2∶1內共振下超臨界輸流管道的強迫振動

王則, 耿佳, 李滿枝

(1.太原科技大學應用科學學院, 太原 030024; 2.西安交通大學機械工程學院, 西安 710049; 3．中國商飛上海飛機設計研究院, 上海 201203)

管路系統是支撐飛機、火箭等飛行器安全飛行的重要系統之一。由于外部激勵、內部流體以及管道的相互作用,管道呈現復雜的振動行為,導致管路系統經常發生振動故障,嚴重影響飛行器的安全飛行[1-3]。當前飛行器管路系統中流體的流速越來越高,使得管路系統的振動問題更加突出。

輸流管道的振動問題屬于非線性問題的范疇,研究人員采用多種方法對其進行了廣泛的研究。王鵬等[4]綜述了輸氣管道瞬態響應的研究方法。徐玲等[5]基于離散元與有限元耦合的方法研究了輸氣管道的穩態動力響應。這些針對低流速下輸流管道的研究都表明其響應存在多種有趣的現象[6-7]。然而,當流體的速度超過臨界速度時,輸流管道的響應呈現更加復雜的振動行為。Tan等[8]使用伽遼金離散截斷法研究了超臨界流速下的固有頻率,表明在超臨界流速下,固有頻率隨著流速的增加而增加。此后,Tan等[9]和黃慧春等[10]分別使用有限差分法和直接多尺度法研究了超臨界流速下管道的非線性主共振,表明在超臨界流速下其響應呈現軟彈簧特性。李錢[11]使用值積分法研究了輸流管道隨流速的分岔行為,表明在超臨界流速下輸流管道存在混沌振動。

內共振,即系統的固有頻率間存在近似整數比的關系,廣泛存在于許多工程問題中。當系統存在內共振時,兩個模態間可能發生相互作用,導致能量在兩個共振模態間傳遞。毛曉曄等[12]使用多尺度法研究了超臨界輸流管道具有3∶1內共振時強迫振動響應。張凱凱等[13]使用多尺度法研究了參數激勵下超臨界輸流管道的振動響應。這些研究表明,內共振使得系統能量在模態間相互傳遞。此外,Zhang等[14]和黃慧春等[15]使用多尺度法研究了超臨界輸流管道具有2∶1內共振時的振動行為,表明系統存在對稱的雙跳躍現象。然而,Zhang等的研究沒有考慮三次非線性項的影響,也沒有考慮系統響應的分岔行為研究。

綜上所示,針對超臨界輸流管道內共振的研究亟待解決。因此,現針對超臨界流速下輸流管道的非線性振動行為,聚焦其在2∶1內共振條件下解的穩定性和分岔行為,并分析各個系統參數對系統響應的影響,以期為高速流體管道的動力學設計提供指導。

1 運動方程

圖1所示為典型輸流管道的示意圖,管道兩端的支撐簡化為簡支邊界。管道的運動方向垂直于管道的軸線。假設管道為細長柔性結構,因此可不考慮剪切變形和轉動慣量的影響。考慮運動時管道軸向伸長引起的非線性軸向力,基于牛頓第二定律,輸流管道在外界簡諧激勵作用下的運動方程[16]可寫為

圖1 輸流管道的示意圖Fig.1 Schematic representation of fluid-conveying pipe

(1)

為方便研究,引入以下無量綱參數:

(2)

將無量綱參數式(2)代入式(1),得輸流管道的無量綱方程為

(3)

管道兩端為簡支邊界,則無量綱的邊界條件為

υ(x,t)=0,υ″(x,t)=0,x=0,1

(4)

當流速超過臨界流速后,輸流管道的平凡構型發生失穩,分岔為兩個對稱的非平凡構型,其平衡構型的表達式為

(5)

式(5)中:k表示臨界速度階數,且只有第一階非平凡構型為穩定的。

(6)

式(6)為非線性的偏微分方程,一般不存在解析解。其可使用Galerkin截斷法求解,假設式(6)的解為

(7)

式(7)中:qj(t)表示橫向振動的第j階模態坐標。將式(7)代入式(6),并將所有項乘以sin(πx),然后將得到的方程在x=0到1上積分,可得到以下常系數非線性微分方程為

(8)

