數(shù)控系統(tǒng)中S型曲線加減速控制算法研究
2024-01-03 06:35:38劉遠(yuǎn)凱
機(jī)械制造與自動化 2023年6期
劉遠(yuǎn)凱
(深圳眾為興技術(shù)股份有限公司,廣東 深圳 518052)
0 引言
在數(shù)控運(yùn)動控制系統(tǒng)中,加減速控制算法直接影響著運(yùn)動控制系統(tǒng)的實時性、穩(wěn)定性與加工精度等?？赏ㄟ^加減速控制算法對待加工軌跡段位移、速度、加速度和加加速度曲線進(jìn)行合理規(guī)劃,實現(xiàn)在啟動、停止、加速和減速運(yùn)動階段對系統(tǒng)的柔性控制,避免系統(tǒng)產(chǎn)生失步、震動、超程等現(xiàn)象,保證系統(tǒng)高速平穩(wěn)運(yùn)行。
對于柔性加減速控制算法,國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)進(jìn)行了探討。郭新貴等[1]利用三角函數(shù)構(gòu)建加減速曲線,減少了在進(jìn)給過程中的柔性沖擊問題;冷洪濱[2]建立了五次多項式的加減速控制模型,具有速度曲線、加速度曲線和加加速曲線均連續(xù)的特性;李明等[3]利用切比雪夫多項式逼近正弦函數(shù)方法,構(gòu)造了一種加加速連續(xù)的加減速算法。上述的算法研究與S型加減速曲線相比,具有更高階的連續(xù)性,但速度規(guī)劃的復(fù)雜程度卻大大提升,有些甚至都不能實現(xiàn)。因此這些加減速算法在實際工程應(yīng)用中并不多。
S型加減速控制算法因其速度曲線和加速度曲線均具有連續(xù)性,成為當(dāng)前數(shù)控系統(tǒng)中使用較多的一種速度控制算法[4-6]。S型加減速因其實用性,也受到了很多學(xué)者的關(guān)注,目前主要的研究熱點在于其高效通用的求解模型。ALTINTAS[7]給出了7段式S型加減速模型,但未給出S型加減過程中的求解方法;石川等[8]將S型加減速歸納成8種情況,采用解析式和二分迭代的方法對其進(jìn)行求解;尹國梁[9]將S型加減速曲線17種不同類型的速度劃分為3類,再利用二分法進(jìn)行求解;朱明等[10]利用拉格朗日法構(gòu)造二次方程來逼近無理方程求解,但精度卻無法保證;楊亮亮等[11]將S型加減速中的五元非線性方程轉(zhuǎn)化成二元非線性方程組和一元線性方程組,再用牛頓迭代法和迭代修正的方式求解。由于S型加減速算法的表達(dá)式是分段表達(dá)式,上述研究都不能將方程式轉(zhuǎn)化成一個類似于二次方程求根的公式,只能采用二分迭代法、牛頓迭代法以及擬合法等數(shù)值解析的方法求解。
綜上所述,一種7段式S型加減速控制算法的解析式方法是目前國內(nèi)數(shù)控系統(tǒng)所缺乏的。本文提出了一種7段式S型曲線加減速控制算法及其解析式的求解方法,研究基于給定的軌跡長度與臨界長度對比進(jìn)行分類的方式,將其轉(zhuǎn)換成一元二次方程、一元三次方程或一元四次方程來求解各段運(yùn)行時間,最后在自主開發(fā)的多軸運(yùn)動控制器上進(jìn)行驗證。
1 7段式S型曲線加減速控制模型
S型曲線加減速的名稱由系統(tǒng)在加減速控制階段的速度曲線形狀呈現(xiàn)出S型而得來。如圖1所示,正常情況下S曲線加減速的運(yùn)行過程可分為7段:加加速段、勻加速段、減加速段、勻速段、加減速段、勻減速段、減減速段。
圖1 7段S型加減速示意圖
圖1中:T1表示加加速段的運(yùn)行時間;T2表示勻加速段的運(yùn)行時間;T3表示減加速段的運(yùn)行時間;T4表示勻速段的運(yùn)行時間;T5表示加減速段的運(yùn)行時間;T6表示勻減速段的運(yùn)行時間;T7表示減減速段的運(yùn)行時間;j表示加加速度曲線;a表示加速度曲線,v表示速度曲線,s表示位移曲線;Vs表示初速度;Ve表示末速度;Vm表示最大驅(qū)動速度;L表示實際路徑長度。
