小球在粗糙圓軌道上的運動

摘 要 小球在粗糙圓軌道上既可以做純滾動，也可以做又滾又滑的運動，利用質心運動定理和質點系角動量定理得出：小球在圓軌道上的運動情況與動摩擦因數密切相關。小球在粗糙圓軌道上的運動與小滑塊在粗糙圓軌道上的運動存在明顯區別，小球的轉動不能忽略，不能處理成質點模型。中學階段命制物體在圓軌道上運動的題目時，為回避轉動的影響，建議將物體選為小滑塊。

關鍵詞 小球;圓軌道;剛體

小球（均質）模型是中學及大學物理中重要的模型，小球在各種接觸面上的運動隨處可見，如果接觸面光滑，小球在接觸面上的運動與小滑塊的運動等效。如果接觸面粗糙，小球受到接觸面的摩擦力可能是滑動摩擦力，也可能是靜摩擦力，小球的形狀及大小不能忽略，小球不能視為質點模型，應該把小球處理成剛體模型，即小球在接觸面上的運動與小滑塊的運動不能等效。如果小球的運動為平面平行運動，質心運動定理可以解決小球隨質心的平動，質點系的角動量定理可以解決小球繞質心的轉動。文獻[1]中討論小球在斜面最斜方向上的滾滑運動，在不同的摩擦因數情況下，小球可以做純滾動，也可以做又滾又滑的運動。文獻[1]還指出，由于小球滾動不可忽略，即便小球半徑趨于零，小球的運動情況與小滑塊也不等同。文獻[2]中討論小球在粗糙斜面上的一般運動，即小球在斜面上時其質心的一般二維運動（球體本身做三維轉動），摩擦因數對小球的運動（無滑還是有滑滾動）有決定作用，無滑滾動時的一般軌跡是拋物線，而有滑滾動時的一般情況則更加復雜。相比小球在斜面上的運動，小球在圓軌道上的運動更為復雜，本文通過2018年浙江卷（4月選考）第20題，研究小球在圓軌道上的運動，由于小球的轉動，對不同的摩擦因數，小球的運動情況不相同。以此說明小球在圓軌道上的運動與小滑塊在圓軌道上的運動存在明顯區別，為教學和命題工作提供參考。

1 問題的提出

例題[2018年浙江卷（4月選考）第20題節選]如圖1所示，一軌道由半徑為2m 的1/4豎直圓弧軌道AB 和長度可以調節的水平直軌道BC在B 點平滑連接而成?，F有一質量為0.2kg的小球從A 點無初速度釋放，經過圓弧上的B 點時，傳感器測得軌道所受壓力大小為3.6N，小球經過BC 段所受阻力為其重力的0.2倍，然后從C 點水平飛離軌道，落到水平面上的P 點，P 、C 兩點間的高度差為3.2m。小球運動過程中可以視為質點，且不計空氣阻力。

（1） 求小球運動至B 點的速度大小;

（2） 求小球在圓弧軌道上克服摩擦力所做的功。

分析與解答：B 點往左是圓弧軌道AB，曲率半徑為R，B 點往右是直線軌道，曲率半徑無窮大，所以B 點是第一類間斷點。圓弧軌道末端B點的速度大小和水平軌道B 點的速度大小相等，在圓軌道末端B 點（在圓軌道上），利用牛頓運動定律或者質心運動定理可以求解B 點的速度大小。

（1） 將小球視為質點，不考慮小球的轉動，對小球在圓軌道上末端B 點利用牛頓第二定律

N -mg =mv2／R

v =4m/s （1）

如果將小球視為剛體，考慮小球的轉動，設小球的半徑為r，對小球在圓軌道上末端B 點利用質心運動定理

考慮轉動時，無法求出小球在最低點質心的速度，所以不能得到克服摩擦力做功的大小。小球在圓軌道上運動時，由于小球與圓軌道之間存在摩擦力，小球在圓軌道上作平面平行運動，所以例題中不能把小球視為質點，應將小球的運動處理成剛體小球的平面平行運動。文獻[3]中對式（5）也做了推導，但是作者將不考慮轉動時小球的速度代入考慮轉動時的動能定理求克服摩擦力做功，這樣是不嚴謹的。式（5）第二個等號成立的條件是小球在圓軌道上的B 點做純滾動，即v=rw 。但是不知道小球在圓軌道末端B 點的運動是純滾動還是又滾又滑的運動，所以很有必要對小球在圓軌道上的運動做更進一步的深入研究。本文假設最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等。

2 問題分析

2.1 小球在1/4 豎直圓軌道全程純滾動動摩擦因數滿足的條件

小球在A 點靜止釋放，小球質心到圓軌道圓心連線轉過θ 角度時，質心的速度大小為v，小球繞質心的角速度大小為w ，小球受力分析示意圖如圖2所示。假設小球從A 點釋放便開始做純滾動，由質心運動定理得