高中物理習題命制應注意數據的科學性

福州市教育科學研究規劃2023年度課題：突出學科核心素養的高中物理校本習題編制的實踐研究（FZ2023GH094）研究成果

摘" "要：恒定功率機車啟動問題是高中物理教學中的重要模型和重點內容，但由于高中階段數學知識的局限性，與該模型有關的習題會出現條件冗余的情況，因此此類習題常出現數據編制不科學的問題。該研究通過求解微分方程來討論恒定功率機車啟動問題，得到恒定功率機車啟動問題中速度隨時間變化的關系和位移隨時間變化的關系分別為t=-ln-（vt-v0）和s=-ln-（vt-v0）+-，為編制此類習題提供一個科學的命題依據，同時給出編制此類習題的建議。

關鍵詞：恒定功率機車啟動；數據科學性；微分方程；習題命制

恒定功率機車啟動是高中物理教學中的重要模型和重點內容，但在一線教學中經常會遇到相關習題數據不科學的情況，讓學生和教師都感到困惑。如下面的例子，此題為筆者為學生答疑輔導時接觸到的，原題來自一本教輔書。

1" 問題緣起

例1：（節選）質量m=3×103 kg的汽車由靜止開始沿平直公路行駛，達到的最大速度為40 m/s，此過程中不同時刻該汽車的牽引力F與對應速度v的關系可用如圖1所示的F-圖象表示（圖線ABC為汽車由靜止到達到最大速度的全過程，AB、BO均為直線）。該汽車行駛中所受的阻力恒定，該汽車由靜止開始運動，經過35 s達到最大速度40 m/s，求其在BC段的位移。

圖 1

以下為題給解析：

由圖1可知，當速度等于最大速度時，牽引力最小，此時加速度為零。

故恒定阻力：

f=Fmin{1}

又額定功率：

P=Fminvmax{2}

代入數據可得P=80 kW

又勻加速運動階段的末速度：

v={3}

根據牛頓第二定律有：

F-f=ma {4}

由運動學公式可知：

v=at1 {5}

代入數據可得勻加速階段運動的時間為t1=5 s

BC段運動的時間為：

t=t-t1{6}

在BC段根據動能定理有：

Pt-fs=mv2max-mv2 {7}

代入數據可解得：s=75 m

2" 發現問題

根據解析可知，BC段運動的時間為30 s，B點的速度為10 m/s，且BC段機車處于加速過程，則BC段的位移肯定大于300 m，然而答案給出的卻是75 m。通過檢查解析的思路和計算，發現解析的思路是正確的，也是高中物理解決恒定功率機車啟動問題的常規思路，并且計算也沒有問題。但是，很明顯可以看出BC段的位移不可能是答案給出的75 m。問題出現在哪里？對于高中學生，這是一個無法解釋的困境，因為他們找不到解析中存在的問題，從而陷入無解的狀態，這必然會影響學生對物理學習的興趣和信心，從而失去了習題應有的促進學生學習的作用，還會起到反作用。

3" 分析問題

恒定功率機車啟動問題中，如果題目中給定了功率P、阻力f、質量m、初速度v0等條件，任意時刻根據牛頓運動定律都有：

-f=ma{8}

根據該式可知，速度會影響加速度，加速度又會影響速度，這就導致速度與加速度循環影響，正是這個原因，高中階段只能定性地分析這個過程中加速度與速度的變化，不能僅僅根據牛頓運動定律求解出任意時刻的速度與位置，這主要是由于高中階段學生的數學知識有限，并不是因為缺少已知條件[ 1 ]。

求解這個牛頓運動定律需要利用到微分方程的知識，這超出了高中生的能力范圍。也正是由于高中階段的這個局限性，在這類問題中，常常將功率P、阻力f、質量m、初速度v0、末速度vt、時間t（或位移s）作為已知條件，讓學生求解位移s（或時間t），這就會導致這類題出現條件冗余。因為時間t（或位移s）已知，則末速度是唯一確定的，是可以通過求解微分方程得到的，不能由命題人主觀給定，而命題人主觀給定數據是高中物理命題中經常遇到的情況。并且正是基于高中階段的局限性，此類習題命制中必須要給定冗余的已知條件才可以解答，那么就要求命題教師在編制數據的時候確保數據的科學性[ 2 ]。

在實際的一線教學中，由于廣大高中學生沒有能力從微分方程的角度分析問題，或者無法求解微分方程從而不可能發現此類習題中可能存在的問題。根據筆者多年的教學經驗發現，很多一線高中物理教師也忽視了這個問題，常常會遇到隨意捏造數據的題目卻無法辨別，甚至有的一線教師在命制試題的過程中在沒有解微分方程的情況下隨意捏造數據，從而導致數據不科學的習題出現。

下面以兩道高考真題為例，通過解微分方程來檢驗題給數據的科學性。

3.1" 速度隨時間變化的規律

例2：（2009 上海 節選）質量m=5×103 kg的汽車在t＝0時刻速度v0＝10 m/s，此后以P＝6×104 W的恒定功率沿平直公路前進，經72 s達最大速度，設汽車受到的阻力恒為2.5×103 N。