設(shè)電機(jī)加速度曲線從0達(dá)到最大值和從最大值到0所用的時間相等,此時間定為系統(tǒng)的一個特性時間常數(shù)tm,圖1中,Amax=Dmax。
在目標(biāo)運(yùn)動過程中,A表示最大加速度;J表示最大加加速度。當(dāng)加速度能夠達(dá)到最大值時,T1=T3=T5=T7=A/J=tm;當(dāng)加速度無法達(dá)到最大值時,T1=T3,T5=T7。
7段式S型加減速控制模型中加加速度j(t)的計算公式為
(1)
加速度a(t)的計算公式為
(2)
速度v(t)的計算公式為
(3)
位移s(t)的計算公式為
(4)
式中:令k=1,2,…,7;tk表示各個階段的過渡時刻;τk表示局部時間坐標(biāo),即以各個階段的起始點作為零點的時刻;Tk表示各個階段的持續(xù)運(yùn)行時間。
勻速段的運(yùn)行時間T4的計算公式為
(5)
加速區(qū)具體包括加加速段、勻加速段、減加速段,加速區(qū)的路徑長度Sa的計算公式為
(6)
減速區(qū)具體包括加減速段、勻減速段、減減速段,減速區(qū)的路徑長度Sd的計算公式為
(7)
則加速區(qū)的路徑長度與減速區(qū)的路徑長度的總和Sall的計算公式為
Sall=Sa+Sd
(8)
當(dāng)初速度可達(dá)末速度時,則加/減速段長度也可表示為[9]
La(Vs,Ve)=Ld(Ve,Vs)=
(9)
式中:La(Vs,Ve)表示從初速度Vs加速度到末速度Ve的路徑長度;Ld(Ve,Vs)表示從末速度Ve減速到初速度Vs的路徑長度。
2 S型曲線加減速具體控制算法
2.1 計算臨界長度
典型的S型加減速控制算法由7段組成,但由于初速度、末速度、實際路徑長度等限制,并不能保證每次速度規(guī)劃都存在完整的7段?？梢詫⑺械乃俣纫?guī)劃類型分為3大類:僅存在加(減)速度類型、有勻速段類型和無勻速段類型。由式(10)可求得第一臨界長度
L1=La(Vs,Ve)=Ld(Ve,Vs)
(10)
第二臨界長度
L2=La(Vs,Vm)+Ld(Vm,Ve)
(11)
式中:La(Vs,Vm)表示從初速度Vs加速至最大驅(qū)動速度Vm時的路徑長度;Ld(Vm,Ve)表示從最大驅(qū)動速度Vm減速至末速度Ve時的路徑長度。
若實際路徑L≤L1時,僅存在加(減)速度類型,則說明從初速度Vs不能加(減)速到達(dá)末速度Ve;若實際路徑L≥L2時,有勻速段類型,則說明從初速度Vs可加速到最大速度Vm,再從最大速度Vm減速到末速度Ve;若L1 當(dāng)實際路徑L≤L1僅存在加(減)速時,判斷是否存在勻加速段或勻減速度段可分為4種情況討論。其中:S13為當(dāng)T1=T3=A/J,T2=0,T4=T5=T6=T7=0時運(yùn)動過程的路徑長度;S57為當(dāng)T1=T2=T3=T4=0,T5=T7=A/J,T6=0時運(yùn)動過程的路徑長度。 1)當(dāng)L≤L1且Vs≤Ve,若(Ve-Vs)>(A2/J)且L>S13時 該段規(guī)劃從初速度Vs加速到末速度Ve可達(dá)到最大加速度,即存在勻加速段,則可確定目標(biāo)運(yùn)動過程僅包括加加速度段、勻加速段、減加速段,并得到T1=T3=A/J=tm,T4=T5=T6=T7=0。 根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動過程和式(6)得到第一方程 (12) 最后,利用一元二次方程的求根公式求解第一方程,舍去T2的非可行解即可。 2)當(dāng)L≤L1且Vs≤Ve,若(Ve-Vs)≤(A2/J)或L≤S13時 該段規(guī)劃從初速度Vs加速到末速度Ve不能達(dá)到最大加速度,即不存在勻加速段,則可確定目標(biāo)運(yùn)動過程僅包括加加速度段、減加速段,并得到T2=T4=T5=T6=T7=0。 