利用“三線”破解帶電粒子在電場中的運動問題

2024-01-01 00:00:00李夢婷

中學教學參考·理科版 2024年6期

［摘要］帶電粒子在電場中的運動問題是高中物理的重要內容和高考的考查重點，也是學生學習的重點和難點，該類問題涉及知識點較多、綜合性較強，且命題形式多樣、情境新穎。利用電場線、等勢線、軌跡線分析相關物理量和運動過程，能輕松解決帶電粒子在電場中的運動問題。文章具體闡述如何利用三線——電場線、等勢線、軌跡線破解帶電粒子在電場中的運動問題，以期幫助學生突破解題難點。

［關鍵詞］帶電粒子；電場；電場線；等勢線；軌跡線

［中圖分類號］" " G633.7" " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）17-0045-03

帶電粒子在電場中的運動問題是高中物理的重要內容和高考的考查重點，該類問題涉及知識點多、綜合性強，往往成為學生失分的“重災區”。其實，這類問題考查的還是電場的性質、力與運動的關系以及功能關系這些基礎知識，若能利用三線——電場線、等勢線、軌跡線分析相關物理量和運動過程，就能輕松解決問題。本文探討如何利用“電場線、等勢線、軌跡線”三線來突破帶電粒子在電場中的運動問題，并讓學生體會基礎知識的重要性。

首先由一道融合“三線”關系的例題入手進行研究。

［例題1］如圖1所示，虛線表示一個電子在只有電場力作用下運動時從點a運動到點b的軌跡，圖中實線為平行線，且相鄰線間距相等，代表的可能是電場線，也可能是等勢線。下列說法中正確的是（）。

A.不管平行線代表的是等勢線還是電場線，在a、b處的電場強度總是b處大

B.不管平行線代表的是等勢線還是電場線，在a、b處的電勢總是a處高

C.不管平行線代表的是等勢線還是電場線，電子在a、b處的電勢能總是b處的大

D.如果平行線代表的是等勢線，則電子在a、b處的速率一定是在a處大

解析：題中的平行線間距相等、均勻分布，所以不論平行線是電場線還是等勢線，它所描述的電場均為勻強電場，所以a和b處的電場強度相等，故選項A錯誤。

當平行線代表電場線時，根據圖中給出的電子運動軌跡可知電子所受的電場力的方向水平向右，因為電子帶負電，所以可判斷出電場的方向水平向左。順著電場線方向電勢降低，所以a處的電勢低于b處。由電場力做功特性可知，在電子從點a運動到點b的過程中，電場力做的是正功，由功能關系可知電子的電勢能減小，動能增大，因此所有電子的電勢能a處大于b處，故選項B、C錯誤。

當平行線代表等勢線時，由圖中所給出的電子運動軌跡線（曲線）可知，電子受到的電場力的方向指向虛線的凹側。因為電場線始終垂直等勢線，所以電場的方向應為豎直向上，由此可知a處的電勢比b處高。由于電子帶負電，因此當其從a運動到b時，電場力對其做負功，由功能關系可知在這個過程中電子的電勢能不斷增大，動能不斷減小，所有電子的速率在a處一定大于b處，故選項D正確。

由上述分析我們不難看出，掌握電場線、等勢線的基本知識是解題的關鍵。

一、電場線與帶電粒子運動軌跡

［例題2］如圖2所示是靜電紡紗工藝的原理示意圖，圖中虛線表示電場線，且電場線關于中間水平虛線的垂直平分線對稱。a、b、c均為電場中的點，其中點b是中間水平虛線的中點，點a、c在中間水平虛線上的等勢點與點b的距離相等。現有一電子從點a出發經過了點b后運動到點c，下列說法正確的是（）。

A. a、b、c處電勢能依次升高

B. a、b、c處電場強度大小依次變小

C.電場力對電子在兩個階段所做的功Wab=Wbc

D.電子可以在僅受電場力作用下從點a過點b運動到點c

解析：本題的考點包括電勢能、電場線、電勢、電場強度、電場力做功等，對學生的思維能力、推理能力有一定要求。觀察圖中電場線的分布和方向可判斷電場強度和電勢情況。由[W=qU]可求出電場力做功的大小。電子僅受電場力作用的條件下，可描繪出電子的運動軌跡，根據軌跡的彎曲情況來判斷受力方向。