式(8)也可寫作矩陣形式,即

(9)

式(9)中:M為質量矩陣;G為陀螺矩陣;K為線性剛度矩陣;K2(q)為平方非線性剛度矩陣;K3(q)為立方非線性剛度矩陣;F為激勵幅值矩陣。

2 增量諧波平衡法

在所有求解非線性常微分方程的方法中,增量諧波平衡法是一種高效可靠的方法。因此采用增量諧波平衡法求解系統的非線性動力學響應[15]。為求解方程,首先引入新的時間變量τ=Ωt,則式(9)可寫成

(10)

增量諧波平衡法的第一步是增量過程。假設qi0和ω0表示式(10)的解,則其臨近的狀態可表示為

qj=qj0+Δqj,Ω=Ω0+ΔΩ

(11)

將式(11)代入式(10),略去高階小量,得到以下線性增量方程,即

(12)

(13)

式中:R為誤差向量;當Ω0和q0為式(10)的準確解,即

q0=[q10,q20,…,qn0]T, Δq0=[Δq1,Δq2,…,Δqn]T

增量諧波平衡法的第二步是諧波平衡過程。由于式(10)具有二次非線性和三次非線性,其穩態解周期解可假設為

(14)

Δqj0=CΔAj

(15)

式中:nc為余弦諧波項的個數;ns為正弦諧波項的個數;C=[1,cosτ,cos2τ,…,cos(nc-1)τ,sinτ,sin2τ,…,sinnsτ];Aj=[aj1,aj2,…,ajnc,bj1,bj2,…,bjns];ΔAj=[Δaj1,Δaj2,…,Δajnc,Δbj1,Δbj2,…,Δbjns]。

令

A=[A1,A2,…,An]T, ΔA=[A1,A2,…,An]T,

S=diag[Cs,Cs…,Cs]

(16)

于是

q0=SA, Δq0=SΔA

(17)

將式(16)代入式(12),并運用Galerkin過程,得到關于ΔA,ΔΩ的線性方程為

(18)

式(18)中:

式(17)的未知量比方程的數量多1,計算時可將其中一個未知量指定為增量。若以激勵頻率為增量,此時ΔΩ=0。求解方程得到ΔA,把ΔA加到原來的解上,得到新的解A+ΔA作為新的解,判R的值是否小于給定的精度;如果不能,繼續將A+ΔA代入式(17)迭代,直到滿足精度。之后,給Ω一個新的值,重復以上過程。方程解的穩定性可采用多變量Floquet理論求得。

3 數值算例

為了研究輸流管道含有內共振時的響應以及各個系統參數對系統響應的影響。本小節采用頻率響應曲線表明系統的響應。求解過程中,采用四階Galerkin截斷法,得到一組非線性常微分方程組。在使用增量諧波法求解時,取ns=5,nc=4,令

qi=Ai0+Ai1cos(τ+φi1)+Ai2cos2(τ+φi2)+…,i=1,2,3,4,

圖2所示為系統不含內共振時前兩階模態主諧波的頻率響應曲線。激勵頻率被調至第一階固有頻率附近。圖2中曲線的無量綱系統參數為:γ=4,Mr=0.447,P=0,α=16,c=0.04。圖2(a)為A11的頻響曲線,圖2(b)為A22的頻響曲線。A11為變量q1第一階主諧波的幅值,A22是變量q2第二階主諧波的幅值。由圖2可知,系統呈現軟彈簧特性的非線性。比較諧波的幅值可知,第二階模態的幅值很小,表明能量主要集中在第一階模態。具體地,當激勵頻率從Ω=10開始增加,系統響應的幅值增加,直到在A點發生鞍結點分岔。在該點,解失去穩定性,響應幅值隨著激勵頻率的減小而增加,直到在B點再次發生鞍結點分岔。此后響應再次獲得穩定性,響應幅值隨著激勵頻率的增加而減小。

圖2 系統不含內共振時的頻率響應曲線Fig.2 Frequency response curves of the system with no internal resonance

