管殼式相變蓄冷單元傳熱肋片拓撲優化設計

孟金龍, 張庭瑋, 徐世俊, 閆學文, 胡偉強

(上海航天設備制造總廠有限公司, 上海 200240)

相變蓄冷技術利用相變材料潛熱實現冷量的蓄存與釋放,其蓄冷密度大,蓄冷釋冷過程近似恒溫,因而具有良好的應用前景[1-2]。相變蓄冷技術在應用中,需要有高效的換熱結構以實現冷量的快速蓄存以及釋放。常用的蓄冷結構形式主要有堆積床式以及管殼式兩大類。其中,管殼式相變蓄冷結構形式簡單,安裝維修方便,相變材料填充量大,蓄冷密度高,因此在工程中應用較廣[3]。

由于相變材料的導熱率很低,因此使用過程中往往需要增加強化換熱措施,迄今為止,相變蓄冷的強化傳熱研究主要有兩個領域:①開發金屬納米顆粒復合相變材料[4]和多孔介質復合相變材料[5]以增加材料導熱性能;②增加高導熱肋片以提升換熱速率[6-8]。雖然通過添加納米顆粒和/或多孔介質已經成功地提高了復合材料的導熱性,但在多次循環后可能會出現相變材料儲能密度大幅下降和相分離等諸多問題[9]。而構建高導熱肋片則不會導致相變材料退化或分離等問題。因此,肋片結構導熱通道的優化設計成為研究的熱點。

目前,針對管殼式相變蓄冷結構傳熱肋片的研究已經很豐富,對肋片的不同構型也有了較為廣泛的探討。

Yagci等[10]進行了一系列實驗,研究了不同肋片長度比對管殼式相變單元蓄冷釋冷性能的影響。結果表明,當肋片長度比從1減小到0時,相變材料的液化時間縮短了21%。Kumar等[11]對管殼式儲能裝置中肋片內管不同偏心位置對相變材料液化性能的影響進行了數值和實驗研究。結果表明:當肋片底部夾角較小,內管偏心距最大時,蓄冷性能最佳。Zhang 等[12]利用分形理論對相變單元內肋片的分布進行優化設計。結果表明,當主肋與支肋長度比為1.3、寬度指數為1時,蓄冷釋冷較快。

上述研究絕大多數主要集中在傳統直肋、針肋、環肋等的參數優化方面,即對已有的一些肋片形狀進行具體尺寸上的優化分析,缺少具體的優化理論指導,對于肋片設計的最優構型報道不多,少部分研究是基于仿生學原理或者數學中的分形理論對肋片進行設計,除此之外大多數關于肋片的設計都是依靠設計者的個人經驗。因此,針對管殼式相變蓄冷單元的特征結構,有必要對其傳熱肋片的最優設計構型進行研究,并為以后肋片優化設計提供一定指導。

肋片結構優化一般可以分為尺寸優化、形狀優化與拓撲優化,拓撲優化作為設計的初始概念階段,設計自由度最高,相應的求解難度也最大。近年來,拓撲優化逐漸被引入到傳熱領域,其中大多數集中在芯片散熱的高導熱通道求解上,即通過類比穩態傳熱過程與結構力學中的應力應變過程,以散熱弱度最低為優化目標,對其進行優化求解[13]。雖然其可為高導熱通道的布置提供一定的理論支撐,但現有研究主要針對穩態導熱問題,對于相變蓄冷這一瞬態問題的拓撲優化研究還很少,現基于拓撲優化理論,針對管殼式相變蓄冷單元的物理結構,結合其特定的傳熱背景,就其傳熱肋片的拓撲優化問題進行特征構建求解,得到肋片最優拓撲構型,對管殼式相變蓄冷單元傳熱性能的改善與肋片優化設計的理論指導有重要意義。

1 物理模型

管殼式相變蓄冷單元如圖1 所示,其結構主要包括內管以及外殼,內管主要用作換熱流體通道,相變材料填充在內管與外殼之間,外殼外圍包裹保溫材料防止冷量的散失,換熱流體流過內管通過管壁與相變材料進行換熱,從而實現冷量的蓄存與釋放。

圖1 管殼式相變蓄冷器示意圖Fig.1 Shell and tube heat transfer structure

由于管殼式相變蓄冷結構周向為對稱結構,為簡化計算,選取管殼式相變蓄冷單元軸向二維截面作為設計域Ω,如圖2 所示。設計域中既包括低導熱率的相變蓄冷材料,又包括高導熱的肋片材料,優化目的即為尋求設計域內二者的最佳分布,從而使得整體結構換熱最優。

對于上述問題,其能量方程可以寫為

(1)

(2)

式中:r和φ分別為極坐標系中的徑向和坐標角度;Ω表示設計域;下標“PCM”和“fin”代表相變材料和肋片;ρ為密度,kg/m3;k為導熱系數, W/(m·K);c為比熱容,J/(kg·K);τ為反應時間,s;h為相變材料的焓,kJ/kg,其定義為

r為內管半徑;R為外管半徑;q為熱流密度,q=0表示內管管壁設定為恒溫邊界;T為設計域溫度, Tb為邊界溫度,T=Tb表示外邊界 為絕熱邊界圖2 拓撲優化模型計算域Fig.2 Design domain of topology optimization model

