多維聯想 有序思維 聚焦方向

［摘 要］解題不是方法的簡單堆積，而是發散思維的呈現，是靈活運用知識的體現。解題能勾勒出知識之間的聯系，深化學生對數學思想方法的認識。文章對基于TPACK框架和分層教學理論的解題教學進行探索，具體從求線段的視角對一道聯考題分別提出7種解題方法。

［關鍵詞］TPACK框架；分層教學理論；解題教學

［中圖分類號］" " G633.6" " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）17-0007-03

在解題教學中，教師不僅是學生學習活動的參與者和觀察者，還是學生學習活動的管理者。通過管理學生的學習活動，教師可得到學生的學情反饋，并不斷完善整個管理系統的分層結構。通過運用信息化技術，教師還可以實現解法分層、作業分層以及學生分層合作學習等。

基于TPACK框架和分層教學理論的解題教學模式如圖1所示。

下面運用TPACK框架和分層教學理論對一道深圳市中考聯考題進行解題教學探索。

一、試題呈現

如圖2，[∠ABC=∠ADB=90°]，[DA=DB]，[AB]與[CD]交于點[E]，若[BC=2]，[AB=4]，則點[D]到[AC]的距離是（ ）。

A. [556] B. [655]

C. [455] D. [554]

二、試題分析

試題文字量適中，簡潔明了，無生活實際背景，直接考查學生的幾何分析能力。題目給出的圖形構成直觀，由等腰直角三角形和一個已知兩直角邊的直角三角形構成。從學生的解題情況來看，本題不屬于難題，且是以選擇題的形式給出，難度降低了。總的來說，本題是難得的一道好題，其解題方法多樣，串聯了許多初中幾何知識，能幫助學生在更大的視角下整體感知題目的思考和解題方向，使學生對幾何知識的理解更為深刻，激發了學生的發散性思維。

三、解法分層

根據題目已知條件，由勾股定理以及等腰三角形的性質可得，[AD=BD=22]，[∠DAB=∠DBA=45°]，[AC=25]。如圖3，點[D]到[AC]的距離就是垂線段[DQ]的長度，本題的目標就是求線段[DQ]的長度。

從不同的角度來看，線段[DQ]既可以看作[△ADQ]的高，也可以看作[△AQD、△DQC]的邊，因此可以從面積法、全等、相似、三角函數等方向思考。

【第一層次解法】

解法1：如圖4，過[D]作[DQ⊥] [AC]，垂足為[Q]，過[D]作[DF⊥BC]，交[BC]的延長線于點[F]。由[∠DBF=45°]，[∠ABC=90°]可得[△DFB]為等腰直角三角形，所以[DF=BF=2]。[S四邊形ADBC=S△ADB+S△ABC=12AD·DB+12AB·BC=12AC·DQ+12BC·DF=12×22×22+12×2×4=8]。于是[12AC·DQ=8-12×2×2=6]，所以[DQ=655]。

解法分析：作[△DAC]的高[DQ]，而[AC]的長度已知，如果[△ADC]的面積已知，則[DQ]作為[△ADC]的高可求。四邊形可以看作由兩個直角邊已知的直角三角形拼接而成，它的面積是可求的，也可以看成是由[△ADC]和[△DBC]拼接而成。[△DBC]的面積可以通過以[BC]為底來求，于是延長[BC]，構造等腰直角三角形[△DFB]，得到對應的高。

解法2：如圖5，取[AB]的中點[G]，連接[CG]，并延長[CG]交[AD]于點[H]，所以[AG=BG=BC=2]，則[△BGC]為等腰直角三角形，所以[CG=DB=22]，[∠DBA=∠BGC=45°]，[∠AGC=∠CBD=135°]，因此[△AGC ]≌[△CBD]，[DB]∥[CH]，且[HG=12DB=2]，又[CD=AC=25]，[CH⊥AD]，于是[S△ACD=12AD·CH=12×22×32=6=12AC·DQ]，所以[DQ=2×6AC=655]。