為了研究系統含有內共振時的響應。圖3給出了系統具有2∶1內共振時的頻率響應曲線。為表明圖中的曲線,選擇輸流管道的流速γ=5.427,此時ω2=2ω1。

由圖3可知,頻率響應曲線存在兩個不對稱的峰,這與文獻[14]中得到的對稱的峰不同。究其原因是,三次非線性項使得系統的響應整體向左彎曲。具體地,當激勵頻率Ω從較小的值開始增加,幅值增加,直到A點,發生鞍結點分岔,響應成為不穩定的。此后解隨著激勵頻率的減小而增加,直到在B點,再次發生鞍結點分岔,響應再次獲得穩定性。此后隨著激勵頻率的增加,響應的幅值減小。直到激勵頻率達到C點,系統發生Hopf分岔,響應呈現非周期解。繼續增大激勵頻率,響應在D點發生反Hopf分岔,響應再次成為穩定的。進一步增加激勵頻率,幅值增加,直到在E點發生鞍結點分岔,響應失去穩定性,直到在F點,響應再次成為穩定的。激勵增加激勵頻率,響應幅值隨著激勵頻率的增加而減小。

圖3表明2∶1內共振會導致系統發生Hopf分岔,響應呈現擬周期行為。為了表明系統發生Hopf時的非穩態響應行為,圖4所示為激勵頻率Ω=17.87時的時域圖、傅里葉頻譜圖、相圖和龐加萊截面圖。由圖3(a)可知,能量在第一階模態和第二階模態之間連續交換,導致系統響應呈現拍振現象。此外,傅里葉頻譜圖表明,此時響應中不僅包含激勵頻率的成分,也包含其他的頻率成分。同時,龐加萊截面圖也成一個閉環,表明系統響應為擬周期的。

圖4 Ω=17.87時的擬周期響應Fig.4 Quasi-periodic response as Ω=17.87

圖5所示為阻尼系數對系統頻率響應曲線的影響。由圖5可知,隨著阻尼系數增加,響應的主峰值明顯減小;由于2∶1內共振引起的峰值也隨著阻尼系數的增加而減小。這表明阻尼能阻礙能量在耦合模態間的能量交換。此外,隨著阻尼的增加,由內共振引起的擬周期響應的頻率區間也減小。如圖6所示為隨著阻尼系數變化時系統發生擬周期響應的區間。由圖6可知,隨著阻尼增加,發生擬周期響應的頻率范圍減小。

如圖7所示為不同激勵幅值下系統的頻率響應曲線。由圖7可知,隨著激勵幅值的增加,響應的主分峰值和副幅值都增加。這表明,激勵幅值增加,模態間的相互作用也增強。此外,隨著激勵幅值增加,系統發生擬周期響應的頻率范圍也增加。為了表明擬周期范圍隨激勵幅值的變化,圖8給出了不同激勵幅值下,系統發生擬周期響應的范圍。由圖8可知,當激勵幅值減小時,擬周期響應的范圍減小,直到當激勵激勵幅值達到0.02時,系統不再發生擬周期響應。

圖5 不同阻尼系數下的頻率響應曲線Fig.5 Frequency response curves for various damping ceofficient

圖6 不同阻尼系數下擬周期解的激勵頻率區間Fig.6 Range of excitation frequency with quasi-periodic response for various damping coefficient

圖7 不同激勵幅值下的頻率響應曲線Fig.7 Frequency response curves for various excitation amplitude

圖8 不同激勵幅值下擬周期解的激勵頻率區間Fig.8 Range of excitation frequency with quasi-periodic response for various excitation amplitude

4 結論

以超臨界輸流管道為研究對象,使用增量諧波平衡法研究其存在2∶1內共振時的動力學響應。利用多變量Floquet理論分析了響應的周期解的穩定性和分岔點,并研究了系統參數對響應的影響。此外,基于時域圖、相圖、龐加萊截面圖、傅里葉頻譜圖表明了系統的擬周期響應。

研究表明,在2∶1內共振條件下,超臨界輸流管道呈現出不對稱的雙跳現象,這種不對稱性源自系統三次非線性的影響。在2∶1內共振條件下,當激勵頻率在第一階固有頻率附近時,系統存在Hopf分岔行為,這導致系統呈現出擬周期振動等復雜響應行為。分析系統參數對響應的影響表明,增加阻尼會降低內共振引起的模態間相互作用。增加激勵幅值,可增強模態間的相互作用。