類分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的能控和能觀性

摘 要： 動(dòng)態(tài)微分系統(tǒng)的能控性和能觀性是現(xiàn)代控制理論的基本問(wèn)題，緊密聯(lián)系著微分系統(tǒng)的極點(diǎn)配置、最優(yōu)控制和觀測(cè)器設(shè)計(jì)等。能控性是評(píng)估系統(tǒng)是否具有通過(guò)控制作用支配系統(tǒng)狀態(tài)的能力，而能觀性則研究系統(tǒng)測(cè)量輸出是否具備推斷系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的能力。本文研究了類分?jǐn)?shù)階線性微分系統(tǒng)和矩陣?yán)钛牌罩Z夫微分系統(tǒng)的能控和能觀性問(wèn)題。首先，應(yīng)用常數(shù)變易法給出類分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)的解析解，基于解析解導(dǎo)出類分?jǐn)?shù)階線性微分系統(tǒng)能控能觀的充分必要條件；其次，應(yīng)用相似方法提出了類分?jǐn)?shù)階矩陣?yán)钛牌罩Z夫微分系統(tǒng)能控能觀性的判定準(zhǔn)則，同時(shí)研究其穩(wěn)定性問(wèn)題；最終，通過(guò)兩個(gè)具體的數(shù)值案例，本文提出的理論結(jié)果的有效性得到了充分的驗(yàn)證，從而不僅證實(shí)了我們的分析的正確性，而且展示了所提出方法在實(shí)際應(yīng)用中的潛力和價(jià)值。

關(guān)鍵詞： 類分?jǐn)?shù)階線性微分系統(tǒng)；類分?jǐn)?shù)階矩陣?yán)钛牌罩Z夫微分系統(tǒng)；能控性；能觀性

中圖法分類號(hào)： O231.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1000-2324（2024）06-0943-07

能控性和能觀性是從控制和觀測(cè)角度表征微分系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的兩個(gè)基本特性。整數(shù)階線性微分系統(tǒng)的經(jīng)典控制理論提供了通過(guò)能控格拉姆矩陣和能觀格拉姆矩陣的秩，檢驗(yàn)系統(tǒng)能控性和能觀性的基本方法，證明了線性微分系統(tǒng)能觀性和能控性是對(duì)偶的。經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展，整數(shù)階線性微分系統(tǒng)的能控和能觀性研究已經(jīng)取得了許多優(yōu)秀的研究成果［1，2］。然而，有時(shí)應(yīng)用整數(shù)階微分系統(tǒng)描述實(shí)際問(wèn)題不夠準(zhǔn)確，無(wú)法描述出問(wèn)題的本質(zhì)，所以誕生了經(jīng)典分?jǐn)?shù)階微積分理論［3，4］。應(yīng)用經(jīng)典分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)能夠更加準(zhǔn)確的描述實(shí)際問(wèn)題的本質(zhì)，因此經(jīng)典分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)理論及應(yīng)用研究近年來(lái)已成為數(shù)學(xué)、控制等領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)［5，6］。經(jīng)典分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的能控和能觀性是分?jǐn)?shù)階控制理論的基本問(wèn)題，目前存在許多研究成果，如文獻(xiàn)［7］導(dǎo)出了連續(xù)時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)能控和能觀矩陣并給出了相應(yīng)的計(jì)算方法，文獻(xiàn)［8］針對(duì)多個(gè)不同階的分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)，提出了能控性和能觀性判定準(zhǔn)則，其它經(jīng)典分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的能控能觀性問(wèn)題的研究見(jiàn)［9-11］。