基于MATLAB多約束磨齒余量調整方法研究與實現

狄成寶,羅有朋,李軍,熊小林

(重慶齒輪箱有限責任公司,重慶 402263)

0 引言

對于一些滲碳淬火的薄壁大齒圈,由于熱后變形較復雜,為了使磨齒余量分配更加合理,要求熱后精車的找正基準要參照全齒掃描報告進行修正,保證各齒面有余量且余量盡可能分配均勻。隨著先進制造技術的發展,磨齒余量均勻化技術大多被集成到磨齒機中。目前主要是利用機床的在機測量系統進行齒面余量檢測,然后根據檢測數據,通過智能算法進行二次分配,如KIM等[1]、HUNDT等[2]、KHUDOBIN等[3]針對AE傳感器在磨削加工中的應用進行了研究。劉海寧[4]為了解決數控蝸桿砂輪磨齒機余量分配問題,研究了利用AE 聲發射器進行接觸信號檢測的技術。張國輝和彭寧等[5-6]針對數控砂輪磨齒機的余量分配問題,分別介紹了采用高靈敏度AE 傳感器和采用在機測量測頭實現磨齒余量智能分配的原理及實現過程。此外,吳彬彬、張虎等[7-8]針對數控成形磨齒機在線測量存在標定誤差的問題,通過研究齒廓傾斜偏差與徑向標定誤差和切向標定誤差之間的規律,提出了一種標定誤差的辨識和補償方法,使磨齒余量分配更加準確。而石照耀等[9]提出了一種測量漸開線輪廓誤差的廣義極坐標法,并給出了在法向評定輪廓誤差的計算公式,進一步促進了磨齒機余量分配在線技術的發展。另外,劉俊輝等[10]提出了一種偏心放置分段齒圈的加工方法,該方法通過幾何變換推導偏心放置跳齒加工的補償量,其核心也是解決齒面余量不均勻的問題。

以上技術主要研究齒輪二維平面內齒面余量分配方式,而在工程應用中發現,齒圈熱后變形是十分復雜的,單純在平面內進行調整很難達到理想的效果,采用最多的是徑向調整+端面調整相結合的方式。但是,端面和徑向調整對各個齒面余量分配的影響是非線性的,這就導致在工程實踐過程中很難摸清其調整規律,光靠經驗嘗試,執行效率低下,甚至造成誤判。因此,迫切需要一種更高效的調整方法。

1 數學建模

圖1為全齒掃描裝夾示意圖。掃描前,首先通過找正上旋向齒和下旋向齒節圓跳動,通過件6和件4把齒圈移動到一個預定位置(工藝要求對點跳動值)。然后進行全齒掃描,見圖2。全齒掃描報告記錄每個齒面的最大余量值和最小余量值。

1—探頭組件;2—磨齒機機架;3—人字齒;4—端部千斤頂組件;5—旋轉工作臺;6—徑向千斤頂組件。圖1 磨床人字齒全齒掃描示意圖

圖2 單旋向單齒面圖例

由于熱后變形導致齒圈呈現扭曲、錐形、馬鞍形、橢圓形等形態,熱后變形的不確定性,使磨齒找正難度增大,工程應用中憑借經驗,通過徑向和端面組合調整,嘗試找到一種較優的調整方式。但是,徑向和端面調整對齒面余量的影響是非線性的,這會導致齒面調整的效率低下。為了盡快找到一種較優的調整組合,必須先建立徑向、端面調整和齒面余量的關系。

1.1 變換矩陣的數學模型

由于空間變換矩陣既適用平面體,又適用曲面體,為了便于觀察,選取齒輪底面外圓上的點P為研究對象,推導齒面調整空間變換的通用變換矩陣。

如圖1所示,令件4支撐分布圓為da,調整時按以下步驟。步驟1,在xwj相位處,千斤頂單點抬高幅值為th;步驟2,在xwj1相位處,通過徑向千斤頂徑向移動為tr。其變換示意圖如圖3所示。其中P點變為P′,其坐標點變換等價于以下坐標系變換:1)坐標系按照右手握旋法則繞z軸旋轉xwj;2)在1)中坐標系基礎上按照右手握旋法則繞y軸旋轉θ;3)在2)中坐標系基礎上, 按照右手握旋法則繞z軸旋轉-xwj;4)按照向量oo′移動;5)按照向量tr移動。

圖3 零件變換示意圖

由空間幾何知識可知:

步驟1)對應的變換矩陣為

(1)

步驟2)對應的變換矩陣為

(2)

式中θ=arcsin(th/da)。

步驟3)對應的變換矩陣為

(3)

步驟4)對應的變換矩陣為

(4)

步驟5)對應的變換矩陣為

(5)

(6)

1.2 包容齒面的數學模型

由于齒輪熱后發生不規則的變形,而在實際的工程應用中,只關注最高點和最低點余量的變化。為了簡化熱后齒面模型,最大限度地滿足工程應用需求,本文把成品齒面通過軸心旋轉得到的齒面余量最高點和最低點的包容曲面(圖4)做為研究對象進行闡述。為了便于表達,用右旋左齒面做為案例闡述。

圖4 包容齒面示意圖

成品齒面方程LG,i可表示為

(7)

式中:dt,i=2·i·π/Z+ω-π/Z;p=r/tanβ,右旋取正,左旋取負。

根據全齒掃面,令第i個齒槽右齒面最大、最小余量值分別為σimax、σimin。為了避免在模型調整過程中出現原始曲面與調整曲面交叉的情況,設定裕量值δ,再由最大、最小包容面的生成機理可知最大包容面方程LG,imax為

(8)

