基于地下圓形結構彈塑性理論的讓壓支護研究

【摘 要】對比普通支護，讓壓支護在高地應力大變形隧道中的應用有著明顯的優勢，其不僅能最大限度利用圍巖的自承能力，而且能減小支護結構的受力，保證地下結構的安全性。基于地下圓形結構彈塑性理論，假設圍巖及襯砌符合理想彈塑性本構關系，并符合庫侖屈服條件，對隧道中的讓壓支護進行了理論分析，并通過算例對其試算。

【關鍵詞】隧道支護；讓壓支護；巖石力學

【中圖分類號】TU94+2【文獻標志碼】A

0 引言

讓壓支護結構同時要求支護結構能夠保證提供較大的支護力和能夠適應圍巖發生較大的變形，最大化地利用圍巖自承能力，同時減小支護結構的受力，最終達到保證隧道穩定的目的。

由于其顯著的優越性，讓壓支護在高地應力擠壓大變形隧道中得到了廣泛應用與諸多研究［1-5］。讓壓支護的設計基本原理為：圍巖的形變壓力會隨著其變形釋放而逐漸較?。?］，根據其設計原理，讓壓支護被分為兩類，一是徑向讓壓變形支護，二是環向讓壓變形支護。徑向讓壓變形支護主要是通過在圍巖與襯砌之間安裝可壓縮層，利用可壓縮層的變形實現讓［7］。環向讓壓變形支護是在噴射混凝土間插入高壓縮性元件或者采用滑動剛拱架，通過高壓縮性元件的壓縮變形或者拱架接頭的滑動來實現襯砌的環向收縮。本文采用環向讓壓變形支護結構進行計算分析。

1 圓形隧道開挖及支護位移計算

取深埋圓形隧道進行分析，假設圍巖與支護結構都滿足理想彈塑性本構關系，因隧道的幾何特性可以將其簡化為軸對稱的平面應變問題。根據侯學淵對圓形隧道開挖及支護過程的力學分析［8］，隧道開挖形成塑性區后，設塑性區半徑為Rp，位于塑性半徑內（a≤r≤Rp）的圍巖進入塑性區，而塑性半徑外（rgt;Rp）的圍巖仍為彈性狀態，根據連續性要求，彈塑性區交界處（即A界面）同時滿足彈性狀態和屈服條件?；谠摾碚搶λ淼篱_挖及支護過程中的位移進行分析。開挖后隧道斷面示意如圖1所示，圖中，p0為圍巖的初始地應力。

1.1 基本方程、邊界條件及屈服條件

（1）平衡微分方程見式（1）。

dσrdr+σr-σθr=0（1）

式中：σr為徑向應力；σθ為環向應力。

（2）幾何方程。

由于軸對稱條件下圍巖或襯砌只有徑向位移，沒有環向位移，因此圍巖及襯砌的幾何方程為式（2）。

εr=dudr

εθ=ur（2）

式中：εr為徑向應變；σθ為環向應變，u為徑向位移。

（3）彈性本構方程。

由平面應變條件下的廣義胡克定律可得式（3）。

εθ=1-μ2E（σθ－μ1－μσr）（3）

式中：E為彈性模量；μ為泊松比。

（4）邊界條件。

隧道開挖及支護過程中，開挖時隧道內壁徑向應力為0，而支護時，隧道內壁上的徑向應力為均布的支護應力pi。離隧道洞壁無窮遠處土體保持初始狀態，即徑向應力與環向應力均為初始地應力p0，有式（4）。

σr（r=a）=-pi

σr（r→SymboleB@）=-p0（4）

式中：a為隧道的半徑；pi為隧道內壁受到的壓應力，即支護應力；p0為隧道圍巖的初始地應力。

（5）屈服條件。

設圍巖及支護結構的屈服符合庫倫屈服條件，有式（5）［9］。

12（σ1-σ3）≤c·cosφ-σ1+σ32sinφ（5）

式中：σ1為第一主應力；σ3為第三主應力；c為材料的內聚力；φ為材料的內摩擦角。

對于深埋隧道，一般有pilt;p0，可知0gt;σrgt;σθ，故σr為σ1，σθ為σ3，則庫侖屈服條件可寫成式（6）或式（7）。

σθ≥2ccosφ-σr（1+sinφ）sinφ-1（6）

或

σθ≥σrtan2θ-σc（7）

式中：θ為材料得破裂角，2θ=π2+φ；σc為用內聚力和內摩擦角表示的材料抗壓強度，σc=2ccosφ1-sinφ=2c.tanθ。

對于理想彈塑性材料，屈服面在應力空間的形狀及大小均保持不變，上式取等號，即式（8）。

σθ=σrtan2θ-σc（8）

1.2 圍巖位移彈性階段分析

設應力以拉為正壓為負，結合基本方程可得彈性圓筒受均布壓力時的應力分布為式（9）［10］。

σr=-b22/r2-1b22/b21-1qa-1-b21/r21-b21/b22qb

σθ=b22/r2+1b22/b21-1qa-1+b21/r21-b21/b22qb（9）

式中： b1、b2分別為圓筒的內外半徑；qa、qb分別為圓筒內壁及外壁所受的壓應力。

當隧道圍巖處于彈性階段時，可將隧道斷面視作外徑無窮遠式（4）的圓筒，即b2→SymboleB@。則由式（9）及邊界條件式可得隧道圍巖應力沿半徑r的分布情況式（10）。

