一種減小柔性沖擊的NURBS曲線速度規(guī)劃算法

馮勝利,趙東標

(南京航空航天大學 機電學院,江蘇 南京 210016)

0 引言

常見的速度規(guī)劃模型有S型、多項式型、三角函數(shù)型、指數(shù)型等。從S型加減速模型的速度表達式看,它本質(zhì)上也是一種多項式型加減速模型。三角函數(shù)型雖然平滑且無限可微,但是求導(dǎo)積分過程復(fù)雜;指數(shù)型平滑性較好,但是加減速的起點和終點存在速度突變,且計算也較復(fù)雜。因此,對S型和多項式型研究更為深入[1-9]。

傳統(tǒng)7段S型加減速模型加加速度一直保持最大值,因此加工效率高。但其加加速度存在突變,產(chǎn)生較大慣性力,因此會對機床產(chǎn)生較大的柔性沖擊。本文設(shè)計一種速度表達式是四次多項式的加減速模型,其柔性沖擊較小,但加工效率偏低。通過引入系數(shù)k將其與傳統(tǒng)7段S型加減速模型組合產(chǎn)生一種兼顧柔性沖擊和加工效率的加減速模型,系數(shù)k可以調(diào)整S型和四次多項式型加工過程中所占比列,以達到協(xié)調(diào)柔性沖擊和加工效率的目的。

1 速度規(guī)劃預(yù)處理

1.1 自適應(yīng)速度規(guī)劃

為保證加工質(zhì)量,NURBS曲線上任一點的速度應(yīng)該滿足最大弓高誤差emax、最大進給速度Vmax、最大法向加速度ANmax、最大加加速度Jmax的約束,并將此速度作為后續(xù)速度規(guī)劃的上限[10-11]。

(1)

1.2 基于速度敏感點的NURBS曲線分段

由式(1)知,曲率極大值點的速度應(yīng)減小。速度敏感點是曲率極大值點,但并不是所有的曲率極大值點都是速度敏感點,只有滿足式(2)的曲率極大值點才稱為速度敏感點[12]。以速度敏感點為界將NURBS曲線分段進行速度規(guī)劃[13],其中曲率k(ui)與曲率半徑ρi成反比。

(2)

2 S加減速模型的改進與速度規(guī)劃

2.1 四次多項式型加減速模型設(shè)計

首先,設(shè)計一種四次多項式型加減速模型,如圖1所示。

圖1 四次多項式型加減速模型

該加減速模型的加加速度二階可導(dǎo),因此可以極大地減小柔性沖擊。

下面給出該模型加減速公式的推導(dǎo)。

以加速段為例,減速段可視為反向加速。加加速度曲線是關(guān)于時間的二次拋物線函數(shù),在加速段加加速度的積分為0。

為簡化表達式,令t0=0,Ti1=ti1-ti-1。根據(jù)amax可知:T11=T12=T31=T32=3amax/4Jmax。進一步可得到以下加加速度方程:

(3)

為了避免重復(fù),加速度和速度方程在后面與傳統(tǒng)7段S型結(jié)合時一起給出。

2.2 四次多項式模型與S型模型結(jié)合

只要加加速度達到最值后能以該值持續(xù)一段時間,則可以提高上述四次多項式模型的加工效率。因此本文在四次模型的基礎(chǔ)上融入7段S型模型,得到一種兼顧柔性沖擊和加工效率的新速度模型,如圖2所示。

圖2 多項式型和S型組合加減速模型

令ki=Ti1/Ti,Ti1=ti1-ti-1,Ti=Ti1+Ti2+Ti3,其中ki∈[0,0.5]。加加速度曲線在原來二次拋物線的基礎(chǔ)上增加了最值的水平線,其余保持不變。因此,T12=T32,T11=T13=T31=T33。由對稱性可得,k1=k3,k5=k7。為了減少計算量,假設(shè)k1=k3=k5=k7=k。根據(jù)ki可將Ti1、Ti2、Ti3合并為一個Ti來處理,圖2中細分的15段就可以轉(zhuǎn)化為7段來處理。以加速段為例,減速段可視為反向加速。為簡化表達式,令t0=0,加加速度方程如式(4)所示。對加加速度方程積分并代入邊界條件可得加速度方程,同理可由加速度方程推出速度方程。加速度和速度方程每段時間分組同加加速度方程,為了避免冗余,式(5)和式(6)每段方程的時間取值范圍省略。