(3)

式(3)中:L為相變材料潛熱,kJ/kg;T為溫度,K;Tini表示初始溫度,K。

邊界條件和初始條件為

T=Tb, ?τ

(4)

(5)

T=Tini,τ=0, ?(r,φ)∈Ω

(6)

式中:Tb表示邊界溫度,K;n為單位法向量。

對式(1)和式(2)進行變分法可得能量方程的有限元方程為

(7)

式(7)中:M代表熱容矩陣;T為計算節點對應的溫度列向量;K則為導熱剛度矩陣,等式右端的Q項則主要包括兩部分:一是等效熱源部分,另一個則是邊界條件部分。

此外,對于式(7)中熱容矩陣的處理主要采用集中法,即將離散單元的熱容平均分配到各個網格節點上,從而盡可能減少計算過程中出現振蕩等不收斂現象。

2 拓撲優化模型

對于管殼式相變蓄冷單元而言,其主要目的在于求解設計域內高導熱肋片與低導熱相變材料的最優分布,使得因相變材料導熱率低而產生的換熱不佳的問題得以解決,基于此,選取最終時刻的平均溫度最低作為拓撲優化模型的目標函數,在相同的初始條件下,經過相同時間段后的最終時刻平均溫度越低,代表這段時間內換熱速率最快,也就是對于換熱的強化效果越好。

對于管殼式相變蓄冷結構的拓撲優化問題來說,目的在于求解最佳換熱下的材料最優分布,所以設計變量應該為高導熱材料的“有”“無”,通過求解高導熱材料的分布即可反映出最終的幾何拓撲構型,因此該問題中材料的“有”“無”即代表了設計變量的上下界“1”和“0”。此外,該問題的等式約束為之前求得的有限元方程,不等式約束選取高導熱材料肋片體積占比,以保證在滿足一定蓄冷密度前提下使得綜合換熱效果最優。基于此,二維管殼式相變蓄冷問題的拓撲優化模型為

(8)

式(8)中:A為設計域的面積;γ為高導熱肋片材料的最大體積占比;τ為一段時間內的最終時刻;x為自變量,表示高導熱材料的有無。

模型構建過程中的主要參數如表1所示。

表1 模型參數設置表Table 1 Parameters of model

3 計算結果

3.1 肋片拓撲構型動態演化特性

圖3所示為肋片拓撲構型動態演化特性圖,由圖3可以看出,在整個迭代過程中,肋片結構的變化趨勢為由內向外生長,并且出現明顯的主肋以及支肋的分叉結構。在迭代初期存在較多的中間密度單元,拓撲構型十分不清晰,隨著迭代次數的增加,在實現設計變量的過濾以及更新后,中間密度單元數量逐漸減少,再經過投影函數對肋片輪廓的投影,肋片構型逐漸清晰,在迭代次數達到70次的時候,拓撲構型基本穩定。最終優化求解后的肋片拓撲構型輪廓清晰,在一定程度上具有分形的特點,主肋與支肋的分叉較為明顯,相鄰主肋之間夾角大約為45°,一級支肋也大致呈現45°夾角,二級支肋由于周向距離的限制,在逐漸生長至靠近外邊界時,盡可能增大自己夾角使得高導熱材料可以覆蓋更大的區域,以求得更優的換熱效果。

3.2 不同體積占比下的最優構型分析

進一步探究不同肋片體積占比下最終所得拓撲構型的異同,如圖4 所示,可以發現,當肋片體積占比非常少,只有5%的時候,所得肋片最終構型非常簡單,只有部分主肋有支肋結構,且由于受到材料占比的約束,各個肋片的幾何尺度都很小,隨著肋片體積占比的增多,肋片最終拓撲構型逐漸豐富,肋片末端進一步向外延伸,更多的肋片出現了明顯的主肋與支肋結構,當肋片體積占比達到20%的時候,肋片最終拓撲構型逐漸穩定,由于受到外邊界距離限制,進一步加大肋片體積占比只會在之前構型上增大相應主肋與支肋的寬度,對于肋片拓撲構型的影響很小。

圖4 不同體積占比下的拓撲結構Fig.4 Topology structural under different volume fraction

圖5則表示了不同肋片體積占比下目標函數的變化趨勢,當肋片體積占比從5%逐漸增大到20%,由于肋片拓撲構型不斷豐富,設計域內有更多的高導熱材料以及盡可能大的覆蓋面積,使得整個設計域最終時刻的平均溫度不斷降低,當肋片占比從20%進一步增加至25%時,由于肋片拓撲構型已經趨于穩定,雖然設計域內高導熱材料增多,但由于肋片構型基本不變,意味著相變材料與肋片換熱邊界路徑基本類似,而換熱的阻力主要來自低導熱率的相變材料側,這也就是雖然肋片占比提升了5%,但整體設計域平均溫度下降不多的主要原因。反觀更多的肋片體積占比意味著更多的高導熱材料成本以及更少的相變材料,綜合考慮優化效果、蓄冷密度、肋片成本等因素,20%的肋片體積占比是一個較優值。

