空間自錨式懸索橋合理成橋狀態計算方法

摘要：自錨式懸索橋成橋狀態主梁不同的內力分布決定了吊桿豎向力的分布。文章以一座雙塔三跨空間自錨式懸索橋為實例，在主梁吊點處采用強迫位移法進行主梁內力的調整，得到吊桿豎向荷載分布情況；以彈性懸鏈線理論的解析算法為基礎，迭代求解主纜分段無應力索長和吊桿無應力長度，將無應力索長作為初始參數在通用有限元軟件ANSYS中建立有限元模型，調整錨跨主纜無應力長度及主梁后錨面的預長量，并以此分析計算其合理成橋狀態。

關鍵詞：自錨式懸索橋；合理成橋狀態；有限元；解析法；空間索面

U448.25A260823

0 引言

空間自錨式懸索橋具有傳統懸索橋優美的外形且對地質條件要求不高，在中小跨徑橋梁上具有較強的競爭力［1］。空間自錨式懸索橋主梁需要承受主纜傳遞給主梁截面的巨大軸力，因此空間自錨式懸索橋主梁具有較大的抗彎剛度。然而傳統的懸索橋設計理論是將主梁視為柔性結構，吊桿將全部作用在主梁上的荷載傳遞給主纜［2］。自錨式懸索橋主梁剛度大，自身的變形也能夠承受一定的荷載，設計計算中需要根據不同的主梁截面形式確定成橋主梁內力的合理分布狀態，從而計算得到空間自錨式懸索橋合理成狀態下的主纜分段無應力索長和吊桿無應力長度的初始參數以及主梁架設控制線形。

1 主梁內力狀態分析

主梁內力分布的計算方法有剛性支撐連續梁法、彎曲能量最小法和彎矩之和最小法等［3-5］。本節以主梁的成橋線形為初始狀態對主梁吊點施加強迫位移的方法，調節主梁彎矩從而得到主纜吊桿豎向荷載分布。如圖1所示，主梁吊點處代以豎向反力Xi、豎向均布荷載q、主纜水平力H，假設主梁受力處于線彈性范圍內，位移和彎矩值滿足疊加條件，采用力法分析主梁吊點位移與主梁彎矩之間的關系見式（1）。

Mp=［C］［δ］-1［{uy}-{Δp}］（1）

式中：Mp——主梁吊點彎矩值；

［C］——彎矩影響矩陣；

［δ］——單位荷載圖乘矩陣；

{Δp}——單位荷載與外荷載之間的圖乘系數；

{uy}——主梁吊點強迫位移。

由式（1）理論推導分析可知，對主梁節點施加強迫位移可對主梁的彎矩分布進行調整，但系數矩陣求解比較繁瑣，因此可結合有限分析理論以主梁成橋線形為初始狀態對主梁節點施加強迫位調節主梁彎矩。主梁合理內力狀態的調整可獲得主梁初始架設參數以及主梁吊桿豎向反力，為纜索系統的分析提供基礎參數。

2 成橋狀態主纜線形分析

主纜線形的計算以分段懸鏈線理論［6-7］為基礎結合傳統的影響矩陣法［8-9］對主纜和吊桿成橋狀態無應力索長進行分析，空間索面懸索橋主纜吊桿與主梁之間存在耦合關系［10］，因此要分別對主纜和吊桿做平衡狀態分析。

2.1 主纜平衡狀態分析

空間索面懸索橋從整體上看主纜是空間線形，但在相鄰吊桿之間由于主纜在自重作用產生垂度依然是平面懸鏈線。因此可以采用自重按變形前索長分布的彈性懸鏈線力學平衡方程［11］計算，進行斜平面方程的修改見式（2），主纜分段懸鏈線的平衡狀態分析見圖2。

liHxHi=HisiEA0+HiqarcsinhViHi-arcsinhVi-qsiHi

hi=siEA0Vi-qsi2+Hiq1+ViHi2-1+Vi-qsiHi2

Hi=H2x+H2yi（2）

主纜節點的豎向荷載可由式（3）計算得到：

Vi+1=Vi-（Pvi+qsi）（3）

式中：E、A0、q——主纜的彈性模量、變形前截面面積、自重集度；

si、hi、li——成橋狀態主纜分段無應力索長、主纜索段高差、相鄰吊桿間距離；

Hx、Hyi、Hi、Vi——主纜縱向水平分力、吊點處橫向水平分力、水平面內的合力、豎向分力；

Pzi——主梁吊點豎向荷載向量。

2.2 吊桿平衡狀態分析

主纜和吊桿存在耦合關系，主纜平衡方程中的橫向水平分力Hyi需要對成橋吊桿力進行平衡分析（見圖3）。成橋狀態吊桿具有較大的軸力，計算分析表明成橋吊桿的垂度對無應力長度的影響非常小，可以忽略不計，因此吊桿的平衡方程見式（4）。

dzi=Zi-∑ni=1hi

yi=∑ni=1liHyiHx

dyi=Yi-yi

Pyi=Pzidyidzi（4）

主纜節點的橫向荷載可由式（5）計算得到：

Hy（i+1）=Hyi-Pyi（5）

式中：Pyi、dyi、dzi——主纜吊點橫向力、主纜吊點與主梁吊點之間的橫向距離、和豎向距離；

"yi——成橋主纜吊點與IP點之間的橫向距離；

Yi、Zi——理論IP到主梁吊點之間的水平距離、和豎向距離。

2.3 成橋線形迭代計算

中跨迭代計算時，主纜自重集度q，吊桿間距li和矢高f，虛焦點坐標均已知，主纜吊點集中荷載Pi由第一節分析得到。首先根據拋物線假定計算一個虛焦點處的初值Hx、Hy、V，由式（2）計算出si、hi，由式（4）計算出yi，最后應滿足式（6）的邊界條件。

