臺(tái)所處的位形稱為“奇異位形”[14]。本節(jié)研究3類形式Jacobian矩陣的行列式之間的關(guān)聯(lián)。

運(yùn)用矩陣行列式的乘法定理和分塊矩陣的行列式性質(zhì),分別處理式(10)、式(15),整理可得:

|J1|=|J2||T1,2|=|J2||A|=-sθ×|J2|

(18)

|J3|=|J2||T3,2|=|J2|

(19)

由于本文不考慮歐拉角奇異點(diǎn)的情況,即sθ不等于0,故由式(18)、式(19)可知:3類形式Jacobian矩陣的行列式等于0的情況是完全等效的。因此,可以通過(guò)求解任意一類形式的Jacobian矩陣行列式來(lái)判別并聯(lián)機(jī)構(gòu)是否處于奇異位形。圖2(a)、圖2(b)分別為作為算例的Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置奇異曲面和姿態(tài)奇異曲面。在進(jìn)行機(jī)構(gòu)的軌跡規(guī)劃時(shí),應(yīng)避開奇異曲面中的全部坐標(biāo)點(diǎn)。

圖2 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異曲面

5 結(jié)語(yǔ)

1)用歐拉角及其導(dǎo)數(shù)描述動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度,并選取動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)為平動(dòng)速度基點(diǎn),可推導(dǎo)出第1類形式的運(yùn)動(dòng)Jacobian矩陣。

2)用角速度矢量描述動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度,并選取動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)為平動(dòng)速度基點(diǎn),可推導(dǎo)出第2類形式的運(yùn)動(dòng)Jacobian矩陣。

3)用角速度矢量描述動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度,并選取動(dòng)平臺(tái)上與靜坐標(biāo)系原點(diǎn)重合的點(diǎn)為平動(dòng)速度基點(diǎn),可推導(dǎo)出第3類形式的運(yùn)動(dòng)Jacobian矩陣。

4)所推導(dǎo)出的3類形式運(yùn)動(dòng)Jacobian矩陣的前3列元素完全相同。

5)根據(jù)角速度加法公式以及線速度基點(diǎn)法,可建立3類形式運(yùn)動(dòng)Jacobian矩陣之間的映射,它們均呈現(xiàn)線性變換的關(guān)系。數(shù)值算例驗(yàn)證了上述映射矩陣的正確性。

6)根據(jù)矩陣行列式的乘法定理和分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則,可推導(dǎo)出3類形式Jacobian矩陣行列式之間的關(guān)系。在不考慮歐拉角奇異點(diǎn)的前提下,它們所對(duì)應(yīng)的機(jī)構(gòu)奇異位形是完全一致的。

7)上述結(jié)論為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的型綜合、型優(yōu)化提供了理論指導(dǎo)。下一步工作是推導(dǎo)3類形式Jacobian矩陣的特征值、奇異值、條件數(shù)之間的關(guān)系,以建立并完善6自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)。