解法分析：考慮[△DAB]為等腰直角三角形，以及[BC=12AB]，可以取[AB]的中點，構造全等三角形，得到[△CDA]為等腰三角形，[DB]∥[CH]，從而求出[CH]的長度，它也是[△CDA]的高，利用等面積法可求出[DQ]的長度。

【第二層次解法】

解法3：如圖6，過D作DQ⊥AC，過[B]作[BJ⊥DQ]，[BK⊥AC]，垂足分別為[Q]、[J]和[K]。在[Rt△ABC]中，[AC=AB2+BC2=42+22=25]。因為[S△ABC=12AB·BC=12BK·AC=4]，所以[BK=455]。在[Rt△BAK]中，[AK=AB2-BK2=855]。易證，四邊形[JBKQ]為矩形，[△DAQ ]≌[△BDJ]，所以[DJ=AQ]，[DQ=BJ=QK]，[JQ=BK=455]。設[DQ=JB=QK=x]，則[DJ=AQ=x-455]，所以[AK=AQ+QK=x-455+x=855]，所以[DQ=x=655]。

解法分析：[△ADB]為等腰直角三角形，有一組邊相等，可用同角的余角相等，從全等條件分析，可構造[△DAQ ]≌[△BDJ]，所以[DQ=BJ]，將未知的量轉換為已知量。于是，過[B]作[BK⊥AC]，得到矩形[JBKQ]，這樣[DQ=BJ=QK]，再根據線段之間的關系，可求出[DQ]的長度。

解法4：如圖7，過D作DQ⊥AC，垂足為[Q]，過[B]作[BM⊥AC]，垂足為[M]，延長[QA]至點[D']，使得[D'Q=DQ]，延長[MC]至點[B']，使得[MB'=MB]。易得[△D'DQ]和[△BMB']為等腰直角三角形，所以[∠DD'Q=∠BB'M=∠DAB=45°]。由解法3可得，[BM=455]，[AM=855]，所以[AB'=1255]。根據“三角形內角和為180°”和“平角為180°”可得[∠D'DA=∠BAB']，所以[△DD'A ]∽[△AB'B]，所以[DAAB=DD'AB'=22]，所以[DD'=1255×22=6105]，所以[DQ=6105×22=655]。

解法分析：考慮[∠DAB=45°]， 在直線[AC]上構造兩個[45°]，利用三角形內角和與平角度數可以得到[△DD'A]與[△AB'B]相似，同時還可以得到[△DD'Q]為等腰直角三角形，利用相似比以及等腰直角三角形的邊的比例關系可求出[DQ]的長度。

【第三層次解法】

解法5：如圖8，過D作DQ⊥AC，垂足為[Q]，過[D]作[RS]∥[AC]，過[A]作[AR⊥AC]交[RS]于點[R]，過[B]作[BT⊥AC]，延長TB交[RS]于點[S]，交[AC]于點[T]。易得四邊形[RDQA]、四邊形[DQTS]、四邊形[RSTA]均為矩形。因為[∠ADB=∠ARD=∠DSB=90°]，所以[∠RAD+∠RDA=∠RDA+∠BDS=90°]，于是[∠DAR=∠BDS]。又因為[AD=DB]，所以[△ARD ]≌[△DSB]，所以[RD=SB=AQ]，[AR=DQ=ST=DS=QT]。由解法3可得[BT=455]，[AT=855]，設[DQ=RA=DS=QT=ST=x]，則[SB=AQ=RD=x-455]，所以[AT=AQ+QT=x-455+x=855]，所以[DQ=x=655]。