σr=－a2r2pi－（1－a2r2）p0

σθ=a2r2pi－（1+a2r2）p0（10）

由幾何方程式（2）與彈性本構關系式（3）可得彈性階段的徑向位移式（11）。

u=r1－μ2E（σθ－μ1－μσr）（11）

1.3 圍巖位移彈塑性分析

根據平衡微分方程式（1）與屈服條件式（8）可得圍巖位于塑性區（a≤r≤Rp）內的應力分布情況見式（12）。

σr=c·cotφ+Artan2θ-1

σθ=c·cotφ+Artan2θ-1tan2θ-σc（12）

式中：A為待定常數，可根據邊界條件求得。將邊界條件式（4）代入上式可得式（13）。

工程結構蔡曉枘， 喻勇： 基于地下圓形結構彈塑性理論的讓壓支護研究

A=-pi-ccotφatan2θ-1（13）

將式（13）代入式（12），可得圍巖塑性區徑向應力為式（14）。

σr=ccotφ-（pi+ccotφ）（ra）tan2θ-1（14）

根據式（10）可得圍巖位于彈性區（rgt;Rp）的應力分布情況見式（15）。

σr=-R2pr2σp－（1－R2pr2）p0

σθ=R2pr2σp－（1+R2pr2）p0（15）

式中：σp為彈塑性邊界（r=Rp）上的徑向應力。上式中Rp、σp均為未知量，結合屈服條件式（8）可以解出見式（16）。

σp=2p0-σc1+tan2θ=p0（1-sinφ）-c·cosφ（16）

將式（13）代入式（16），結合式（11）并扣除初始應力場引起的位移，可得彈塑性邊界處的位移為式（17）。

up=-1+μE（p0-σp）Rp（17）

式中：up為彈塑性區邊界處的徑向位移。

為求塑性區半徑Rp，可利用在彈塑性邊界應力同時滿足彈性狀態和塑性狀態對其進行求解，由式（14）、式（15）及式（16）可得式（18）。

c·cotφ-（pi+c·cotφ）（Rpa）tan2θ-1

=-σp=2p0-σc1+tan2θ（18）

解得式（19）。

Rp=ac·cotφ-σc-2p01+tan2θpi+c·cotφ1tan2θ-1（19）

根據塑性力學理論，設圍巖及襯砌在塑性狀態下體積不可壓縮，有式（20）［11］。

εθ+εr+εz=0（20）

式中：εz為軸向應變，平面應變條件下，εz=0。因此由幾何方程式（2）可得式（21）。

dudr+ur=0（21）

解出得出（22）。

u=Br（22）

式中：B為待定常數，可由彈塑性區邊界面的位移連續條件求出。由上式可知a·ur=Rpup，因此可得式（23）。

ur=-1+μE（p0sinφ+c·cosφ）a·c·cotφ-σc－2q1+tan2θpi+c·cotφ2tan2θ-1 （23）

式中：ur為隧道洞壁處位移。上式中，令pi=0即可得未支護時的隧道洞壁位移。

2 延時支護及讓壓支護結構設計

2.1 延時支護結構位移計算

延時支護是指在隧道開挖之后等待圍巖發生一定程度的變形后再進行襯砌支護。厚壁圓筒的受力特點是，剪應力隨半徑增大而減小，因此襯砌內壁上的剪應力是襯砌中最大的，加載時內壁最先進入塑性狀態。為安全起見，應盡量使襯砌內壁不出現塑性，根據應力分布規律襯砌整體都應處于彈性狀態，其極限狀態是內壁處于彈性極限。計算表明，若在圍巖發生塑性位移之前施加襯砌支護，則難以使襯砌處在彈性狀態，因為由彈塑性理論導出的方程沒有合理解。

為了確保襯砌處于彈性狀態，可使襯砌外徑小于隧道內徑，即在設計上使襯砌與變形前的圍巖之間存在一定量的縫隙。事實上，隧道開挖后洞壁立即開始了變形過程，因此襯砌的外半徑不可能與圍巖洞壁的初始半徑相同。另一方面，通過調節縫隙寬度，可以使襯砌處在彈性狀態。