(4)

(5)

(6)

表1 加速度方程中的未知量

表2 速度方程中的未知量

(7)

(8)

(9)

(10)

同理將vs替換為ve,T2替換為T5,T1替換為T4可以得到減速段的速度變化ΔV-和位移變化ΔS-。

2.3 速度規(guī)劃

基于預(yù)處理的結(jié)果,NURBS曲線被速度敏感點分成許多曲線段。每一小段曲線的加減速類型分為如下4種:純加速、純減速、加速減速、加速勻速減速。

1)加減速狀態(tài)判斷:根據(jù)加減速的位移變化,求得每段曲線加減速狀態(tài)的判斷依據(jù)如表3所示。由于本文提出的組合模型考慮了勻加速段和勻減速段,所以需要先用上文的判斷式進行判斷。為書寫簡便,表3用ΔS+代表加速段位移,用ΔS-代表減速段位移。

表3 4種加減速狀態(tài)類型的判斷依據(jù)

2)速度修正:根據(jù)曲線段不同加減速狀態(tài)類型對速度進行修正。

a)純加速型或純減速型:若為純加速型,需要修正ve;若為純減速型,需要修正vs。

以純加速為例,利用vs和L可以反求ve,分為以下兩種情況:

①存在勻加速時,將位移公式化簡為:

(11)

可得修正的ve:

(12)

②不存在勻加速時,將位移公式化簡為

(13)

根據(jù)Cardan公式[14]可得

(14)

由于速度不能突變,修正了本段的ve需更改下一段曲線的vs。同理,純減速修正本段的vs需更改上一段曲線的ve。上一段的ve被修改了,所以還要回溯到上一段曲線重新規(guī)劃。

b)加速減速型:由于加速減速距離受到曲線段長度的限制,最大速度達不到自適應(yīng)預(yù)處理的vmax。修正的v′max在[max{vs,ve},vmax]內(nèi)通過二分迭代進行求解。

c)加速勻速減速型:因為存在勻速段,所以可以達到自適應(yīng)速度規(guī)劃中的最大速度vmax,勻速段時間為

(15)

總體速度規(guī)劃流程圖如圖3所示。

圖3 速度規(guī)劃流程圖

2.4 k的取值依據(jù)與作用

k值的數(shù)學意義是四次多項式模型在組合模型中所占的比列。k值越大,速度和加速度曲線越平滑,加工效率越低;k值越小,速度和加速度曲線波動越大,加工效率越高。當k=0,組合模型就是傳統(tǒng)的7段式S型;當k=0.5,組合模型就是四次多項式模型。經(jīng)反復(fù)試驗,k不能取值過小。因為k過小,會導(dǎo)致組合模型中的加加速度曲線從0加到Jmax的時間過小,二次拋物線部分接近豎直線,斜率過大,對減少柔性沖擊的效果不顯著。所以考慮運動的平滑性,建議k值不小于0.3。

k起到比例控制作用,讓四次多項式部分與傳統(tǒng)S型部分始終共存,保證了加加速度的連續(xù)性,減少了柔性沖擊,而且加加速度能夠達到最大值并持續(xù)一段時間,保證了加工的效率。此外,系數(shù)k的引入增加了進給速度控制的靈活性。

2.5 仿真與實驗

為了驗證上述NURBS曲線加減速算法的有效性,選取圖4中一個二維三叉戟型NURBS曲線進行仿真,其曲率曲線如圖5所示。該NURBS曲線參數(shù)如表4所示。其中插補周期為1ms,最大速度240mm/s,最大法向加速度4 900mm/s2,最大加加速度48 000mm/s3,最大弓高誤差0.001mm,最大速度波動率0.001。

