相對(duì)論宏觀系統(tǒng)中的熱力學(xué)平衡態(tài)

摘 要 本文在廣義相對(duì)論彎曲時(shí)空背景下，討論了相對(duì)論流體力學(xué)、動(dòng)理學(xué)和隨機(jī)熱力學(xué)對(duì)于熱力學(xué)平衡態(tài)的定義以及它們之間的聯(lián)系和區(qū)別。特別地，一階相對(duì)論流體力學(xué)給出的平衡態(tài)定義有可能存在不穩(wěn)定性，而動(dòng)理學(xué)給出的定義總是穩(wěn)定的。

關(guān)鍵詞 廣義相對(duì)論;彎曲時(shí)空;熱力學(xué)平衡態(tài)

在熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理中，平衡態(tài)有著特殊的地位。如果我們要研究各種非平衡狀態(tài)的現(xiàn)象，首先需要對(duì)平衡態(tài)有準(zhǔn)確的理解。在非相對(duì)論的熱力學(xué)中，平衡態(tài)有著多種不同而互不等價(jià)的定義。文[1]對(duì)不同定義進(jìn)行了分類梳理，并提出了適用于整個(gè)熱力學(xué)演化過程的平衡態(tài)定義。然而，對(duì)于處于具有長(zhǎng)程特征的引力場(chǎng)和電磁場(chǎng)作用下的相對(duì)論熱力學(xué)系統(tǒng)，直接使用在非相對(duì)論系統(tǒng)中引入的平衡態(tài)定義會(huì)遇到許多問題，通常的熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理教科書大都對(duì)此采取回避的態(tài)度。

具 體來說：在文[1]中被劃分為第一、二類定義的平衡態(tài)的要點(diǎn)是將熱力學(xué)平衡態(tài)定義為不隨時(shí)間演化的狀態(tài)，但對(duì)于相對(duì)論系統(tǒng)，不同的觀測(cè)者有不同的計(jì)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)，時(shí)間不再具有絕對(duì)性，因而也不存在絕對(duì)的“不隨時(shí)間演化”的提法，至多只能談?wù)撓鄬?duì)于某個(gè)特定觀測(cè)者而言不發(fā)生時(shí)間演化的狀態(tài);文[1]中的第三類定義將熱力學(xué)平衡態(tài)定義為由一系列平衡條件決定的狀態(tài)，這些平衡條件要求描述平衡條件的熱力學(xué)參量（即所謂的態(tài)平衡參量）的空間梯度為零。然而，在彎曲時(shí)空中，由于Tolman-Ehrenfest效應(yīng)和Klein效應(yīng)的存在，即便是在相對(duì)于某個(gè)特定觀測(cè)者而言不發(fā)生時(shí)間演化的狀態(tài)下，熱力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)部的溫度場(chǎng)和化學(xué)勢(shì)場(chǎng)也不再是均勻的。一些觀點(diǎn)甚至認(rèn)為在長(zhǎng)程力場(chǎng)下不允許存在熱平衡態(tài)。文[1]中的第四類定義通過統(tǒng)計(jì)平均值或熵來定義平衡態(tài)，而通過統(tǒng)計(jì)平均值的定義要求宏觀物理量有均勻性，同樣無法應(yīng)用于彎曲時(shí)空背景。利用最大熵原理定義的平衡態(tài)原則上可能適用于彎曲時(shí)空，但是這種定義僅適用于孤立系，并且正如本文第4節(jié)的討論，一階相對(duì)論流體力學(xué)理論中通常討論的平衡態(tài)不一定滿足最大熵原理。

幸運(yùn)的是，基于相對(duì)論動(dòng)理學(xué)的工作表明，彎曲時(shí)空中的非平衡輸運(yùn)效應(yīng)并非由態(tài)平衡參量的空間梯度激發(fā)，而是由推廣的熱力學(xué)力激發(fā)。這使得我們有機(jī)會(huì)自然地延拓非相對(duì)論系統(tǒng)中關(guān)于平衡態(tài)的定義。在本文中，我們建議將彎曲時(shí)空中的平衡態(tài)定義為經(jīng)過弛豫過程后達(dá)到的熵產(chǎn)生率為零的狀態(tài)。本文第1節(jié)我們將從流體力學(xué)的層面證明，盡管耗散項(xiàng)和熱力學(xué)力都依賴于觀測(cè)者的選擇，但依然存在對(duì)任意觀測(cè)者而言所有的耗散項(xiàng)或所有的熱力學(xué)力都為零的狀態(tài)，因此平衡態(tài)也可以通過全部耗散項(xiàng)或全部熱力學(xué)力為零來定義。目前相對(duì)論統(tǒng)計(jì)力學(xué)有兩個(gè)主要分支，相對(duì)論動(dòng)理學(xué)與相對(duì)論隨機(jī)熱力學(xué)。以熵產(chǎn)生率為零作為出發(fā)點(diǎn)，本文第2節(jié)中將檢驗(yàn)在動(dòng)理學(xué)框架下彎曲時(shí)空中平衡態(tài)的定義。另一方面，以熱傳導(dǎo)率為零作為出發(fā)點(diǎn)，本文第3節(jié)將檢驗(yàn)在隨機(jī)熱力學(xué)的框架下平衡態(tài)的定義。在這些討論中，可以看到我們建議的熱力學(xué)平衡態(tài)的定義可以囊括相對(duì)論流體力學(xué)、相對(duì)論動(dòng)理學(xué)和相對(duì)論隨機(jī)熱力學(xué)的定義慣例（盡管不同理論定義平衡態(tài)的方式不盡相同），同時(shí)我們也會(huì)指出存在弛豫過程是定義熱力學(xué)平衡態(tài)的必要條件。