由圖2中電源信息可知，電場線方向由右向左，因為電勢沿著電場線的方向逐漸降低，等勢線與電場線垂直，根據圖中a、b、c三點的位置分布，可判斷a、b、c三處電勢逐漸升高，電子在電勢低處電勢能大，故選項A錯誤。

電場線密集表示電場強度大，反之表示電場強度小，圖2中a處的電場線最密集，b處最稀疏，所以a處電場強度最大，b處電場強度最小，故選項B錯誤。

由于“點a、c在中間水平虛線上的等勢點與點b的距離相等”，根據電場線的對稱性，可知水平虛線上關于點b對稱的兩點處的電場強度大小相等，則可知[Uab=Ubc]，由[W=qU]可求得[Wab=Wbc]，故選項C正確。

在電子只受電場力作用的情況下，因為電場線是曲線，所以電子所受電場力的大小、方向在不斷變化，根據選項D的設定，“電子可以在僅受電場力作用下從點a過點b運動到點c”，其運動軌跡應如圖3的曲線所示，如果該運動軌跡正確，那么在ab和bc段運動過程中，其所受電場力方向應如圖3的箭頭所示，這顯然不滿足電子在僅受電場力作用下做曲線運動的條件，故選項D錯誤。

【總結】對于涉及電場線與帶電粒子的運動軌跡的問題，需要明確以下幾點（括號中為“會用到知識”）：①確定帶電粒子的運動軌跡彎曲方向（觀察圖中已給軌跡圖，或像例題2選項D解析過程那樣合理繪制需要的軌跡圖）；②判定帶電粒子所受力的方向（在僅受電場力作用下帶電粒子做曲線運動時，其所受電場力的方向必定指向運動軌跡的凹側）；③判定電場方向（利用帶電粒子的電性、受力方向可判定，遵循以下原則：負電荷所受電場力的方向與電場方向相反，正電荷所受電場力的方向與電場方向一致）；④確定帶電粒子受力大小和運動速度大?。ㄓ呻妶鰪姸却笮〈_定，應用功能關系、能量守恒定律、電勢能及電場電勢變化情況等知識）。

二、電場線、等勢線與帶電粒子運動軌跡

［例題3］如圖4所示，虛線a、b、c、d、e是某電場的等勢面，這五個等勢面相鄰等勢面間的電勢差相等，且[φc=0]。有一個帶正電的質點進入電場，且在僅受電場力的作用下通過這個電場，其運動軌跡如圖中實線所示，點P、R、Q在軌跡線上，且點R正好在等勢面c上。下列說法正確的是（）。

A.等勢面a的電勢最高

B.帶電質點在點P、R、Q處的電勢能最小的是點R處

C.帶電質點在P處的加速度小于Q處

D.帶電質點在R處所受力的方向豎直向下

解析：該題的考點包括等勢面、電場線、電勢、電勢能與電場力做功的關系、電勢能計算等。根據運動軌跡的彎曲方向可以確定帶正電的質點所受電場力的方向，根據正電荷所受電場力的方向與電場強度方向相同，結合電場線總與等勢面垂直可以畫出電場線，這樣就可以判斷出各點的電場強度方向、電勢高低、電勢能大小，而加速度的大小可以根據等勢線的疏密確定。

觀察運動軌跡可知，帶電質點所受的電場力方向指向運動軌跡的凹側，根據電場線總與等勢面垂直，選擇點R繪制受力方向水平向左，如圖5所示。因為質點帶正電，正電荷所受電場力的方向與電場強度方向相同，沿電場線方向電勢降低，所以等勢面a的電勢最低，故選項A、D錯誤。

在P、R、Q處，P處電勢最低，由正電荷在電勢低處電勢能小可知，質點在P處電勢能最小，故選項B錯誤。

根據題意知“相鄰等勢面間存在相等的電勢差”，所以等勢面密集的地方電場線也密集，電場強度也就大，所以可知P處的電場強度小于Q處，根據[F=qE]可知，質點所受電場力P處小于Q處，根據[F=ma]可知，該電荷的加速度P處小于Q處，故選項C正確。