根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動過程和式(6)得到第二方程 (13) 最后,利用一元三次方程的盛金公式求解第二方程,舍去T1的非可行解即可。 3)當(dāng)L≤L1且Vs>Ve,若(Vs-Ve)>(A2/J)且L>S57時 該段規(guī)劃從初速度Vs減速到末速度Ve能達(dá)到最大加速度,即存在勻減速段,則可確定目標(biāo)運(yùn)動過程僅包括加減速段、勻減速段、減減速段,并得到T1=T2=T3=T4=0,T5=T7=A/J=tm。 根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動過程和式(7)得到第三方程 (14) 最后,利用一元二次方程的求根公式求解第三方程,舍去T5的非可行解即可。 4)當(dāng)L≤L1且Vs>Ve,若(Vs-Ve)≤(A2/J)或L≤S57時 該段規(guī)劃從初速度Vs減速到末速度Ve不能達(dá)到最大加速度,即不存在勻減速段,則可確定目標(biāo)運(yùn)動過程僅包括加減速段、減減速段,并得到T1=T2=T3=T4=T6=0。 根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動過程和式(7)得到第四方程 (15) 最后,利用一元三次方程的盛金公式求解第四方程,舍去T5的非可行解即可。 當(dāng)實際路徑L≥L2有勻速段時,可根據(jù)加速段和減速段是否能達(dá)到最大加速度來分為4種情況進(jìn)行討論。 1)當(dāng)L≥L2,若(Vm-Vs)>(A2/J)且(Vm-Ve)>(A2/J)時 該段規(guī)劃的加速段和減速段都可達(dá)到最大加速度, 可確定目標(biāo)運(yùn)動過程包括加加速段、勻加速段、減加速段、勻速段、加減速段、勻減速段、減減速段,根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動過程得到第五方程 (16) 2)當(dāng)L≥L2,若(Vm-Vs)≤(A2/J)且(Vm-Ve)≤(A2/J)時 該段規(guī)劃的加速段和減速段都不能達(dá)到最大加速度,則可確定目標(biāo)運(yùn)動過程僅包括加加速段、減加速段、勻速段、加減速段、減減速段,根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動過程得到第六方程 (17) 3)當(dāng)L≥L2,若(Vm-Vs)≤(A2/J)且(Vm-Ve)>(A2/J)時 該段規(guī)劃的加速段不能達(dá)到最大加速度,減速段能達(dá)到最大加速度,則可確定目標(biāo)運(yùn)動過程僅包括加加速段、減加速段、勻速段、加減速段、勻減速段、減減速段,根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動過程得到第七方程 (18) 4)當(dāng)L≥L2,若(Vm-Vs)>(A2/J)且(Vm-Ve)≤(A2/J)時 該段規(guī)劃的加速段能達(dá)到最大加速度,減速段不能達(dá)到最大加速度,則可確定目標(biāo)運(yùn)動過程僅包括加加速段、勻加速段、減加速段、勻速段、加減速段、減減速段,根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動過程得到第八方程 (19) 當(dāng)L1 1)當(dāng)L1 該段規(guī)劃從初速度Vs加速到末速度Ve存在勻加速段,并且實際路徑L>S12357以及(Vm-Ve)>(A2/J),說明從新的最大驅(qū)動速度V′m減速到末速度Ve可達(dá)最大加速度,即存在勻減速段,則可確定目標(biāo)運(yùn)動過程僅包括加加速段、勻加速段、減加速段、加減速段、勻減速段、減減速段,可得到 T2=(Ve-Vs)/A+T6,T1=T3=T5=T7=A/J=tm (20) 根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動過程和式(8)得到第九方程 (21) 最后,利用一元二次方程的求根公式求解第九方程,舍去T6的非可行解即可。 