圖5 不同高導熱材料體積分數下目標函數趨勢Fig.5 The trend of objective function under different volume fractions of high thermal conductivity materials

3.3 蓄冷特性對比

采用等效熱容法就拓撲優化肋片與直肋在相同蓄冷條件下進行蓄冷特性分析。圖6和圖7分別為管殼式蓄冷單元蓄冷過程相變材料液相率變化云圖。可以看出,在前20 min,不管是采用拓撲肋片還是直肋的蓄冷單元都只有很小的一部分材料發生相變,由于肋片的導熱系數較高,冷量通過內邊界很快地傳遞給肋片末端靠近外邊界的位置,由于邊界為恒溫邊界,因此冷量就通過肋片由內邊界源源不斷向相變材料進行傳遞。可以發現,在20 min的時候,發生相變的相變材料主要集中在肋片周圍,到40 min的時候,可以明顯看出采用拓撲肋片的蓄冷器有更多的相變材料完成相變,這是因為相比于直肋蓄冷單元而言,采用拓撲肋片的蓄冷單元結構較為優化,雖然肋片材料體積占比相同,但因其有主肋以及支肋結構,相比于直肋的等寬路徑而言,擁有了更長的換熱路徑,也相當于肋片與相變材料的換熱邊界得以擴大,更多的相變材料可以直接通過肋片進行換熱,而不是單純依靠相變材料自身的低導熱率進行換熱。由圖8蓄冷過程液化率變化曲線可知,在相同的初始條件下,相同的計算時間內,采用拓撲肋片的蓄冷單元最終有87.2%的相變材料完成蓄冷過程,而直肋的蓄冷單元則只有45.5%的材料完成了相態轉變,拓撲優化肋片相比于直肋對于相變蓄冷過程的強化換熱效果提升了41.7%。

圖6 拓撲優化肋蓄冷器不同時刻蓄冷過程液化率云圖Fig.6 Topology optimization ribbed cold storage process liquid faction concur at different times

圖7 直肋蓄冷器不同時刻蓄冷過程液化率云圖Fig.7 Straight ribbed cold storage process liquid faction concur at different times

圖9和圖10則從蓄冷過程中溫度場變化的角度對拓撲肋片蓄冷單元以及直肋蓄冷單元進行對比分析。由圖9、圖10可知,在蓄冷過程中相同時刻,采用拓撲肋片后的蓄冷單元平均溫度較直肋更低,這也主要是因為拓撲優化后的肋片構型其傳熱路徑更遠,涉及的換熱邊界更多,雖然二者材料占比相同,但其可以將高導熱的肋片盡可能多的分布在整個設計域。這也進一步驗證了主肋與支肋的分支結構雖然減少了肋片的寬度,但相反可以使得更多的肋片分布到靠近外邊界的區域,使得外圍遠離內管換熱流體的相變材料也可以較快的實現換熱,從而說明拓撲優化在相變蓄冷強化換熱領域的優勢。

圖10 直肋蓄冷器不同時刻蓄冷過程溫度場云圖Fig.10 Cloud diagram of temperature field of straight rib cooling storage process at different time

4 結論

基于拓撲優化理論,構建了二維管殼式相變蓄冷單元的物理模型并進行有限元分析;接著選取最終時刻平均溫度為目標函數,以肋片材料體積占比為約束條件構建了拓撲優化模型;采用全局移動漸近線法對拓撲優化問題進行特征求解并得到清晰的拓撲輪廓。接著探究了不同高導熱材料體積占比下拓撲構型及優化效果的差異,并在相同蓄冷條件下將直肋與拓撲優化肋蓄冷效果進行對比,得到以下結論。

(1)拓撲優化所得肋片的最優構型呈現類似樹枝狀的分叉效果,并且有明顯的主肋與支肋的拓撲結構。其肋片結構在優化迭代過程中,生長趨勢由內向外,盡可能多且均勻的覆蓋整個設計域,從目標函數變化來看,不論是主肋還是支肋都對設計域的強化換熱有一定的貢獻。

(2)在肋片體積占比從5%增加到25%過程中,肋片拓撲構型逐漸豐富,支肋數量逐漸增多;當體積分數為20%時,肋片最優拓撲構型基本成型,更多的材料只增加了肋片的寬度,對目標函數優化效果提升不明顯。綜合考慮材料成本以及蓄冷密度,20%肋片體積占比是較優選擇。

(3)拓撲優化所得肋片增加了與相變材料之間的換熱路徑,相比于直肋蓄冷單元,在相同蓄冷條件下,采用拓撲優化肋片的蓄冷單元中蓄冷速率較直肋提高了41.7%,且整個蓄冷過程的平均溫度也大大低于直肋蓄冷單元,最終時刻設計域的平均溫度較直肋降低了3 ℃左右。