［例題4］電子顯微鏡利用電子比可見光波動性弱的特性，獲得了比光學顯微鏡更高的分辨率。在電子顯微鏡中，電子通過“靜電透鏡”實現會聚或發散。如圖6所示，虛線為某靜電透鏡區域的等勢面，M、N兩點的電勢[φMgt;φN]，現有一束經過電壓U加速后的正電子從點M處沿垂直虛線的方向進入“透鏡”電場。假設正電子在運動過程中僅受電場力作用，最終穿過小孔。下列說法正確的是（）。

A.點M處的電場強度小于點N處的電場強度

B.從點M垂直進入“透鏡”電場的正電子可能經過點N

C.在正電子進入“透鏡”電場到穿過小孔的整個過程中，電場力對其做正功

D.正對小孔中心射入“透鏡”電場的正電子會沿直線穿出小孔

解析：本題對電勢能與電場力做功、帶電粒子運動情況的分析進行綜合考查，需要學生有較強的推理能力。

由受力分析判斷正電子能否通過點N；由運動軌跡及電勢、電性判斷做功情況；對于透鏡是起會聚作用還是發散作用，可利用等勢面畫出電場線進行判斷。

觀察圖中等勢面的分布可知，點M處比點N處密集，因此點M處的電場線也比點N處密集，所以點M處的電場強度大于點N處的電場強度，故選項A錯誤。

從點M垂直進入“透鏡”電場的正電子只受電場力作用，受力方向與電場方向相同，由等勢面的疏密程度可以判斷，正電子向上偏轉穿出小孔，對正電子起發散作用，因此不可能經過點N，故選項B錯誤。

在正電子進入“透鏡”電場到穿過小孔的整個過程中，其從電勢高的位置運動到電勢低的位置，正電子的電性為正電，所有電場力對其做正功，故選項C正確。

電場線與等勢面垂直，根據對稱性及力的合成法則可推出，正對小孔中心射入“透鏡”電場的正電子受到的電場力方向與速度方向相同，會沿著直線穿出小孔，故選項D正確。

【總結】對于涉及“三線”的綜合性問題，以下解題技巧可以幫助我們解題。

①善于使用假設法。在這類問題中，電場強度方向、等勢面高低、運動粒子的電性、粒子的運動方向等都是影響物理過程的因素，且它們之間有著密切的制約關系。若這些因素都屬于未知，做題時一定要大膽使用假設法，通過對某一個因素的各種可能的假設以及利用幾個因素的相互關系得出相應假設之后的結果，再進行完整的分類討論，就能得到需要的結果。

②善于使用作圖法。可畫出運動軌跡在初始位置的切線與電場線在初始位置的切線，前者與速度相關，后者與受力相關，結合力與運動的關系分析兩者，從而判斷帶電粒子做曲線運動的具體情況。當然，也可以利用曲線運動的軌跡反過來判斷帶電粒子的受力情況。

另外，更為基礎的是能夠正確做出以下幾個判斷：

①正確判斷帶電粒子的運動方向：根據軌跡線上某一點的切線來判斷。

②正確判斷電場力的方向：僅受電場力作用的帶電粒子，所受電場力的方向指向運動軌跡的凹側。

③正確判斷電場強度的方向：正電荷所受電場力的方向與電場強度方向相同，負電荷所受電場力的方向與電場強度方向相反。

④正確判斷電勢的高低：沿電場線方向電勢逐漸降低，電勢降低最快的方向為電場強度方向。

⑤正確判斷電勢能的大小：根據公式[Ep=qφ]可判斷電勢能的大小。

⑥正確判斷電場力做功的正負及電勢能的增減：在初始位置畫出電場力和速度的方向，根據兩者的夾角可以判斷電場力做功的正負及電勢能的增減。

⑦正確判斷加速度的大?。弘妶鼍€越密集的地方，電場強度越大，帶電粒子的加速度越大，反之則越小。

以上是對利用“三線”破解帶電粒子在電場中的運動問題所需的相關知識進行的總結，對于其他板塊的學習，我們同樣可以舉一反三。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

［1］" 鄭金.帶電粒子流在勻強電場中運動問題歸類解析［J］.高中數理化，2021（19）：33-36.