表4 三叉戟NURBS曲線參數(shù)

圖4 三叉戟型NURBS曲線

圖5 三叉戟型NURBS曲線曲率

對該曲線進行仿真加工得到參數(shù)k與加工時間t的關(guān)系如圖6所示。從圖6可看出,系數(shù)k越大加工時間越長,但是柔性沖擊減小。因此本文取k=0.3這個中間值得到的模型和傳統(tǒng)7段S型模型進行仿真比較,結(jié)果如圖7所示。

圖6 加工時間t與系數(shù)k關(guān)系

圖7 三叉戟型曲線仿真結(jié)果

從仿真圖對比可以明顯看出,相比總以最大加加速度值進行加減速且柔性沖擊大的S型加減速,本文加減速算法實現(xiàn)了加加速度連續(xù)且平滑,加速度曲線更加平滑,在滿足最大加加速度、加速度、進給速度等限制的同時,本文算法加速度最大值更小,柔性沖擊更小。從時間上看,7段S型加減速用時0.956 3s,本文算法在k=0.3時用時1.013 6s,相比7段S型加減速增加了5.99%的時間,屬于可以接受的以少量加工時間換取更好的加工柔性。

除了加工效率,加工精度也是評價速度規(guī)劃算法好壞的重要指標。由于實際NURBS曲線插補時是以微小直線段代替曲線,所以存在弓高誤差。此外,由于速度規(guī)劃的速度只能作為理想的速度進行插補點參數(shù)預(yù)估,使得理想步長與實際步長存在偏差,用速度波動率來表示。因此本文采用文獻[15]里的插補算法,對速度波動和弓高誤差這兩個精度指標進行插補實驗比較。此外統(tǒng)計本文速度規(guī)劃算法和傳統(tǒng)7段S型速度規(guī)劃算法單次插補計算時間。

通常在加工曲線的拐角處,電機會換向,引起柔性沖擊,造成拐角附近的加工誤差偏大,也會引起實際步長與理想步長相差較大,即速度波動率變大。由圖8可知,本文算法的弓高誤差與傳統(tǒng)7段S型算法變化趨勢相似但處處小于傳統(tǒng)7段S型算法,特別是在曲線曲率極大值點附近減小了弓高誤差。由圖9可知,S型算法的速度波動率在曲線曲率極大值點附近超過了上限值0.001,本文算法速度波動率的幅值明顯小于傳統(tǒng)7段S型算法,且波動次數(shù)減少,幅值也沒有超出速度波動率的上限值。由圖10可知,兩種速度規(guī)劃算法單次插補計算時間都沒有超過插補周期1ms,滿足插補實時性要求。由于都是采用文獻[15]里的插補算法,所以插補計算效率上相差不大。

圖8 弓高誤差圖

圖9 速度波動率

圖10 插補算法計算時間

將相關(guān)參數(shù)進行統(tǒng)計處理得表5,通過對比可知本文算法在加工精度上要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)7段S型算法。

表5 弓高誤差和速度波動率統(tǒng)計表

總體上看,本文速度規(guī)劃算法能在加工中全程保持加加速度連續(xù)且平滑。相比于傳統(tǒng)7段S型加減速,本文速度規(guī)劃算法速度波動更小,減少了柔性沖擊,提高了加工精度。

3 結(jié)語

本文為解決傳統(tǒng)7段S型柔性沖擊大的問題,設(shè)計了一種加加速度曲線為二次拋物線形式的四次多項式型加減速模型。為了兼顧加工效率,將四次多項式型加減速模型與傳統(tǒng)7段S型加減速模型組合,并引入系數(shù)k來調(diào)整兩種模型的占比,達到加工效率與柔性沖擊兼顧的目的,提高了進給速度控制的靈活性,并通過仿真驗證了本文算法相比于S型算法能夠有效地減少速度波動,減少機床運行時的柔性沖擊,提高加工精度,也滿足插補實時性要求。