解法分析：此解法與解法3有相似之處，同樣借助等腰直角三角形的特征，構造全等三角形，進一步構造矩形，得到邊與邊之間的數量關系，借助方程思想求出線段[DQ]的長度。

解法6：如圖9，過D作DQ⊥AC，垂足為[Q]，過[B]作[BV⊥] [AC]，垂足為[V]，過[D]作[DX⊥AB]，垂足為[W]，交[AC]于點[X]。因為[△DAB]為等腰直角三角形，所以[DW=AW=BW=2]。又因為[∠ABC=90°]，所以[WX]∥[BC]，所以[WX=12BC=1]，所以[DX=DW+WX=2+1=3]。由解法3可得[AV=855]。因為[∠AQD=∠DWA=90°]，所以[∠BAV=∠XDQ]，所以[△BAV ]∽[△XDQ]，于是[DQAV=DXAB]，因此[DQ=AV·DXAB=855×34=655]。

解法分析：考慮[DQ⊥AC]，利用對頂角相等，作[DX⊥AB]，根據三角形的內角和為[180°]得到[∠BAV=∠XDQ]，從而得到[△BAV ]∽[△QXD]，再利用相似三角形的性質可求出線段[DQ]的長度。

解法7：如圖10，過D作DQ⊥AC，垂足為[Q]，將[△DAQ]繞點[D]逆時針旋轉[90°]得到[DA1B]，并延長[A1B]，交[AC]于點[Z]，所以[DQ=DA1]，[AQ=A1B]，[∠DQZ=∠QDA1=∠A1=90°]，所以四邊形[DA1ZQ]為正方形。由解法3可得[AZ=855]，[BZ=455]。設[DQ=DA1=A1Z=QZ=x]，則[A1B=AQ=x-455]，所以[AZ=AQ+QZ=x-455+x=855]，所以[DQ=x=655]。

解法分析：“等腰直角三角形兩腰相等，頂角為[90°]”的特征為[△DAQ]旋轉提供了條件，同時也自然地構建了正方形，從而得到邊的數量關系，借助方程思想可求線段[DQ]的長度。

基于TPACK框架下分層教學理論的解法分層，是基于圖形特征和題目所給的已知條件得到的，能呈現出學生能聯想的點，學生能由點到面，一步步地解決問題，能在解題中顯現出清晰的解題思路。上述三個層次的解法間存在聯系（如圖11），加強了知識與知識之間的連接。

四、教學啟示

（一）縱橫相關知識，探尋解題思路

基于TPACK框架的解法分層，使得不同層次的學生，在不同的時間和空間里進行獨立學習、獨立思考，能夠學有所獲，提高能力。解題的教學價值不在于把題目的解題過程完美地呈現，而是在于通過分析題目、探究解題思路，達到彌補知識缺漏、積累解題經驗、發展數學思維、提升核心素養的目的。獲取題目的信息是解答好題目的前提，解題的靈感往往基于某個或者某幾個已知條件，通過聯想相關知識點或者作輔助線找到解題的關鍵點。有的學生題目沒有讀完就開始做題，抑或是對某些關鍵的已知條件敏感度不夠，不能聯想到相關知識和方法，其結果或答非所問，或死扣某個已知條件而忽視其他條件導致解題走偏。這就需要教師引導學生重視讀題，在某些關鍵的已知條件處提問，強化這些條件的作用，加深學生對這些條件所引出的相關知識的理解。

（二）明晰解題策略，提升解題能力

抽象、推理、模型是數學基本思想的三個核心要素。數學是講邏輯的，因此解題是有方向的。解一道題，需要明晰它是什么類型的問題，明確大的方向 ，再根據已知條件不斷明晰具體的解題策略。例如，本文用了7種方法求解線段長度問題，從大的方向來說能求線段長度的方法有等面積法、全等、相似、三角函數、勾股定理，這里7種不同的方法是基于對已知條件不同方向挖掘得到的。在教學中，教師要注重引導學生整體把握解題方向，啟發學生根據題目條件思考具體的解題策略，培養學生的創新能力；讓學生通過一題多解構建知識之間的聯系，體會不同的思考方向，在比較中體悟解題方法的合理性，有效掌握解題方法，提升發散思維能力。

（責任編輯 黃春香）