本題中給出汽車經過72 s達最大速度，這個數據正確嗎？按照前面的討論，可以知道72 s時刻的速度是可以通過解微分方程求解出來的。

求解過程如下。

對汽車，根據牛頓第二定律有：

-f=m " {9}

對上式分離變量，可得：

dt=m= m{10}

又

v=-（P-fv）{11}

則有：

dt=m=mdv{12}

整理可得：

dt=mdv-dv=-dv

=--dv{13}

對t積分：

t=dt=--dv

即：

t=-ln-（vt-v0）{14}

代入數據可得：

t=-48ln-2（vt-10）{15}

通過計算，得到如表1。

表 1" 例2中機車速度隨時間的變化關系

通過求解微分方程，可得到任意時刻t與對應速度vt的函數關系。可以發現，要達到最大速度即vm==24 m/s，需要無窮長的時間，這就是常說的收尾速度，原則上只能無限的接近vm。從表1中的數據可以看出，速度從23.9 m/s增加到23.99 m/s再增加到23.999 m/s再增加到23.9999 m/s，速度增加的越來越少，所花的時間卻差不多，因為后面加速度越來越小，加速越來越困難。那么，在實際處理中，沒有必要要求達到24 m/s，在一定的精確范圍內，就可以認為速度達到23.9 m/s就達到收尾狀態，有的時候甚至23.5 m/s也可以（誤差約為2%）。可是通過計算發現，t=72 s時對應的速度應該介于22.1-22.2 m/s之間，那這個與24 m/s相差接近10%，顯然是有問題的。這說明在例2中，數據的編制是不科學的。筆者建議將原題中的“經72 s達最大速度”改成“經300 s達最大速度”，這樣的數據就具有科學性，本題才能成為一道有選拔價值的高考題。

3.2" 位移隨時間變化的規律

例3：（2011 浙江 節選）質量m＝1000 kg的汽車，在平直公路上以v1＝90 km/h勻速行駛，汽車的功率為P＝50 kW。當司機看到限速標志時，立即剎車使汽車做減速運動，運動L＝72 m后，速度變為v2＝72 km/h。設汽車在上述運動過程中所受阻力恒定不變，汽車功率不變。

本題關注另外一個物理量——位移s。

由題目已知條件可知汽車從90 km/h減速到72 km/h總共運動了72 m，按照文章前面的討論，機車運動的位移是確定的，這個確定的位移是不是72 m呢？也通過求解微分方程得到。

對機車，根據牛頓第二定律有：

-f=m{9}

同例2整理可得：

t=-ln-（vt-v0）{14}

對汽車，根據動能定理有：

Pt-fs=mvt2-mv02{16}

整理可得：

s=+-{17}

即：

s=-ln-（vt-v0）+-{18}

代入數據計算可得s=72.346 m

通過計算可以發現，本題中所給數據在一定的精確范圍內是科學的（誤差小于1%），本題所給數據具有科學性。

通過對上述兩個高考真題的分析與討論可以得到了此類問題中，機車以恒定功率啟動后機車的速度與時間，位移與時間的關系，即：

t=-ln-（vt-v0）{14}

s=-ln-（vt-v0）+-{18}

以上兩式可用來檢驗機車啟動類問題數據是否具有科學性。

4" 解決問題

根據上面得到的函數關系式，下面來討論例1中的問題。

在例1中應有從B狀態開始，運動時間t后機車的速度vt與t的關系如下：

t=-ln-（vt-v0）{14}

代入相關數據有：

t=-120ln-（vt-10）{19}

通過計算，可以得到如表2。

表 2" 例1中機車速度隨時間的變化關系

計算發現速度從10 m/s增加到20 m/s所需時間為t=33.6558 s，速度從10 m/s增加到30 m/s所需時間為t=101.8335 s，速度從10 m/s增加到39 m/s所需時間為t=364.6437 s，顯然，題給條件：經過35 s達到最大速度40 m/s有科學性錯誤。說明例1中數據編制的不科學，建議將例1中的“經過35 s達到最大速度40 m/s”改成“經過900 s達到最大速度40 m/s”，這樣修改后此題就是一道科學的有教學價值的習題。

5" 總結與啟示

在恒定功率機車啟動的習題命制過程中，命題人應該注意數據的科學性，要通過解微分方程來驗證數據是否科學，而不能憑空捏造數據。可以通過文章中給出的方法來避免題給數據不科學。另一種避免方法是在命制試題時，題給已知條件中不出現具體的數值而只出現字母符號，字母符號的運算不會導致數據不科學的問題。

高中階段除恒定功率機車啟動類問題外，在電磁感應中的桿棒模型的習題編制中也經常出現題給數據不科學。因為該問題中安培力通常與導體棒的速度有關系，安培力影響加速度，加速度影響速度，從而又形成速度與加速度循環影響的問題，這種循環影響導致高中階段的學生只能定性分析其變化過程，無法僅僅通過牛頓運動定律進行定量求解。同樣的道理，要避免此類問題的出現，就必須在編制數據時求解相關的微分方程，或者在命制試題時已知條件用字母符號表示，不出現具體的數值。

總之，高中物理習題命制中，當習題中出現速度與加速度循環影響的情況時，就要特別注意數據編制的科學性，需通過求解微分方程檢查數據是否科學，或者題給條件用字母符號表示。

參考文獻：

［1］ 劉彬學. 教師命題“機車啟動問題”時常犯的科學性錯誤[J]. 數理化解題研究，2020 （16）： 70-71.

［2］ 彭華超. 淺談機車恒定功率運動模型的科學性與自洽性[J]. 湖南中學物理，2015 （3）： 83-93.