2)當(dāng)L1 該段規(guī)劃從初速度Vs加速到末速度Ve存在勻加速段,并且實際路徑L≤S12357或者(Vm-Ve)≤(A2/J),說明從新的最大驅(qū)動速度V′m減速到末速度Ve不能達(dá)到最大加速度,即不存在勻減速段,則可確定目標(biāo)運(yùn)動過程僅包括加加速段、勻加速段、減加速段、加減速段、減減速段,則可得到 (22) 根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動過程和式(8)得到第十方程 (23) 最后,利用費(fèi)拉里法求解關(guān)于T5的一元四次方程,舍去T5的非可行解即可。 3)當(dāng)L1 該段規(guī)劃從初速度Vs加速到新的最大驅(qū)動速度V′m, 再減速到末速度Ve都不能達(dá)到最大加速度,即不存在勻加速段和勻減速段,則可確定目標(biāo)運(yùn)動過程僅包括加加速段、減加速段、加減速段、減減速段,可得到T1=T3,T5=T7,T2=T4=T6。 根據(jù)速度曲線公式和式(6)得到 (24) (25) 根據(jù)式(24),可得: (26) 將式(26)代入式(25)中,可得 (Vs+Ve)·(T1+T5)+J·T1·T5·(T1+T5)=L (27) 令 (28) 由式(28)及式(24)可得 (29) 將式(29)代入式(27)可得第十一方程 (30) 然后,利用費(fèi)拉里法求解關(guān)于m的一元四次方程得到可行解,最后,根據(jù)式(28)和式(26)即可求解T1、T5。 該段規(guī)劃可確定目標(biāo)運(yùn)動過程僅包括加加速段、減加速段、加減速段、減減速段,根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動過程利用第十一方程求解即可。 5)當(dāng)L1 該段規(guī)劃可確定目標(biāo)運(yùn)動過程僅包括加加速段、勻加速段、減加速段、加減速段、減減速段,根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動過程利用第十方程求解即可。 6)當(dāng)L1 該段規(guī)劃可確定目標(biāo)運(yùn)動過程僅包括加加速段、勻加速段、減加速段、加減速段、勻減速段、減減速段,根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動過程利用第九方程求解即可。 7)當(dāng)L1 該段規(guī)劃可確定目標(biāo)運(yùn)動過程僅包括加加速段、減加速段、加減速段、減減速段,根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動過程利用第十一方程求解即可。 8)當(dāng)L1 該段規(guī)劃可確定目標(biāo)運(yùn)動過程僅包括加加速段、勻加速段、減加速段、加減速段、減減速段,根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動過程利用第十方程求解即可。 基于三軸正交的數(shù)控系統(tǒng)實驗平臺如圖2所示。主要包括PC機(jī)、ADT8989H1高性能運(yùn)動控制卡、步進(jìn)電機(jī)以及正交工作臺。圖2中,ADT8989H1高性能運(yùn)動控制卡處理器選用某公司XC7Z010-1CLG400I4334, 用于計算各坐標(biāo)軸所需信息。所研究的7段式S型曲線加減速控制算法均在該處理器中實現(xiàn),可用于多軸運(yùn)動控制。