隧道斷面如圖2所示，圖中界面A為圍巖塑性區邊界，界面B為隧道洞壁面，界面C為襯砌外邊界，界面B與界面C中間存在縫隙（隨著圍巖位移的發展，縫隙逐漸消失），界面D為襯砌內邊界，設襯砌內徑為a0，外徑為a1且外徑上的徑向應力為p1，由連續性條件可知，縫隙消失后界面C與界面B處的徑向應力相等，即p1=pi。

圖2 延時支護時隧道斷面示意設D界面處于彈性極限，由厚壁圓筒彈性解答，令內壓為0，結合式（8）為式（24）。

21-a20/a21p1=σc1（24）

式中：σc1=2c1cosφ11-sinφ1，σc1、φ1分別為襯砌的內聚力和內摩擦角。

由式（11）結合式（9）得C界面位移為式（25）。

u1=a11-μ21E1（-1+a20/a211-a20/a21p1+μ11－μ1p1）（25）

式中：u1為襯砌外邊界（界面C）的位移；E1為襯砌的彈性模量；μ1為襯砌的泊松比。因u1、ur均為負，則變形協調關系為式（26）。

ur=u1-（a-a1）（26）

由式（24）～式（26）解出襯砌的內外半徑a0、a1為式（27）。

a0=ka1

a1=ur+am+1（27）

式中：m=1-μ21E（-1+k1-k+μ11-μ1）p1；k=a20a21=1-2p1σc1。

由式（11）也可得襯砌內壁的彈性位移為式（28）。

u0=-a01-υ21E121-kq1（28）

式中：u0為襯砌內邊界（界面D）上的位移。

2.2 讓壓支護結構位移計算

讓壓支護具有及時支護和分步支護的特點。其過程為：開挖后及時支護，待圍巖壓力增大時，縮小襯砌的尺寸，使圍巖的塑性變形得到一定程度的發展，同時降低襯砌對圍巖的作用力。讓壓機構呈條帶狀，沿徑向埋在襯砌中，通過調節條帶的寬度，可以改變襯砌的圓周半徑。讓壓支護結構示意如圖3所示。

讓壓支護與3.1節中延時支護過程中留縫隙的方法在本質上是相同的，因此讓壓后的襯砌半徑可按式（27）計算。讓壓機構上的傳感器還可以測量出襯砌的環向應力σθ，為使襯砌的受力狀態與圓筒受力的彈性解相符，讓壓機構的受力應參照圓筒受外壓的彈性力學解，即下列式（29）中的第2式。

σr=-1-a20/r21-a20/a21p1

σθ=-1+a20/r21-a20/a21p1（29）

可以看出，靠近襯砌內壁的應力大，靠近外壁的應力小。在測量環向應力的同時，也可以使讓壓機構主動加力，改變襯砌對圍巖的作用力。設單位隧道長度上讓壓機構產生的環向力為F，則為式（30）。

F=∫a1a0σθdr=∫a1a0-1+a20/r21-a20/a21p1dr=-p1a1（30）

上式中，負號表示F為壓力。上式給出了讓壓機構出力與襯砌應力之間的關系。

3 算例分析

將以上公式編成計算機程序可求解具體問題。對于包含兩個未知數的非線性方程組，無論未知量的表達式是顯式的還是隱式的，都可以直接用牛頓迭代法程序求解。

設有一深埋圓形隧道，隧道半徑為6 m，初始地應力為20 MPa，圍巖及襯砌的材料參數如表1所示。

由式（18）及式（22）可算出不支護條件下塑性區半徑為16.67 m，洞壁位移為0.673 m。顯然這樣的位移量是不安全的。若要將洞壁位移控制在0.15 m，可算出襯砌對圍巖的作用應力需要達到4.83 MPa，這時塑性區半徑為7.87 m。

若采用延時支護將圍巖的位移控制在0.15 m（即襯砌對圍巖的作用力為4.83 MPa），并使襯砌內壁達到彈性極限，可由式（26）算出襯砌的內外半徑分別為4.820 m和5.854 m。即襯砌與圍巖變形前的縫隙為0.146 m，襯砌厚度為1.034 m。

若采用讓壓支護控制圍巖位移，第一步應使襯砌與圍巖緊密貼合，襯砌厚度應為1.034 m。第二步，當襯砌所受壓力增大時，逐漸縮小襯砌半徑，其外半徑的最終值為5.854 m，此時內壁達到彈性極限。

4 結束語

基于地下圓形結構彈塑性理論，對隧道的延時支護及讓壓支護進行了理論研究，得到了庫倫屈服條件下的支護結構的厚度計算表達式，并且通過算例進行了試算，結果合理。

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［基金項目］長江科學院水利部巖土力學與工程重點實驗室開放研究基金資助項目（項目編號：CKWV20221016/KY）

［作者簡介］蔡曉枘（1997—），女，碩士，研究方向為巖石力學；喻勇（1969—），男，博士，教授，研究方向為巖石力學。