本文的符號(hào)約定如下：度規(guī)gμν 的號(hào)差采用（-，+，…，+），時(shí)空維數(shù)為d+1，其中d 表示空間維數(shù)，c 表示光速，張量指標(biāo)：μ，ν，…，=0，1，…，d表示時(shí)空指標(biāo)，i，j，…，=1，2，…，d 表示空間指標(biāo)。

1 流體力學(xué)中的平衡態(tài)

1.1 熱力學(xué)平衡態(tài)

粒子流Nμ 和能量動(dòng)量張量Tμν 是相對(duì)論流體力學(xué)里的兩個(gè)重要的張量。值得提前聲明的是，在相對(duì)論語境下，觀測(cè)者的選擇會(huì)影響到觀測(cè)到的現(xiàn)象。粒子流和能量動(dòng)量張量本身是與觀測(cè)者的選擇無關(guān)的，但是通過粒子流和能量動(dòng)量張量向著觀測(cè)者的固有速度方向或正交于觀測(cè)者的固有速度方向投影而得到的流體力學(xué)狀態(tài)量是依賴于觀測(cè)者的選擇的。在本小節(jié)和下一小節(jié)中，我們將遵循相對(duì)論流體力學(xué)的習(xí)慣，僅引入與流體共動(dòng)的觀測(cè)者 -，而對(duì)于一般的觀測(cè)者 的討論將在1.2小節(jié)和1.3小節(jié)進(jìn)行。

利用共動(dòng)觀測(cè)者 - 的固有速度Uμ 對(duì)粒子流和能量動(dòng)量張量進(jìn)行分解，所得結(jié)果為

其中，Δμν=gμν+1／c2UμUν 是與Uμ 正交的類空面上的誘導(dǎo)度規(guī)，jμ 、qμ 以及Πμν 滿足正交關(guān)系jμUμ =qμUμ =0，ΠμνUμ =0，局部強(qiáng)度變量{n（0），ε（0），P }分別代表粒子數(shù)密度、能量密度的零階背景值和熱力學(xué)壓強(qiáng)（零階與高階修正的區(qū)別將在后文解釋）;耗散項(xiàng){ ， ，Π，jμ ，qμ ，Πμν}分別代表相對(duì)于零階背景而言粒子數(shù)密度、能量密度和壓強(qiáng)的修正項(xiàng)以及粒子流的空間分量、能流的空間分量和剪切應(yīng)力張量。壓強(qiáng)的修正項(xiàng)又稱為動(dòng)力學(xué)壓強(qiáng)。上述流體力學(xué)變量都是由與流體共動(dòng)的觀測(cè)者 -所測(cè)得的。

必須強(qiáng)調(diào)指出：熱力學(xué)平衡態(tài)僅對(duì)于存在耗散的流體（也即存在黏性或熱輸運(yùn)的流體）才能夠定義。在相對(duì)論流體力學(xué)中，熱力學(xué)平衡態(tài)（thermodynamicequilibrium）或整體平衡態(tài)（globalequilibrium）通常被定義為全部耗散項(xiàng)歸零的狀態(tài)（ =0， =0，Π=0，jμ =0，qμ =0，Πμν =0），此時(shí)粒子流和能量動(dòng)量張量的形式與完美流體一致，粒子流和能量動(dòng)量張量的本征方向（即粒子輸運(yùn)方向和能量輸運(yùn)方向）均與Uμ 重合，因此Uμ可以被合理地解釋為平衡態(tài)流體的流速場(chǎng)。

除了上面的定義之外，還存在著另外兩種等價(jià)的定義[2，3]：熵產(chǎn)生率為零的狀態(tài)以及全部熱力學(xué)力為零的狀態(tài)。這兩種定義的含義和等價(jià)性將在1.2節(jié)解釋。

1.2 局部平衡和熵產(chǎn)生

對(duì)于近平衡流體，當(dāng)宏觀演化的特征時(shí)間尺度遠(yuǎn)大于微觀過程的時(shí)間尺度而又遠(yuǎn)小于系統(tǒng)達(dá)到平衡的弛豫時(shí)間時(shí)，可以采用局部平衡（localequilibrium）假設(shè)描述系統(tǒng)，即近平衡系統(tǒng)的局部達(dá)到平衡，在系統(tǒng)位形空間的各個(gè)點(diǎn)處可以定義熱力學(xué)變量，如溫度T 、化學(xué)勢(shì)μ 等，但系統(tǒng)中依然存在非零的耗散，因此整體上并未處于平衡態(tài)。

為了簡(jiǎn)便起見，本節(jié)僅討論中性粒子構(gòu)成的流體系統(tǒng)。局部平衡是系統(tǒng)完整描述的零階近似。當(dāng)考慮中性流體的一階描述時(shí)，流體的熵流定義為[4]

Sμ =kB （βPUμ -βTμνUν +αNμ） （2）

基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目資助，項(xiàng)目批準(zhǔn)號(hào)：12275138。