將上述總共24種參數(shù)不同的情況通過PC機(jī)下發(fā)到ADT8989H1高性能運(yùn)動控制卡,經(jīng)過S型加減速控制處理,采集并分析ADT8989H1高性能運(yùn)動控制卡實際輸出的位移、最大速度和最大加速度以驗證提出的S型曲線加減速控制算法的有效性。 圖2 三軸正交的數(shù)控系統(tǒng)測試平臺 S型加減速控制算法實現(xiàn)流程圖如圖3所示。 圖3 S型加減速控制算法實現(xiàn)流程 S型加減速控制算法實現(xiàn)要有3個步驟:1)讀取S型曲線加減速控制所需要的運(yùn)動信息;2)根據(jù)加減速類型判斷,計算S型曲線加減速7段所對應(yīng)的時間;3)根據(jù)S型曲線加減7段對應(yīng)時間以及系統(tǒng)參數(shù),實時計算各軸每個周期的輸出量,直至整段軌跡加減速控制完成。 設(shè)置系統(tǒng)參數(shù):插補(bǔ)周期1ms,24種不同參數(shù)的運(yùn)動軌跡參數(shù)如表1所示,對每組軌跡分別進(jìn)行S型曲線加減速控制。 表1 24種不同參數(shù)的S型運(yùn)動軌跡 表2為采用24種不同參數(shù)的S型曲線加減速控制后實際輸出的位移、最大速度和最大加速度統(tǒng)計結(jié)果。由表2可知,所提出的S型加減速控制算法能正確規(guī)劃出不同軌跡參數(shù)下的速度變化曲線,在加速階段、勻速階段以及減速階段,達(dá)到的實際最大速度和最大加速度均小于設(shè)定的最大驅(qū)動速度和最大加速度,說明所提出的S型曲線加減速算法可保證最大速度及最大加速度不超限。由表2可知,24組實際輸出的位移與對應(yīng)給定的位移誤差最大值為第15組和23組的1.3×10-14mm,說明計算輸出的實際軌跡長度與給定軌跡長度相等。 表2 24種不同參數(shù)的S型曲線實際輸出參數(shù) 在所搭建的基于三軸正交的數(shù)控系統(tǒng)實驗平臺上,進(jìn)行單段圓弧加工實驗驗證。設(shè)置系統(tǒng)參數(shù):插補(bǔ)周期為1ms,各軸最大速度為300mm/s,各軸最大加速度為800mm/s2;設(shè)置運(yùn)動軌跡參數(shù):插補(bǔ)起點速度和終點速度為0mm/s,最大插補(bǔ)驅(qū)動速度為200mm/s,最大插補(bǔ)加速度為500mm/s2,最大插補(bǔ)加加速度為2 000mm/s3,圓弧軌跡起點終點均為坐標(biāo)原點,圓弧半徑為60mm。圓弧加工輸出的位移合成軌跡、兩軸位移軌跡、速度、加速度分別如圖4—圖7所示。 圖4 兩軸位移曲線合成軌跡 由圖4和圖5可知,x軸和y軸輸出位移曲線相互協(xié)調(diào),同時到達(dá)各自指定的終點位置,兩軸合成的位移曲線為給定的整圓軌跡;由圖6和圖7可知,兩軸的速度曲線平滑過渡,加速度曲線連續(xù),并且兩軸速度曲線、加速度曲線以及合成的速度曲線、加速度曲線的最大值都未超過設(shè)定的最大值。 圖5 兩軸位移曲線 圖6 速度曲線 圖7 加速度曲線 為了解決數(shù)控系統(tǒng)中所缺乏的7段式S型加減速控制算法的解析式方法,本文利用給定的路徑長度與第一臨界長度和第二臨界長度進(jìn)行對比,將所有的S型曲線的加減速控制劃分成24種情況,并歸納為11種情況的一元二次、一元三次或一元四次方程求解的形式,再利用求根公式即得到S型7段對應(yīng)的時間。實驗結(jié)果表明:所提出的S型曲線加減速控制方法計算時間短、精度更高,能很好地滿足加工要求,減少了機(jī)床運(yùn)動的沖擊和震動,特別適合高精加工,提高了機(jī)床的加工精度和效率。2.2 僅存在加(減)速度類型
2.3 有勻速段類型
2.4 無勻速段類型
3 S型曲線加減速控制算法實驗驗證
3.1 S型曲線加減速控制算法實現(xiàn)
3.2 實驗驗證與分析
3.3 加工實例
4 結(jié)語