∑mi=1hi=f

∑ni=1yi=Δy

∑ni=1hi=Δz（6）

式中：Δy——兩主塔IP點之間的橫向距離差；

Δz——兩主塔IP點之間的高差。

若跨中有吊桿時n為主纜索段數，m為一半索段數，若跨中無吊桿需要等效為跨中有吊桿，而對應的吊桿軸力為零。

若初值Hx、Hy、V不能使式（6）成立，則計算誤差向量為：

真實的Hx、Hy、V由影響矩陣法按如下步驟計算：

（1）索端力產生單位增量，將V=V+1、Hy=Hy+1和Hx=Hx+1分別由式（2）～（6）計算出相應的f、Δy、Δz的增量，從而得到影響矩陣見式（8）：

ef=∑mi=1hi-f

ey=∑ni=1yi-Δy

ez=∑mi=1hi-Δz（7）

C=c11 c12 c13

c21 c22 c23

c31 c32 c33（8）

矩陣式中第一列為V引起的f、Δy、Δz的增量，第二列為Hy引起的f、Δy、Δz的增量，第三列為Hx引起的f、Δy、Δz的增量。

（2）由式（9）求出V、Hy、Hx的修正向量［ΔVΔHyΔHx］T：

c11 c12 c13

c21 c22 c23

c31 c32 c33

ΔV

ΔHy

ΔHx=

ef

ey

ez（9）

（3）修正索端力V=V-ΔV、Hy=Hy-ΔHy和Hx=Hx-ΔHx重新計算ef、ey、ez。

（4）誤差向量的二范數達到控制收斂準則出迭代結束，由式（10）確定主纜吊點的坐標位置。

Xi=∑ni=1li

Yi=∑ni=1yi

Zi=∑ni=1hi（10）

式中：Xi、Yi、Zi——主纜吊點的三維坐標點。

主纜縱向水平力Hx，與主梁的內力狀態分析得到豎向荷載Pi之間存在耦合關系［12］，需要進行幾次迭代計算才能獲得更為準確的結果。邊跨的計算以主塔彎矩最小和縮股不能在鞍槽內滑動為準則，因此以中跨的縱向水平力作為已知參數，假設豎向荷載V和橫向水平力Hy進行迭代，以邊跨散索點與塔頂IP點之間的豎向高差與橫向偏距作為邊界條件，采用同中跨求解相同的計算方法迭代求解邊跨主纜線形。

3 有限元一次成橋分析

經過主梁合理內力狀態的調整以及纜索系統的找形分析，獲得建立有限元模型的基礎參數，具體分析方法如下：

（1）主纜模型建立，假設錨跨主纜的初始無應力長度，采用只受拉的桿單元模擬主纜［13］，準確地以主纜分段無應力長度建立主纜索段模型。

（2）主纜找形分析，主纜無應力長度對應的后錨點與散索點約束到設計位置，施加很小的重力對模型進行求解，然后更新節點坐標。

（3）主梁模型建立，以成橋主梁線形反向疊加主梁節點強迫位移作為建模時主梁初始線形。

（4）吊桿模型建立，連接主纜吊點與主梁吊點建立吊桿單元，對吊桿施加溫度荷載使其達到計算無應力長度。

（5）觀察求解結果，調整后錨點、主梁吊點的初始建模位置，使其滿足設計成橋線形控制點要求。

基于ANSYS的參數化編程語言（APDL）編制計算程序，只需改變相關參數就能方便的對模型進行調整計算。空間索面懸索橋一次成橋分析流程如圖4所示，第1部分為纜索系統迭代找形計算方法，第2部分基于ANSYS有限元模型分析方法。

4 算例分析

松原市天河大橋北叉橋，是整個結構沿著橋中軸線完全對稱布置的雙塔雙索面的空間自錨式懸索橋。以本文提出的空間索面懸索橋成橋就算方法，對兩種不同主梁內力分布形式的合理成橋狀態進行分析，局部坐標系下主纜線形的控制點坐標見表1，主梁豎曲線關于橋中線對稱，半跨主梁吊點坐標見表2。

本算例按主梁不受力和主梁自身能夠承受一定的荷載進行對比分析主梁和吊桿的荷載分配，最終成橋模型如圖5所示。

工況1：主梁直接架設在成橋線形，主梁吊點處無位移主梁彎矩分布如圖6所示，吊桿的軸力分布如圖7所示。

工況2：主梁吊點處有豎向位移使梁能夠承受更大的荷載，位移如后頁圖8所示。主梁的架設控制線形為成橋主梁吊點高程減去主梁的位移量，主梁的彎矩分布如后頁圖9所示，吊桿軸力分布如后頁圖10所示。

對比計算分析結果可知，工況2的主梁截面承受彎矩增大，吊桿軸力減小值如圖11所示。主梁承受更多荷載，主塔支座處的反力增加，近塔柱處的吊桿軸力明顯減小，造成靠近近塔柱的吊桿力反而有所增加，其余吊桿軸力均有不同程度減小。

5 結語

自錨式懸索橋主梁剛度抗彎大，設計之初就需要根據主梁的截面形式考慮其合理內力狀態，從而再對纜索系統進行找形分析，因此自錨式懸索橋的成橋狀態并不唯一。

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