最小包容面方程LG,imin為

(9)

式中:

dt,imax=dt,i+(σimax+δ)/(r·cosα·cosβ)

(10)

dt,imin=dt,i+(σimin+δ)/(r·cosα·cosβ)

(11)

式(7)—式(11)中:rb為基圓半徑;x(1)、x(4)、x(7)為漸開線展角參數;x(2)、x(5)、x(8)為螺旋線角度參數;x(3)、x(6)、x(9)為升程參數;r為分度圓半徑;α為分度圓壓力角;β為分度圓螺旋角;Z為總齒數;i為齒槽序列(0,1,2,…,Z-1);ω為齒槽半角;Bb為螺旋面起始面距坐標系底面的距離。

1)最小余量值計算模型

對單個齒面來講,變換后齒面余量最小值可用變換后的最小包容齒面和成品齒面間的最小值。由于設置了裕量值δ,使得調整后的包容齒面始終位于成品齒面的同一側(不交叉),因此,兩齒面距離值的表達式可表示為λi=|T3T2T1·LG,imin+T4+T5-LG,i|-δ,即向量的模,第i個齒面的最小值記為λimin。在第j次尋優計算中,一側齒面組中的齒面余量最小值記為djmin,即djmin=min (λ0min,λ1min,…,λZ-1min)。工程應用中,在驗證齒面滲碳層深滿足設計要求的情況下取最大值所對應的調整方案,即max (d0min,d1min,…)所對應的調整方案。

2)最大余量值計算模型

最大余量值計算模型和最小余量值計算模型有點相似,唯一不同的是在求解單齒面距離值時參變量的取值情況不同。如圖5所示,可以把齒面看成一個U、V面,在求解最小值時,U、V參變量在一定范圍內可以任意取,而求解最大值時,U、V方向的參變量必須相同。這是因為,此時如果還是像求解最小值取時,最大值就處在兩曲面對角點位置,這是不對的。其表達式為

圖5最大值求解原理圖

λi=|T3T2T1·LG,imax+T4+T5-LG,i|-δ

式中:x(1)=x(7);x(2)=x(8);x(3)=x(9)。

在第j次尋優計算中,一側齒面組中的齒面余量最大值記為djmax,即djmax=max (λ0max,λ1max,…,λZ-1max)。

在尋優得到max (d0max,d1max,…)對應的調整方案后,驗證磨掉djmax余量后,齒面滲碳層深還能滿足設計研究,此次調整計算就算完成,否則剔除此處調整方案,繼續按照1.2小節1)和2)所述方案進行尋優。

2 MATLAB與模型對比驗證

2.1 MATLAB模型

圖6為多次調整尋優的程序框圖。在此,需要特別提出的是單齒面最小、最大余量求解方法。由于每個曲面控制變量為3個,用傳統的多層for循環求解效率太低,為了提高求解效率,把此問題轉化為有約束最小化求解的規劃問題。其中,規劃的目標函數就是1.2小節中1)的λi。而在求解最大余量值時,則采用求1.2小節中2)的-λi的最小值。

圖6 單旋向單齒面程序框圖

2.2 三維模型

圖6程序用的是計算完所有調整對應齒面組中的每個齒面的最小值(最大值),然后索引符合要求的情況。其中,驗證單次調整中各齒面余量(最小或最大)的正確性最為關鍵。為了達到驗證的目的,首先用UG建立人字齒三維模型,其三維模型參數如表1所示。

表1 UG人字齒模型參數表

如圖7所示,坐標系位于右旋齒右端面處,為了便于觀察,取各齒面余量值均為5.5mm(其中含5mm裕量閾值),取左旋左齒面為研究對象。

圖7 UG人字齒三維圖

1)最小值余量比對

首先,令tgh=2(端面抬高幅值);xwj=0(端面抬高相位);xwj1=0.5·π(徑向移動相位);tr=0.5(徑向移動幅值)。

通過三維模型變換后計量曲面距離的變化,把三維模型計量的結果與MATLAB計算的結果進行比對,驗證MATLAB模型的正確性。

為了便于觀察,首先建立一個齒輪的三維模型,取每個齒面的余量都相等。

圖8、圖9分別為在0相位端面抬高2mm、在90°方向移動0.5mm的三維齒面余量值和MATLAB計算值;第0齒槽、第4齒槽、第12齒槽誤差值分別為0.012 6mm、-0.030 8mm、0.058 1mm。

圖8 三維模型最小值

圖9 MATLAB各齒面余量值

2)最大值余量比對

令tgh=2(端面抬高幅值);xwj=0(端面抬高相位);xwj1=0.5·π(徑向移動相位);tr=0.5(徑向移動幅值)。如圖10和圖11所示,第0齒槽、第4齒槽、第12齒槽左齒面誤差值分別為0.050mm、0.005mm、0.010mm。

圖10 三維模型最大值

圖11 MATLAB各齒面余量最大值

3 結語

從圖8—圖11三維模型和MATLAB計算結果可以看出,無論是最大值誤差還是最小值誤差都是存在的。主要原因如下:1)在包容齒面方程推導過程中,最大、最小包容齒面余量是以分度圓處余量為基準來算的,用此表示齒面其余部位余量是存在原理誤差的;2)在MATLAB齒面最大值和最小值求解計算中,都用到了MATLAB函數,此函數提供大型優化算法(內部映射牛頓法)和中型優化算法(二次規劃法),不同優化算法之間也存在計算誤差。但從對比結果可以看出,無論最大值還是最小值,誤差值都控制在0.06mm以內,而工程應用一般在0.1mm級內進行調整,所以,這個誤差可以接受的。